江苏省镇江第一中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

这是一份江苏省镇江第一中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）试卷主要包含了 记，若，则， 类比排列数，定义函数， 下列各式正确的是等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，
又由双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
2. 某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A. 从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势
B. 这10天白天的平均气温的极差大于6℃
C. 这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大
D. 这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天
【答案】D
【解析】
【分析】
观察折线图可得选项A和选项B正确；选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.
【详解】选项A，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.
选项B，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确；
选项C，这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；
选项D，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.
故选：D.
3. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，由于函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可．
【详解】，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，
，
而在区间上单调递减，
，
的取值范围是：，
故选：D．
4. 记，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令和，再结合二项式定理求解即可.
【详解】令，由，
得，
则，
.
5. 若这五个数的平均数等于其中位数，则
A. 0或5B. 0或C. 5或D. 0或5或
【答案】D
【解析】
【分析】先求出这5个数的平均数，然后对m进行分类讨论，求得其中位数，再求出m的值.
【详解】易知这五个数的平均数为
当，其中位数为2，则，解得m=0；
当，其中位数为3，则，解得m=5；
当，其中位数为m，则，解得
故选D
本题主要考查了平均数和中位数的求法，本题的解题关键是对m进行分类讨论，才能求出其中位数，属于中档题.
6. 将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种，
其中2个黄球不相邻的有种，
所以所求事件的概率为.
故选：C
7. 已知数列的前n项和为，满足， ，若，则m的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通项公式，再利用裂项相消法求出sm，最后根据已知，解出m即可．
【详解】由已知可得，，，
，（n≥2），
1，即，
解之得，或 7.5，
故选C．
本题考查前n项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属于中等难度．
8. 类比排列数，定义函数（其中），将右边展开并用符号表示的系数，得，以下说法正确的是：（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为
，
，
，令，
，
当时，系数为；
当时，系数为；
当时，系数为，
对任意，有，
与选项A一致，故A正确．
二、多选题
9. 下列各式正确的是（ ）
A. 已知，则的取值为6或7
B.
C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法
D. 的展开式中的系数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D.
【详解】对于A，因为，
所以或，
解得或,故A正确；
对于B，由组合数的性质可知：
，
所以，
所以
，故B正确；
对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可，
所以共有种不同放法，故C错误；
对于D，因为的展开通项为：，
而的展开式中的系数由两部分组成：
第一部分是与的展开式中的系数的积，即；
第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即，
所以的展开式中的系数为，故D正确.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立
B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和互斥
C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为
D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式可验证是否相互独立，即可判断A，根据互斥事件的定义可判断B，根据对立事件的概率和独立事件的概率乘法公式先求甲乙两人均未中靶的概率，再结合对立事件概率公式求“至少一人中靶”的概率即可判断C，根据古典概型概率公式求“取出的鞋不成双”的概率即可判断D.
【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则，，而=“出现3点”，
所以，则PMN=PM⋅PN，故事件和相互独立，故A正确；
对于B，由选项A知，PMN=16≠0，即事件与事件能同时发生，故不互斥，故B错误，
对于C，由已知事件甲乙两人均未中靶的概率为1−0.8×1−0.9=0.02，
所以事件“至少一人中靶”的概率为，故C正确，
对于D，先从三双中取出两双，再从取出的两双中每双各取一只，
所以“取出的鞋不成双”的概率为C32C21C21C62=45，故D正确.
11. （多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 以为直径的圆与准线相切
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知，所以的最小值为，求出，可判断C.
【详解】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．
对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；
对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．
又的坐标为，所以，故C错误．
对于D，连接，则由，
得，又轴，所以，
同理，
所以，
所以，所以，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，6，7．从这7张卡片中随机抽取3张，所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【详解】从这7张卡片中随机抽取3张，总共，
已知所抽取卡片上数字的最小值为2，
必须抽到2，且不能抽到1，另外2张卡片必须从3，4，5，6，7中选取，
故抽取组合数为，
所抽取卡片上数字的最小值为2的概率是：．
13. 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为________.
【答案】
【解析】
【分析】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，探索数列的首项和递推公式，从而求的值.
【详解】设第次传球后，球又回到甲手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为.
这些方法可分为两类：一类是球在甲手中，有种方法，
另一类是球不在甲手中，有种方法，
第次传球后球要回到甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，然后由持球人传给了甲，
因此，，即，
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以．
利用递推关系可以得到：．
这说明经过次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有种．
14. 已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】 ①. 或2； ②. .
