2025-2026学年下学期山西省晋中高三数学4月二模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山西省晋中高三数学4月二模试卷含答案，共3页。试卷主要包含了 本试卷命题范围， 下列命题正确的是，5x+1 ,则 c=e等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3. 本试卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 符合题目要求的.
1. 复数 z=i−3 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 A={−1,1,2,4},B={xx−1∣≤1} ,则 A∩B=
A. {−1,2} B. {−1,4} C. {1,2} D. {1,4}
3. 已知命题 p:∃x>0,x2+2x+1=x 的否定
A. ∀x>0,x2+2x+1≠x B. ∀x≤0,x2+2x+1≠x
C. ∀x>0,x2+2x+1=x D. ∃x>0,x2+2x+1≠x
4. 双曲线 3x2−4y2=12 的焦距为
A. 3 B. 6 C. 7 D. 27
5. tan15∘+1tan15∘−1=
A. −3 B. -1
C. −33 D. −2
6. x−2xnn∈N∗ 的展开式中二项式系数的和为 64,则展开式中的常数项为
A. 60 B. -60 C. 15 D. -15
7. 在 △ABC 中, AC⋅AB=34AB​2=AC​2 ,则 tanA=
A. 2−3 B. 1
C. 33 D. 3
8. 关于 x 的方程 xe4x+lnx=1−a 有两个不同的解,则实数 a 的取值范围为
A. 0,1e B. −∞,1e C. 0,1e D. 0,1e
二、选择题; 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是
A. 两个变量 x,y 的相关系数为 r ,若 r 越小,则 x 与 y 之间的线性相关程度越弱
B. 设随机变量 ξ∼N2,1 ,若 Pξ>3=p ,则 Pξb>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为椭圆 C 上位于第一象限内的一点且 ∠F1PF2=π3,∠F1PF2 的平分线交 x 轴于点 Mc2,0 ,则椭圆 C 的离心率为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (13 分)
人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取 30 名男教师和 20 名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分 100 分)，若分数为 80 分及以上的为优秀,其他为非优秀,统计并得到如下列联表:
(1)根据小概率值 α=0.1 的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？
(2)从样本中成绩优秀的 30 名教师中，随机抽取 2 人进行调研，记抽取的 2 人中女教师的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d .
16. (15 分)
已知数列 an 中， a1=2 ， an+1=2anan+2 .
(1)证明: 1an 是等差数列；
(2)求数列 an4n+1 的前 n 项和 Tn .
17. (15 分)
如图，在四面体 ABCD 中， AB⊥ 平面 ACD ， △ACD 是等边三角形， AB=AC ， E 是 AD 的中点.

(1)证明: CE⊥BD ；
(2)求二面角 E−BC−D 的正弦值.
18.(17分)
已知抛物线 E:x2=2y ，圆 F:x2+y−12=1 ，点 Ax0,y0 (其中 y0>2 )为抛物线 E 上一动点,过点 A 作圆 F 的两条切线分别与 x 轴交于点 B,C .
(1)判断抛物线 E 与圆 F 的交点个数，并说明理由；
(2)求 BC 的取值范围；
(3)求 △ABC 周长的最小值.
19.(17 分)
已知函数 fx=x2−a+2x+alnx ，其中 a∈R .
(1)讨论 fx 的单调性.
(2)若函数 gx=fx−x2 有两个不同的零点 x1,x2 .
① 求实数 a 的取值范围；
② 证明: x1x2>e2 .
