2022年高考数学大一轮复习 第十章 第四节 随机事件的概率课件PPT

课时跟踪检测（六十四）  随机事件的概率和古典概型

[素养落实练]

1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(　　)

A．至少有一个白球；都是白球

B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；一个白球一个黑球

D．至少有一个白球；红球、黑球各一个

解析：选D　对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．

2．已知随机事件A，B发生的概率满足条件P(A∪B)＝，某人猜测事件∩发生，则此人猜测正确的概率为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B.

C.  D．0

解析：选C　∵事件∩与事件A∪B是对立事件，∴事件∩发生的概率为P(∩)＝1－P(A∪B)＝1－＝，则此人猜测正确的概率为.故选C.

3．(2021年1月新高考八省联考卷)在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　设事件A＝“恰有1位同学分到写有自己学号的卡片”，则P(A)＝＝.

4．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：

根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选C　由题意知，比较满意的人数n＝4 500－(200＋2 100＋1 000)＝1 200(人)，故“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300(人)．所以概率为P＝＝.

5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有CCA＝36(种)取法，所以P＝＝.

6．(2021·长沙模拟)同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－＝.故选A.

7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有2×3×10＝60种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1×4×10＝40种．因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为＝＝.

8．为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件，因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝1－＝，故选C.

9．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2；[15.5,19.5)4；[19.5,23.5)9；[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)11；[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5；43.5)3.根据样本的频率分布估计，数据在[31.5,43.5)的概率约是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在[31.5,43.5)范围的有[31.5,35.5)12；[35.5,39.5)7；[39.5,43.5)3，∴满足题意的数据有12＋7＋3＝22(个)，而总的数据有66个，∴数据在[31.5,43.5)的频率为＝，由频率估计概率得P＝.故选B.

10．在新冠肺炎疫情期间，某医院有10名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3名女医生．现从中抽选5名医生，用X表示抽到男医生的人数，则X＝3的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　因为“从10名医生中抽选5名医生”的基本事件总数为n＝C，

“从10名医生中抽选5名医生，其中有3名男医生”包含的基本事件数为m＝CC，

所以P(X＝3)＝＝＝.

11．(多选)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：

则下列说法正确的是(　　)

A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

解析：选BD　对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以选项D正确．

12．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142 857×2＝285 714,142 857×3＝428 571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：

142＋857＝999,571＋428＝999，…若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999－x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　根据题意，从1,4,2,8,5,7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，共有A＝6×5×4＝120个样本点．又因为从1,4,2,8,5,7这6个数字中：1＋8＝9，2＋7＝9,4＋5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x,999－x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有CCC＝6×4×2＝48个样本点，所以P＝＝.

13．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，则军火库爆炸的概率为_______．

解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.

答案：0.225

14．(2021·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是________．

解析：由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是.

答案：

15.算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为________．

解析：所拨数字共有CC＝24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有C＝3种；当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各拨一颗下珠，有CC＝9种，所以所拨数字能被5整除的概率为＝.

答案：

16．今年“五一”小长假期间，某博物馆准备举办一次主题展览，为了引导游客有序参观，该博物馆每天分别在10时，13时，16时公布实时观展的人数．下表记录了5月1日至5日的实时观展人数：

通常用实时观展的人数与博物馆的最大承载量(同一时段观展人数的饱和量)之比来表示观展的舒适度，50%以下称为“舒适”，已知该博物馆的最大承载量是1万人．若从5月1日至5日中任选2天，则这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　5月1日至5日中，该博物馆每天在10时，13时，16时这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的有2天，分别为5月4日和5月5日，从5月1日至5日中任选2天，样本点总数n＝C＝10，这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”包含的样本点个数m＝CC＝6，所以这2天中，恰有1天这3个时刻的观展舒适度都是“舒适”的概率P＝＝＝.

17．某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保新司机车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

[梯度拔高练]

1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B. 

C.  D.

解析：选D　由题意可得

即解得<a≤.

2．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，

∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，

∴最近的行走路线共有CC＝210(种)．

∵不能连续向上，∴最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有CC＝60(种)，

∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.

3．将一个各面上均涂有同种颜色的正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，则恰好没有被涂色的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由题意，得沿等分线把正方体切开，得到同样大小的小正方体共有64个，其中有3个面涂色的小正方体有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12×2＝24个，只有1个面涂色的小正方体共有6×4＝24个，那么没有被涂色的小正方体共有64－8－24－24＝8个，所以恰好没有被涂色的概率为＝.

4．(2020·保定期末)若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”．现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为________．

解析：根据定义“递增三位数”，个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字．可知个位数最小为3，最大为9.

当个位数为3时，三位数为123，共1个．三个数字依次成等差数列的有1个．

当个位数为4时，三位数为124,134,234，共3个．三个数字依次成等差数列的为234，有1个．

当个位数为5时，三位数为125,135,145,235,245,345，共6个．三个数字依次成等差数列的为135,345，有2个．

当个位数为6时，三位数为126,136,146,156,236,246,256,346,356,456，共10个．三个数字依次成等差数列的为246,456，有2个．

当个位数为7时，三位数为127,137,147,157,167,237,247,257,267,347,357,367,457,467,567，共15个．三个数字依次成等差数列的为147,357,567，有3个．

当个位数为8时，三位数为

128,138,148,158,168,178,238,248,258,268,278,348,358,368,378,458,468,478,568,578,678，共21个．三个数字依次成等差数列的为258,468,678，有3个．

当个位数为9时，三位数为

129,139,149,159,169,179,189,239,249,259,269,279,289,349,359,369,379,389,459,469,479,489,569,579,589,679,689,789，共28个．三个数字依次成等差数列的为159,369,579,789，有4个．

综上可知，“递增三位数”共有1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＝84个．

三个数字成等差数列的共有1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＝16个．

则从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为＝.

答案：

5．(2020·滁州模拟)某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人．为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求2人恰为一男一女的概率；

(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生”与性别有关．

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

解：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于110分的学生中，男生有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；女生有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．

其中，2名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，

故所求的概率为P＝＝.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，“数学尖子生”分别为：男生60×0.25＝15(人)，女生40×0.375＝15(人)．

据此可得2×2列联表如下：

所以K2＝≈1.79.

因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生”与性别有关．