2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，若zi=i−1，则( )．
A. z=1−iB. z的虚部为−i
C. |z|=2D. z在复平面内对应的点在第三象限
2.已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若a与b垂直，则实数m=( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
3.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
4.在▵ABC中，点D在BC边上，BD=2DC.记AB=a，AD=b，则AC=( )
A. −12a+32bB. 32a−12bC. 12a−32bD. −12a−32b
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则( )
A. A与C对立B. B与C不互斥C. A与B对立D. B与C对立
6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，已知∠ABC=45∘，AD=AB=12BC=1，则该圆台的体积为( )
A. 73πB. 7πC. 143πD. 14π
7.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若m//α,n⊂α，则m//nB. 若m//α,α//β，则m//β
C. 若m⊥α,m⊥n，则n//αD. 若m⊥α,m//β，则α⊥β
8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD,P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. 1,4+ 24B. 1,2+ 22C. 1,1+ 22D. 24,1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生540人，女生360人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有8位女生的测试成绩，分别是6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为7.5，则( )
A. 样本中有12位男生的测试成绩B. 样本中女生测试成绩的第70百分位数是9
C. 样本中女生测试成绩的方差为2D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为7.75
10.已知▵ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. sin(B+C)=sinA恒成立
C. 若b2+c2>a2，则▵ABC为锐角三角形
D. 若acsA=bcsB，则▵ABC是等腰三角形
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F,M分别是AD,CD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. FM//A1C1
B. 当E为A1C1中点时，BE⊥FM
C. 存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D
D. 三棱锥B−CEF的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=−3,4，b=2,2，则a在b的投影向量的坐标是 ．
13.已知事件A和事件B相互独立，B表示事件B的对立事件，P(A)=12，P(B)=34，则PAB= ．
14.在▵ABC中，D是BC边上一点，且C=π3，ACBC=12，则ABAC= ；若AD=2，则▵ABD的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，求实数p，q的值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且向量m= 3a−b,a−c,n=sinA+sinC,sinB,m//n．
(1)求角C；
(2)若▵ABC的面积为 3,sinB=1+csA，点D为边AC的中点，求BD的长．
17.(本小题15分)
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)内的老年人的年收入按年龄[60,70),[70,80)分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)内的老年人500人．年龄在[70,80)内的老年人300人．现作出年龄在[60,70)内的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
(1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)内的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
(2)已知年龄在[60,70)内的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)内的老年人年收入的方差．
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，点D是AB的中点，求证：
(1)AC1//平面B1CD；
(2)A1B⊥B1C.
(3)若平面ACC1与平面CDB1的交线l为，求l与平面CBB1C1所成的角．
19.(本小题17分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】利用复数乘法求出z，再逐项分析判断．
