福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
班级___________姓名___________座号___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A. B. 2C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量与共线，所以，
解得．
故选：D．
2. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1.
3. 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解.
【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为，
因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，
可得，所以，
又因为圆台的侧面积为，可得，解得.
故选：A.
4. 在中，D为的中点，E为上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.
【详解】由已知，D为的中点，所以，
所以.
故选：D.
5. 如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】还原，求出其边长即可求解直角三角形的面积.
【详解】如图，的直观图是，则，
则的面积为.
故选：B
6. 已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可.
【详解】若，则，解得．
若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得．
故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：C.
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．
【详解】在△ABC中，，而，
由，得，又，，则，
由正弦定理得，解得，由，得，
所以．
8. 平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案.
【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系.
因为，而,所以，
在直角中，因为，，所以，，
则，设，
所以，
所以，
因为二次函数开口向上，对称轴为，且，
所以当时，取最小值，当时，取最大值，
所以的取值范围是.
故选：C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分）
9. 已知向量，，则（ ）
A. B. 向量,的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于，，，，
，
，故A错误；
对于B，，
由于，则向量的夹角为，故B正确；
对于C，，
，故C错误；
对于D，在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：BD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则的最小值为2
D. 若是关于的方程的根，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，，计算出判断A；利用复数单位的幂运算判断B；设，，得到，，根据，得到的最小值为1判断C，先求出二次方程的另一个根，然后利用韦达定理求得判断D．
【详解】设，，则，
又，，
所以成立，所以A正确．
，所以B正确．
设，，由于，则，即，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，所以C不正确．
因为是关于的方程的根，
所以也是关于的方程的根，
则，则，所以D正确．
故选：ABD．
11. 对于有如下命题，其中正确的是（ ）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，且有两解，则的取值范围是
C. 在中，若，则不等式恒成立
D. 在中，若，则必是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由正弦定理判断C；由余弦定理可得，判断出△ABC的形状，判断D．
【详解】A中，，即，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确；
B中，若，且△ABC有两解，则，即，
即的范围为，所以B错误；
C中，在△ABC中，，由大角对大边得，由正弦定理可得成立，所以C正确；
D中，若，由余弦定理可得，
即，即，所以，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm．
【答案】
【解析】
【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得.
【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：.
13. 海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处．
【答案】
【解析】
【分析】根据图示：在中，利用余弦定理求得，从而得到，然后在中，利用正弦定理求得，然后再根据速度求出时间.
【详解】如图所示：
在中，，
由余弦定理得：，
所以，则，
在中，，
所以，
即再经分钟海盗船到达商船处．
故答案为：
本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可．
【详解】因为，，
所以．
因为三点共线，所以，解得．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15. 已知复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解；
（2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
【小问2详解】
由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 如图，在平行四边形中，E为的中点，设.
（1）用表示；
（2）若，且，求.
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量对应线段的数量、位置关系用表示出即可；
（2）由（1）及向量数量积的运算律可得，结合已知即可求值.
【小问1详解】
由，，，
所以，，.
【小问2详解】
由（1）知：，
又，且，则.
17. 如图，在中，，，点D在线段BC上.

（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；
（2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
【小问2详解】
.
又.
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以.
18. 如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．
（1）求该正三棱柱的体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可；
（2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案.
（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
，
所以
【小问3详解】
将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点．
（1）若，且面积为．
（i）求角B；
（ii）求；
（2）若，，，的面积为，，，求的最小值．
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）．
【解析】
【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解；
（ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解；
（2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
（i）∵，，
∴，
∴，
在中，，∴，∴，
又，∴．
（ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点．
所以，
∵，
∴，
∴
．
【小问2详解】
∵，∴，即，
在中有正弦定理得，，
∴，∴，
在中，，∴，
又，∴．
∴，
设，，则在由正弦定理得，，
在由正弦定理得，，
∴，
当且仅当，，时等号成立．
∴的最小值为．