2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若zi=i−1，则( )．
A. z=1−iB. z的虚部为−i
C. |z|=2D. z在复平面内对应的点在第三象限
2.已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若a与b垂直，则实数m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.在▵ABC中，点D在BC边上，BD=2DC.记AB=a，AD=b，则AC=( )
A. −12a+32bB. 32a−12bC. 12a−32bD. −12a−32b
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则( )
A. A与C对立B. B与C不互斥C. A与B对立D. B与C对立
6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知∠ABC=45∘，AD=AB=12BC=1，则该圆台的体积为( )
A. 73πB. 7πC. 143πD. 14π
7.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若m//α,n⊂α，则m//nB. 若m//α,α//β，则m//β
C. 若m⊥α,m⊥n，则n//αD. 若m⊥α,m//β，则α⊥β
8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. 1,4+ 24B. 1,2+ 22C. 1,1+ 22D. 24,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则( )
A. 样本中有12位男生的测试成绩B. 样本中女生测试成绩的第70百分位数是9
C. 样本中女生测试成绩的方差为2D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75
10.已知▵ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. sin(B+C)=sinA恒成立
C. 若b2+c2>a2，则▵ABC为锐角三角形
D. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F,M分别是AD,CD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. FM//A1C1
B. 当E为A1C1中点时，BE⊥FM
C. 存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D
D. 三棱锥B−CEF的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=−3,4，b=2,2，则a在b的投影向量的坐标是 ．
13.已知事件A和事件B相互独立，B表示事件B的对立事件，P(A)=12，P(B)=34，则PAB= ．
14.在▵ABC中，D是BC边上一点，且C=π3，ACBC=12，则ABAC= ；若AD=2，则▵ABD的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且向量m= 3a−b,a−c,n=sinA+sinC,sinB,m//n．
(1)求角C；
(2)若▵ABC的面积为 3,sinB=1+csA，点D为边AC的中点，求BD的长．
17.(本小题15分)
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)内的老年人的年收入按年龄[60,70),[70,80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)内的老年人500人．年龄在[70,80)内的老年人300人．现作出年龄在[60,70)内的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在[60,70)内的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)内的老年人年收入的方差．
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，点D是AB的中点，求证：
(1)AC1//平面B1CD；
(2)A1B⊥B1C.
(3)若平面ACC1与平面CDB1的交线l为，求l与平面CBB1C1所成的角．
19.(本小题17分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】12,12
13.【答案】18/0.125
14.【答案】 3 ； ；
；2+ 3/ 3+2
15.【答案】解：(1)复平面内A、B、C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，
设D的坐标(x,y)，由于AD=BC，
∴(x−1,y−3)=(2,−1)，
∴x−1=2，y−3=−1，
解得x=3，y=2
，故D(3,2)，
则点D对应的复数z=3+2i；
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，
∴3−2i是关于x的方程2x2−px+q=0的另一个根，
则3+2i+3−2i=p2，(3+2i)(3−2i)=q2，
即p=12，q=26．

16.【答案】解：(1)因为m//n，所以 3a−bsinB−a−csinA+sinC=0，
由正弦定理得a 2+b 2−c 2= 3ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 32，
因为C∈0,π，所以C=π6．
(2)解法一：因为sinB=1+csA，
所以sinB=1+cs5π6−B=1− 32csB+12sinB，则12sinB+ 32csB=1
即sinB+π3=1，
又0