【详解】依题意，z=i(i−1)=−1−i，
对于A，z=−1+i，A错误；
对于B，z的虚部为−1，B错误；
对于C，|z|= 2，C错误；
对于D，z在复平面内对应的点(−1,−1)在第三象限，D正确．
故选：D
2.【答案】A
【解析】【分析】由a⋅b=0，则−1×m+2×1=0求解．
【详解】解：因为a与b垂直，所以a⋅b=0，
则−1×m+2×1=0，
得m=2，
故选：A
3.【答案】D
【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解．
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C42=6件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C21C21=4，
所以这2名学生来自不同年级的概率为46=23．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解．
【详解】根据题意，

在▵ABD中，BD=AD−AB=b−a，
故DC=12BD=12b−12a，
又在▵ADC中，AC=AD+DC=b+12b−12a=32b−12a，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件的概念，属于基础题．
根据互斥事件和对立事件的定义即可判断．
【解答】
解：抛掷两枚质地均匀的硬币，共有Ω={正反，正正，反正，反反}共4种情况，
其中事件A={正反，反正，反反}；事件B={正正}，事件C={反反}，
对A，事件A与事件C可能同时发生，即{反反}这种情况，即事件A，C不对立，故A错误；
对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误；
对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确；
对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生{正反}或{反正}的情况，故D错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】解：作出其平面图形，
则在平面图形中AD=1，AB=2，BC=2，∠ABC=90∘，
所以圆台的上底面半径r=AD=1，下底面半径R=2，高ℎ=2，
则圆台的体积：
V=13(S上+ S上S下+S下)ℎ=13×(π+ π×4π+4π)×2=143π．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查面面垂直的判定，线面平行的判定，属于基础题．
在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A，B，C的正误；对于选项D，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D的正误．
【解答】
解：对于选项A，如图，
在正方体中，取平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，
直线BC为直线n，显然有m//α,n⊂α，但m不平行n，故A错误；
对于选项B，在正方体中，取平面ABCD为平面α，
直线A1B1为直线m，平面A1B1C1D1为平面β，
满足m//α,α//β，但m⊂β，故B错误；
对于选项C，取平面ABCD为平面α，
直线A1A为直线m，直线BC为直线n，
因为n⊂α，显然有m⊥α,m⊥n，
但n⊂α，故C错误；
对于选项D，因为m//β，
在β内任取一点P，过直线m与点P确定平面γ，
则β∩γ=l，由线面平行的性质知m//l，
又m⊥α，所以l⊥α，又l⊂β，
所以α⊥β，故D正确．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换及三角函数的性质，属于中档题．
法一：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接AC,CP，设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ，AP⋅AB=|AP||AB|cs θ=|AB|⋅|AC|cs∠PAC，即可求解．
【解答】
解：方法一：如图1，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0)).
设P(x,y)，则AP=(x,y)．
因为AB=(1,0)，所以AP⋅AB=x．
由题意知，圆O的半径r= 22.因为点P在弧BC(包括端点)上，
所以1≤x≤12+ 22，所以AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
方法二：如图2，连接AC,CP.易知∠BAC=π4，
设∠PAB=θ,0≤θ≤π4，则∠PAC=π4−θ．
由已知可得|AB|=1,|AC|= 2,∠APC=π2，
所以|AP|=|AC|cs∠PAC= 2csπ4−θ，
所以AP⋅AB=|AP||AB|cs θ
= 2cs (π4−θ)cs θ
= 2( 22cs θ+ 22sin θ)cs θ
=cs2θ+sin θcs θ
=1+cs 2θ2+sin 2θ2
=12+ 22sin (2θ+π4)．
因为0≤θ≤π4，所以π4≤2θ+π4≤3π4，所以 22≤sin2θ+π4≤1，
所以1≤12+ 22sin2θ+π4≤1+ 22，即AP⋅AB的取值范围是1,1+ 22．
故选：C．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据分层抽样的定义可知样本容量为20，进而求出样本中男生人数即可判断A，再结合百分位数、标准差和平均数的定义求解，进而判断BCD．
【详解】对于A，由题意得，该学校高一年级共有540+360=900人，则样本容量为8360900=20，