【解析】
【分析】（1）当时，运用导数求得函数单调区间，可得，可得一根，当时，直接求解可得.
（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有3个零点所需要的条件，即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，所以，
令，得，并且当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故当时，有唯一根，
当时，，令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2；
（2）因为，
当时，由（1），则，
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且仅当，且，
因为当时，则有或，
即或，

由图象得，要使函数有三个零点，且，
则或或
解得实数的取值范围是
故答案是：或2；.
四、解答题
15. 口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球
（1）正好是白球､红球各一个的取法有多少种？
（2）至少有一个白球的取法有多少种？
（3）两球的颜色相同的取法有多少种？
注：结果均用数字作答．
【答案】（1）80 （2）108
（3）73
【解析】
【分析】（1）由分步乘法即可得解；
（2）分为白球、红球各一个和两个全是白球，结合分类加法即可得解；
（3）分为两球全是白球和两球全是红球，结合分类加法即可得解.
【小问1详解】
取出1个白球，有8种取法；取出1个红球，有10种取法，
所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有种．
【小问2详解】
至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，
取出的两个球全是白球的取法有种，
所以至少有一个白球共有种取法．
【小问3详解】
两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
取出的两个球全是红球的取法有种，
所以两球的颜色相同的取法有种．
16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率；
（2）估计这次考试的平均分和中位数（精确到0.01）；
（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩分别为，求满足“”的概率．
【答案】（1）0.3（2）平均分71，中位数73.33（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图直接求出第4小组的频率．
（2）由频率分布直方图能估计平均分和中位数．
（3）设成绩满足“|x﹣y|≤10”为事件A，由频率分布直方图得成绩在[40，50）分的学生记为1，2，3，4，成绩在[90，100）分的学生记为a,b，将从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人的基本事件一一列出，从中找出事件A包含的基本事件，由此能求出满足“|x﹣y|≤10”的概率．
【详解】（1）由频率分布直方图可知
所以第4小组的频率为：a=1﹣0.1﹣0.15﹣0.15﹣0.25﹣0.05=0.3．
（2）由频率分布直方图可得平均分为：
0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71
第一、二、三组的频率之和为0.1+0.15+0.15=0.4
所以中位数= 70+≈73.33
（3）由频率分布直方图可得，成绩是40～50分的有40×0.1=4人，记为1，2，3，4，90～100分的学生有40×0.05=2人，记为a,b.
记“|x﹣y| ≤10”为事件A，
基本事件有(1,2) (1,3) (1,4) (1,a) (1,b) (2,3) (2,4) (2,a) (2,b) (3,4) (3,a) (3,b) (4,a) (4,b) (a,b) 共计15个， 事件A中包含的基本事件数为(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (a,b)共7个.
所以 P(A)=.
本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查平均数、中位数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17. 已知两个数列与，满足，且
（1）求证：是等差数列.
（2）记，求数列的前项和
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
由知.
则，
，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知，
，
，
相减得：，
，
得.
18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据，再根据点是椭圆上一点，求得，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形的面积，化简可得结论.
【小问1详解】
由题意
又∵点是椭圆上一点，∴，又
解得
因此，椭圆的方程为
【小问2详解】
证明：当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点
联立，得，
则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线的距离为，
因为
且
所以（定值），
综上述四边形的面积为定值．
19. 已知函数，.
（1）求证：当，；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别构造函数，，，利用导数分别求出两函数的最值，即可得证；
（2）在区间上恒成立，即在区间上恒成立，构造函数，由分类讨论求出函数的最值即可得解.
【小问1详解】
设，
则，所以在区间上单调递增，
所以，即，
设，，
则，
由时，，即，
所以，
设，则，
当时，，所以函数在区间上单调递增，
故在区间上，，即在区间上，，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以得证.
【小问2详解】
由在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，则在区间上恒成立，
而，
令，则，
由（1）知：在区间上，，
即，所以在区间上函数单调递增，
①当时，，
故在区间上函数，所以函数在区间上单调递增，
又，故，即函数在区间上恒成立；
②当时，，
，
故在区间上函数存在零点，即，
又在区间上函数单调递增，
故在区间上函数，
所以在区间上函数单调递减，
由，所以在区间上，与题设矛盾.
综上，的取值范围为.
方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．