重庆南开中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆南开中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了 多项式展开式中，项的系数为， 随机变量的分布列如表，则方差等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷和第II卷都答在答题卷上.
第I卷（选择题共58分）
一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡的相应位置上.
1. 从五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 60B. 70C. 80D. 90
2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增
C. 是函数的极大值点
D. 是函数极小值点
3. 多项式展开式中，项的系数为（ ）
A B. C. D.
4. 函数图象与直线恰有两个公共点，则（ ）
A 或B. 或C. 或D. 或
5. 随机变量的分布列如表，则方差（ ）
A. B. C. D.
6. 过抛物线的焦点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，设、的斜率为、，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线为的一条切线，将的图象向右平移个单位，向上平移1个单位后仍与直线相切，则（ ）
A. 1B. C. 0D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
9. 已知的展开式中所有二项式系数之和为512，则以下说法正确的有（ ）
A.
B. 展开式中第四项和第五项的二项式系数最大
C. 除以4余数为1
D. 展开式中常数项为672
10. 在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（ ）
A. 与互斥B. 与相互独立
C. D.
11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 函数存在极小值
C. 若，则
D. 若，则
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置上.
12. 现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为__________.
13. 已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为__________.
14. 按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个.
四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
15. 已知函数.
（1）若为函数的极大值点，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点.
（1）证明平面；
（2）若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知双曲线的图象经过点，其中一条渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作垂直于轴的直线，过点作直线与双曲线右支交于、两点，过点作的垂线，垂足为点.证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.
18. 重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为.
（1）求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率；
（2）经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望；
（3）该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择：
方案一：由二级技工第一个制作；
方案二：由二级技工第三个制作.
试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由.
19. 已知函数.
（1）判断函数在上的单调性；
（2）设函数，若方程在上有三个不同的根，求证：；
（3）求证：.