2026福州台江区九校高二上学期期中考试数学含解析

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数学试卷
一、单选题
1．直线的斜率是（ ）
A．B．C．1D．
2．圆的圆心是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
4．如图，在四面体中，，，．点在上，且为中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
6．已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线：，直线：，则（ ）
A．当时，与的交点是B．直线与都恒过
C．若，则D．若，则或
10．已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．向量与、垂直
B．向量与、共面
C．若与分别是异面直线与的方向向量，则其所成的角的余弦值为
D．向量在向量上的投影向量为
11．已知正方体的棱长为1，点满足，则（ ）
A．若，则
B．若，则平面
C．若，则的最小值为
D．若，则与平面的所成角为定值
三、填空题
12．已知点，，则AB的中点坐标为 .
13．已知圆，直线，，则直线截圆所得弦长的最小值为 .
14．曲线，A，B是曲线C上任意两点，则下列说法正确的有 ．
①曲线C的图象关于原点对称；②的最大值
③直线AB与曲线C没有其它交点；④曲线C所围成的面积为
四、解答题
15．如图，在平行六面体中，，，，.
(1)以，，为基底向量，表示向量、；
(2)求证：；
(3)求的长.
16．已知圆的方程为，点在圆内.
(1)求圆的圆心和半径；
(2)求实数的取值范围；
(3)求过点且与圆相切的直线l的方程.
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，是上的点，且.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面夹角正弦值.
18．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.
（1）求证：.
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作.
(1)已知点和点，直线：，求和.
(2)已知圆C：和圆E：.
（i）若两圆心的切比雪夫距离，判断圆C和圆E的位置关系；
（ii）若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线为，直线为，证明：.
参考答案
1．B
【详解】由.
所以直线的斜率为.
故选：B
2．A
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为.
故选：A.
3．D
【详解】由于与垂直，所以，所以，
故，
故选：D
4．B
【详解】连接，如图：
.
故选：B.
5．D
【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为，
因为直线过点，所以，即，
所以直线方程为，即；
若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线方程为，即.
故所求直线方程为或.
故选：D.
6．D
【详解】由已知得，
因为直线l的方向向量为，
所以点到直线l的距离为
故选：D
7．C
【详解】设P(x，y)，∵PT＝PB，∴PT2＝2PB2
∴
整理得：.
故选：C
8．C
【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设A关于平面的对称点为，，
则，．
设平面的法向量，则，
令，则，，所以，
所以A与到平面的距离，
即 ①．
又，所以，即 ②．
由①②得，由可得，，，
所以，
所以，
当且仅当，，三点共线时取等号，
所以的最小值为．
故选：C.
9．ABC
【详解】对于A：当时，，
由解得，所以的交点是，A正确；
对于B：可化为，恒过与的交点，
可化为恒过与的交点，B正确；
对于C：若，则，解得，C正确；
对于D：若，则，解得或，
又当时，与重合，所以，D错误.
故选：ABC.
10．BC
【详解】对于A选项，，，故、不垂直，A错；
对于B选项，设，则，
所以，，解得，即，B对；
对于C选项，因为，
所以，直线异面直线与的余弦值为，C对；
对于D选项，向量在向量上的投影向量，D错.
故选：BC.
11．ACD
【详解】对于A选项，因为，所以易知点为中点，
如图，连接和，由正方形易知，

因为点是的中点，所以，故A选项正确；
对于B选项，由题意得点在线段上运动，

由正方体的性质可知，所以，，，四点共面，
因为点，所以点平面，
所以平面和平面为同一平面，
所以在平面，故B选项错误；
对于C选项，由题意得扫过的平面为平面，
扫过的平面为平面，所以将这两个平面独立出来展开成同一个平面，

易知当点、、三点共线时最短，
所以，故C选项正确；
对于D选项，由和易知点在以为圆心半径为的圆上运动，
因为平面，所以扫过的图形为圆锥面，
所以，且为圆锥的母线，
因为圆锥的母线与底面的夹角是恒定的，
所以与平面的所成的线面角恒定，
因为，所以，故D选项正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为，
所以由中点公式可得的中点坐标为.
故答案为：.
13．
【详解】直线l可化为，
令，所以直线l恒过定点，
易知点A在圆C内，所以直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，
圆，圆心，半径为5，
，又，则，解得，
，
直线截圆所得弦长的最小值为.
故答案为：
14．①②④
【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，
即，
表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分（包括坐标轴上的点）；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分（包括坐标轴上的点）；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分（包括坐标轴上的点）；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分（包括坐标轴上的点）；
其图象如图所示，
对于①，，将换成，换成得
，即，曲线方程不变，
结合上面画出的曲线图象，所以曲线C关于原点对称，①正确；
对于②，曲线上两点之间最大距离，如图中两点间的距离，
其中联立与得，故，
同理可得，故，故②正确；
对于③，不妨设直线的方程，此时不妨设，
此时与曲线C有其它交点，故③错误；
对于④，曲线围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，
其中4个半圆的半径均为，正方形的边长为，
其面积为，故④正确；
故答案为：①②④．
15．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)
【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得，
；
（2）由（1），
所以，则；
（3）由（1），
所以
，
所以，即的长为
16．(1)圆心，半径
(2)
(3)或
【详解】（1）由.
所以圆心，半径.
（2）因为点在圆内，所以.
所以实数的取值范围为.
（3）如图：
当过点的直线不存在斜率时，其方程为，
此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切；
当过点的直线存在斜率时，设斜率为，则直线：，即，
因为直线与圆相切，所以，
所以切线方程为：即.
综上，过点与圆相切的直线为：或.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）连接，交于点，连接，如图：

因为底面为正方形，所以为中点，又为中点，
所以，平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，底面为正方形，
所以两两垂直.
故可以为原点建立如图空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，.
因为为中点，所以.
因为在上，且，所以.
所以，，，.
因为，.
所以，，又平面，，
所以平面.
（3）由（2）得，平面的一个法向量为；
设平面的法向量为，
则，令，可得.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以.
18．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点，
所以，.
所以，又为的中点，所以.
因为平面平面，且平面，
所以平面，
所以.
（2）取的中点，连接，所以.
由（1）得，.
如图建立空间直角坐标系.
由题意得，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为.
则
即
令，则，，所以.
设直线和平面所成的角为，
则.
故所求角的正弦值为.
（3）线段上存在点适合题意.
设，其中.
设，则有，
所以，，，从而，
所以，又，
所以
令，
整理得.解得.
所以线段上存在点适合题意，且.
19．(1)，；
(2)（i）内切；（ii）证明见解析．
【详解】（1），，，所以，
直线方程为，是上一点，，
当，即时，，
当，即或时，，
所以的最小值是2，所以；
（2）（i）圆标准方程是，圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为，
，
若，则或，
时，，不合题意，时，，满足题意，
此时，，因此两圆内切；
若，则或，
时，，不合题意，时，，满足题意，
此时，，两圆内切．
所以圆C和圆E内切；
（ii）圆E与x轴交于M，N两点，
则方程，即（*）有两个不等的实数解，
所以，解得，又，所以，
，方程（*）的两解为，则，
由韦达定理有，
所以，解得或（舍去），
时方程（*）为，解得，，交点为和，
点M在圆C外，则，因此，，
设直线的方程为，设，
由得，
，，
，，
，
所以，因此直线关于轴对称，
直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，
，，
即，
所以的最小值与的最小值相等，即．