2025-2026 高三二模考试数 学参考答案、提示及评分细则
1. B 根据复数的几何意义,复数 z=i−3 在复平面内对应的点为 −3,1 ,所以复数 z=i−3 在复平面内对应的点位于第二象限.
2. C 由 x−1≤1 得 −1≤x−1≤1 ,解得 0≤x≤2 ,即 B={x∣0≤x≤2} ,故 A∩B={1,2} .
3. A 由存在量词命题的否定为全称命题,则原命题的否定为 ∀x>0,x2+2x+1≠x .
4. D 由题知双曲线的标准方程为 x24−y23=1 ,故 c2=a2+b2=4+3=7 ,得 c=7 ,故焦距为 2c=27 .
5. A 由题意得 tan15∘+1tan15∘−1=−tan15∘+tan45∘1−tan15∘×tan45∘=−tan60∘=−3 .
6. A 由题可知: 2n=64⇒n=6 ,通项公式为 Tr+1=C6rx6−r2−2xr=−1r2rC6rx3−32r ,令 3−32r=0⇒r=2 ,所以常数项为 −12⋅22C62=60 .
7. C 在 △ABC 中,设角 A,B,C 对边分别为 a,b,c ,因为 34AB​2=AC​2 ,可得 34AB2=AC2 ,即 34c2=b2 ,即 b= 32c ,又由 AC⋅AB=ACABcsA=bccsA=32c2csA ,又因为 AC⋅AB=34AB​2 ,所以 32c2csA=34c2 ,即 csA=32 ,因为 A∈0,π ,所以 A=π6 ,所以 tanA=tanπ6=33 .
8. D 方程 xeax+lnx=1−a 可转化为 eax+lnx=1−ax=1x−ax ,则 eax+ax=ln1x+1x ,所以 eax+ax= ln1x+eln1x ,设 fx=ex+x,x∈R ,则方程转化为 fax=fln1x ,又 f′x=ex+1>0 恒成立,所以 fx=−1−lnx , 在 R 上为增函数,所以 ax=ln1x=−lnx ,即 a=−xlnx,x>0 . 令 ℎx=−xlnx,x>0 ,所以 ℎ′x=−1−lnx , 则 ℎ′x=0 可得 x=1e ,当 x∈0,1e 时, ℎ′x>0 ,函数 ℎx 在 0,1e 上单调递增,当 x∈1e,+∞ 时, ℎ′x0 有两个不同的解,则实数 a 的取值范围为 0,1e .
9. ACD 由题意, A 项,两个变量 x,y 的相关系数为 r,r 越小, x 与 y 之间的线性相关程度越弱,故 A 正确; 对于 B,随机变量 ξ 服从正态分布 N2,1 ,由正态分布概念知若 Pξ>3=p ,则 Pξ3=p ,故 B 错误; 对于 C,DX=np1−p=6×12×1−12=32 ,又 Y=2X−1 ,故 DY=22×32=6 ,故 C 正确; 对于 D,z= 0. 5x+1 ,则 lny=0.5x+1,y=e0.5x+1=e⋅e0.5x ,故 c=e .
10. BD 因为 a=2,c=233,A=120∘ ,所以 C2,∴l=2y02y0−2 . 13 分
令 y0−2=t,∴y0=t+2t>0 ,
l=2×t+22t=2×t2+4t+4t=2t+4t+4≥16 ,
∴ 当 t=2 即 y0=4 时,取等号, ∴△ABC 周长的最小值为 16 . 17 分
19.(1)解:函数 fx 的定义域为 0,+∞,f′x=2x−a+2+ax=2x2−a+2x+ax=2x−ax−1x ，当 a≤ 0 时，函数 fx 在 0,1 上单调递减，在 1,+∞ 上单调递增；当 00,G′x=1−lnxx2 ,令 G′x=0 ,得 x=e ,
当 x∈0,e 时, G′x>0 ,可知 Gx 在 0,e 上单调递增,

当 x∈e,+∞ 时, G′x1 时, Gx>0 ,
得 Gx 的大致图象如图所示.
可得 a+2a∈0,1e ,所以实数 a 的取值范围为 2e1−e,−2 . 9 分
② 证明: 当 2e1−e2x2−x1x2+x1=2x2x1−1x2x1+1 ,设 t=x2x1>1 . 13 分
令 Ft=lnt−2t−1t+1=lnt+4t+1−2 ,
则 F′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0 ,可知函数 Ft 在 1,+∞ 上单调递增,且 F1=0 .
可得 Ft>0 ,即 lnt>2t−1t+1 ,所以 x1x2>e2 . 17 分男教师
女教师
总计
优秀
20
10
30
非优秀
10
10
20
总计
30
20
50
α
0.1
0.05
0.01
0.001
x 。
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
38
40 │ 87
329