福建省福州市台江区九校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【分析】根据并集和补集的定义计算.
【详解】，.
2．【答案】B
3．【答案】C
【分析】由二次根式性质和分式性质直接求解.
【详解】由题可知，，解得.
4．【答案】D
【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意；
对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；
对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意；
对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意.
5．【答案】C
【分析】由幂函数的概念，系数为1，且在上是减函数，指数为负即可.
【详解】由幂函数在上是减函数，
则，解得，
故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.
6．【答案】D
【分析】确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论．
【详解】的定义域是，关于原点对称，
，是偶函数，排除BC；
又时，，是增函数，排除A．
7．【答案】D
【分析】根据在R上单调递减，可得时，为减函数，时，也为减函数，比较处函数值的大小，即可得答案.
【详解】因为在R上单调递减，
所以，解得.
8．【答案】A
【详解】函数是偶函数，在上单调递增，，
则在上单调递减，，
，则有或，解得或，
所以不等式的解集为.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9．【答案】BD
【分析】利用特值可判断AC，利用作差法可判断B，根据不等式性质可可判断D.
【详解】对于A选项，当时，，故A错误；
对于B选项，若，，，所以，故B正确；
对于C选项，当，时，，故C错误；
对于D选项，若，，则，
根据不等式性质得到，故D正确.
10．【答案】BD
【详解】对A：当时，集合中也只有一个元素，故A错误；
对B：因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号，故B正确；
对C：因为，所以，
当且仅当，即时取等号，但，所以等号取不到，
故最小值不是，故C错误；
对D：充分性：当时，不等式恒成立，故充分性成立；
必要性：当不等式在上恒成立，即，得，故必要性成立，
综上所述：“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，故D正确
11．【答案】AB
【分析】根据奇函数定义确定A正确，变换计算函数单调性得到B正确，取，无解得到C错误，举反例得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，，则，函数为奇函数，正确；
对选项B：当时，，函数单调递增，又函数为奇函数，
故函数在上单调递增，即，正确；
对选项C：取，得到，当时，，方程无解，
当时，，不满足，不正确；
对选项D：取，，则，
，故，错误；
故选：AB.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．【答案】1
【分析】由函数的对应关系求出的值，结合的图象可得的值．
【详解】解：根据题意，由的表格可得：，则，
13. 【答案】8
【分析】利用乘“1”法及及基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为.
14．【答案】
【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值.
【详解】当时，解得或，
所以，
作出的图象如下图所示：
由图象可知：当时，有最大值，所以；
当时，解得或或；
当时，或，
由图象可知：当，时，的值域为，此时的最大值为；
当时，的值域为，此时，
由上可知，的最大值为，
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．【答案】(1)A∩B＝；AB＝ (2)
【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的交集和并集运算求解；
（2）由，得到，分和求解.
【详解】（1）因为集合，······································ 1 分
当时，集合，··························································· 2 分
所以，································································· 4 分
.···································································· 6 分
（2），，································································ 7 分
①当时，则，解得： ，此时满足；································ 8 分
②当时，则，要使 成立，
则有，解得，所以，··············································· 12 分
综上可知，，所以实数a的取值范围为.············································ 13 分
16．【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据题意可得，2是方程的两根，由韦达定理即可求解；
（2）由题意可得恒成立，分与讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可得······························································ 1分
，2是方程的两根，······················································· 3 分
可得，······························································· 5 分
解得················································································· 7 分
注：①没判断扣1分，若有检验满足题意就可以不扣分。
②韦达定理必须两个都用，缺一个扣1分，若韦达定理用一个求出后有进行检验可不扣分。
③把根代入求解的方法评分标准同韦达定理。
（2）不等式对恒成立，
即为恒成立，························································· 8 分
当时，不等式即为10恒成立；·························································· 9 分
当时，则，解得.········································· 13 分
综上所述，a的取值范围是.····························································· 15 分
注：取值范围用不等式表示没写成集合或者区间不扣分，后同。
17．【答案】(1)
(2)年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元
【分析】（1）根据题意，分别求得和时，利润的表达式，进而得到的函数关系式；
（2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质和基本不等式，分别取得利润的最大值，比较即可得到答案.
【详解】（1）解：因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
当时，可得；································· 2 分
当时，，·································4 分
所以.····························································· 6 分
（2）当时，可得，
当时，取得最大值；····················································· 8 分
当时，，······································ 10 分
当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为，························· 13 分
因为，············································································· 14 分
所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元. ···························· 15 分
18．（1），； （2）在上递增，证明见解析； （3）
【分析】（1）利用奇函数的性质可求得,再由的值，可求得.
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，所以，所以········· 1 分
···································································· 2 分
所以，经检验，该函数为奇函数．················································ 3 分
故，.··········································································· 4 分
注：用奇函数定义求解参数可不用检验，直接得2分。
（2）在上递增，································································ 5 分
证明如下：任取，···························································· 6 分
······························9 分
其中，，所以，··························· 11 分
故在上递增．··································································· 12 分
（3）由对任意恒成立得，·········································13 分
由（2）知在上递增，······························································ 14 分
所以函数在的最大值为············································· 15 分
，·············································································· 16 分
所求实数的取值范围为.····················································· 17 分
19． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析
【分析】（1）根据抽象函数关系式采用赋值法求解的值；
（2）根据奇函数的定义验证即可；
（3）根据知己确定函数的单调性，将不等式转化为含参一元不等式，分类讨论解不等式即可得结论.
【详解】（1）对于任意，都有.
令得即················································· 2 分
（2）函数定义在上，
由（1）并令得，即························ 5 分
所以函数是奇函数···································································· 6 分
（3）原不等式即，
由（2）是奇函数及对，都有，
得即，································ 8 分
任取、，且，
则，·····················9 分
由，．，
，即，·························································· 10 分
从而在上是增函数；································································· 11 分
∴，即，··················································· 12 分
当时不等式即，解集为，·············································· 13 分
当时，方程的两根为或，
①当时，，所求不等式的解集为；·············································· 14 分
②当时，，所求不等式的解集为；·································· 15 分
③当时，，所求不等式的解集为；···································· 16 分
综上，当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为；
当时，所求不等式的解集为.············································· 17 分1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
C
D
D
A
9
10
11
BD
BD
AB