所以样本中男生有20−8=12人，故A正确；
对于B，由于8×70％=5.6，所以样本中女生成绩的70百分位数是第6项9，故B正确；
对于C，样本中女生成绩的平均数为18×(6+7+7+7+8+9+10+10)=8，
所以样本中女生成绩的方差为
18×[(6−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2+(10−8)2]=2，
所以样本中女生成绩的方差为2，故C正确；
对于D，样本中所有学生测试成绩的平均数为820×8+1220×7.5=7.7，故D错误．
故选：ABC．
10.【答案】AB
【解析】【分析】利用正余弦定理对各个选项分析判断即可．
【详解】对于A，在▵ABC中，设外接圆的半径为R，
若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB，可得a>b，所以A>B，可知A项正确；
对于B，由内角和定理得B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sinA.故B项正确；
对于C，由b2+c2>a2得A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误；
对于D，若acsA=bcsB，则由正弦定理得sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
可得A=B或A+B=90°，所以▵ABC是等腰或直角三角形，故D项错误．
故选：AB．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于F,M分别是DA,DC的中点，故FM//AC，
而AC//A1C1，所以FM//A1C1，故A正确；
对于B，当E是A1C1的中点时，由于BA1=BC1，故BE⊥A1C1，而FM//A1C1，所以BE⊥FM，故B正确；
对于C，假设平面BEF//平面CC1D1D，则两平面没有公共点，从而两直线BF,CD没有公共点，
又由于两直线BF,CD都在下底面内，故BF//CD，
而BA//CD，这意味着F和A重合，矛盾，故C错误；
对于D，设E到平面BCF的距离和F到直线BC的距离分别为ℎE−BCF和ℎF−BC，
则ℎE−BCF=ℎF−BC=|BC|=1，
从而三棱锥B−CEF的体积V=13⋅ℎE−BCF⋅S▵BCF=13⋅ℎE−BCF⋅12|BC|⋅ℎF−BC=16，故D正确．
故选：ABD．
12.【答案】12,12
【解析】【分析】
本题考查平面向量的坐标运算及投影向量，属于简单题．
由投影向量的定义代入计算可得结果．
【解答】
解：根据投影向量的定义可知，
a在b上可投影向量为a⋅bb⋅bb=−3×2+4×24+4⋅b=14b=12,12 ．
故答案为12,12．
13.【答案】18/0.125
【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式求解．
【详解】由事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B也相互独立．
所以PAB=P(A)PB=P(A)1−P(B)=12×1−34=18．
故答案为：18
14.【答案】 3 ； ；
；2+ 3/ 3+2
【解析】【分析】设AC=b，则BC=2b，画出图形，运用余弦定理得到A= 3b，进而得到ABAC= 3，再用余弦定理得到 32=BD2+AB2−222AB⋅BD，借助基本不等式计算即可．
【详解】设AC=b，则BC=2b．

在▵ABC中，由余弦定理得：
AB= BC2+AC2−2BC⋅AC⋅csπ3= (2b)2+b2−2⋅2b⋅b⋅12= 3b，
ABAC= 3bb= 3，
在▵ABC中，AB= 3b,AC=b,BC=2b，
满足BC2=AB2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=π6，
在▵ABD中，由余弦定理csB=BD2+AB2−AD22AB⋅BD，
∴ 32=BD2+AB2−222AB⋅BD，
3BD⋅AB=BD2+AB2−4≥2BD⋅AB−4，当且仅当BD=AB时取等号，
∴BD⋅AB≤42− 3=8+4 3，
∴S▵ABD=12BD⋅AB⋅sinB，
∴S▵ABD≤128+4 3×12=2+ 3，
即▵ABD面积的最大值为2+ 3．
故答案为： 3；2+ 3．
15.【答案】解：(1)复平面内A、B、C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，
设D的坐标(x,y)，由于AD=BC，
∴(x−1,y−3)=(2,−1)，
∴x−1=2，y−3=−1，
解得x=3，y=2
，故D(3,2)，
则点D对应的复数z=3+2i；
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，
∴3−2i是关于x的方程2x2−px+q=0的另一个根，
则3+2i+3−2i=p2，(3+2i)(3−2i)=q2，
即p=12，q=26．

【解析】(1)根据A、B、C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D的坐标(x,y)，利用AD=BC求解；
(2)根据3+5i是关于x的方程2x2−px+q=0的一个根，然后利用根与系数的关系求解．
16.【答案】解：(1)因为m//n，所以 3a−bsinB−a−csinA+sinC=0，
由正弦定理得a 2+b 2−c 2= 3ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 32，
因为C∈0,π，所以C=π6．
(2)解法一：因为sinB=1+csA，
所以sinB=1+cs5π6−B=1− 32csB+12sinB，则12sinB+ 32csB=1
即sinB+π3=1，
又0