重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含答案（word版）

这是一份重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷含答案（word版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题: 本题共 8 小题. 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项符合题目要求. 请将答案填写在答题卡的相应位置上.
1. 从 1，2，3，4，5 五个数字中任选 3 个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
2. 函数 y=fx 的导函数 y=f′x 的图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A. y=fx 在区间 −2,−1 上单调递减
B. y=fx 在区间 −1,1 上单调递增
C. -3是函数 y=fx 的极大值点
D. -1是函数 y=fx 的极小值点
3. 多项式 x+y+z4 展开式中， xyz2 项的系数为( )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
4. 函数 y=x3−3x 的图象与直线 y=m 恰有两个公共点，则 m= ( )
A. -1或0 B. -1或1 C. -2或0 D. -2 或 2
随机变量 X 的分布列如右表，则方差 DX= ( )
A. 13 B. 49 C. 59 D. 23
6. 过抛物线 x2=4y 的焦点 F 作斜率为 kk>0 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点， O 为坐标原点，设 OA,OB 的斜率为 k1,k2 ,若 k1+k2=1k ,则 k= ( )
A. 2 B. 1C. 12 D. 14
7. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( )
A. 780 B. 760 C. 1380 D. 1360
8. 已知直线 y=kx+m 为 fx=ex 的一条切线，将 y=fx 的图象向右平移 e 个单位，向上平移 1 个单位后仍与直线 l 相切，则 km= ( )
A. 1B. 2e2 C. 0D. e2
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 请将答案填写在答 题卡相应的位置上.
9. 已知 fx=2x2−1xn 的展开式中所有二项式系数之和为 512，则以下说法正确的有( )
A. n=9 B. 展开式中第四项和第五项的二项式系数最大
C. f−1 除以 4 的余数为 1 D. 展开式中常数项为 672
10. 在一个盒子中装有 4 个大小形状均相同，编号为 1-4 的小球。从中有放回地随机取两次，每次取 1 个球, 记事件 A: “第二次取到球的号码小于等于 2”, 事件 B: “两次取到球的号码之和为奇数”, 事件 C: “两次取到球的号码之积为偶数”，则( )
A. B 与 C 互斥 B. A 与 C 相互独立
C. PA+C=78 D. PB∣C=23
11. 已知函数 fx 及其导函数 f′x 定义域均为 R ,且满足 f′x=3e2x−fx,f′0=2 ,则下列说法正确的有( )
A. 函数 fx 在 R 上单调递增
B. 函数 y=fx−2x2 存在极小值
C. 若 fa−fb=1 ，则 2a−b≥ln2
D. 若 fa−fb=1 ，则 lna−b+a+b0,fx≤2ax 恒成立，求 a 的取值范围.
16.(15分)如图，四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， ∠DAB=120∘ ， Q 为 PB 的中点.
(1)证明 PD// 平面 QAC ；
(2)若 P 在平面 ABCD 上的射影为 AD 中点，且 AP=AB=2 ， 求平面 QAC 与平面 PAD 夹角的余弦值.
17. (15 分)已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的图象经过点 3,2 ，其中一条渐近线方程为 y=33x .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过点 P1,0 作垂直于 x 轴的直线 l ，过点 Q3,0 作直线 AB 与双曲线右支交于 A,B 两点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 D . 证明:直线 BD 过定点，并求出该定点的坐标.
18.(17分)重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺. 某漆器厂准备制作 A,B,C 三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作, 第二道是抛光上漆, 第一道工艺合格以后才能进入第二道, 两道工艺相互独立, 三件瓷盘的制作过程也相互独立. 该厂制作 A,B,C 瓷盘第一道工艺合格率分别为 45,67,56 ,第二道工艺合格率分别为 56,79,45 .
(1)求经过第一道工艺以后 A,B,C 三件瓷盘中恰有两件合格的概率；
(2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利 2 百元；如果不合格，每件亏损 1 百元,求这三件瓷盘合计盈亏金额 X 的数学期望;
(3)该厂决定研发资盘 D ，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为 p ,每名二级技工制作成功的概率为 p20