重庆市南开中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市南开中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．10B．5C．D．
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．17B．2C．D．17
4．已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在处取得极大值0，则在的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（ ）
A．54B．57C．45D．46
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若数列的前项和，则（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．有最小值
10．已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线从右至左依次与抛物线，准线交于三点，在两点处的切线交于点，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．轴D．
11．已知函数，则下列正确的有（ ）
A．当时，函数在上单调
B．对于任意的正实数，函数在不单调
C．当时，函数在上有且仅有个零点
D．对于任意的正实数，函数在必有极小值
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为 ．
13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ．
14．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形．
(1)证明：；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
16．设为数列的前项和，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若有两个极值点，证明：．
18．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为．
(1)求双曲的标准方程；
(2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为．
①证明：为定值；
②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值．
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点
(1)求实数的值，并求直线的方程；
(2)求数列的通项公式，并证明：对任意；
(3)设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值．
1．B
【分析】利用等差数列的前项和公式和项的性质，易求得的值.
【详解】由，可得.
故选：B.
2．A
【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】由求导得，则，而，
所以所求切线方程为.
故选：A
3．D
【分析】应用等比数列的基本量运算求出得，再结合等比数列求和公式计算即可.
【详解】等比数列设公比为，因为，所以，
所以，计算得，
所以.
故选：D.
4．C
【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解.
【详解】易知，
则，又，则，
得到，所以，解得或（舍），
故选：C.
5．C
【分析】（1）求出导函数，利用极值点列方程求解即可；
（2）利用导数，求函数的单调区间，即可求解.
【详解】因为函数在处取得极大值0，
所以，即，
所以，，
令，解得或，
当变化时，在的变化情况如表所示，
所以根据上图可知，在上的值域为，
故选：C
6．D
【分析】结合数阵确定其为二阶等差数列即可求解；
【详解】由“南开三角”可得：
，
，
，
，
，
，
，
，
由以上累加可得：，
所以，
故选：D
7．D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小即得.
【详解】令函数，求导得，函数在上单调递减，
，即当时，，
则，，即，
所以.
故选：D
8．B
【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得.
【详解】
如图，不妨设，
由题意，，
则，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成关于的方程的两根，
则，故得，（*）.
在中，因，
运用余弦定理，由可得：，
化简得：，
将（*）代入整理得：，
化简得：，即，
由图可得，则有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得.
9．ABC
【分析】根据可计算数列的通项公式，逐项判断可确定正确答案.
【详解】当时，，
当时，，满足上式，
∴.
当时，，
∴数列是以7为首项，为公差的等差数列，选项A正确.
由得，，选项B正确.
由得，，故，选项C正确.
由得，时，，时，，
∴有最大值，最大值为，选项D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】联立直线方程与抛物线方程可得韦达定理进而根据中点关系可求解AB，求导，根据点斜式求解切线方程， 进而联立两直线方程可得，即可求解C,结合基本不等式求解D.
【详解】,设直线,
联立与可得，
设,，则
对于A，若，则,因此是的中点，
故，代入可得
根据可得，化简可得，
解得，由于，所以，A正确，B错误，
由可得，求导可得，所以处的切线方程分别为，，
联立两切线方程可得，因此,故点在抛物线的准线上，故轴，C正确，
，由于，当且仅当时取等号，故，D正确，
故选：ACD
11．BCD
【分析】对于A，对求导，得，从而有在区间上单调递增，且，，即可求解；对于B，对求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得在单调递增，再注意到时，，当时，，即可求解；对于C和D，利用选项B中的结果，结合函数单调性与零点间的关系及极值的定义，即可求解.
【详解】对于选项A，当时，，则，
∵在区间上均单调递增，
∴易知在区间上单调递增，
又，，
所以，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，故选项A错误，
对于选项B，易知，，
令，则，
对于，因为，所以恒成立，
所以在上恒成立，故在区间单调递增，
故在区间单调递增，
又时，，当时，，
所以在区间上存在零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数在不单调，故选项B正确，
对于选项C，由选项B知在区间单调递增，
又，且，则，
又时，，所以，，
当时，，当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又时，，，
所以当时，函数在上有且仅有个零点，故选项C正确，
对于选项D，由选项B知在区间单调递增，又，
令，则，
易知时，，时，，
所以，即，
又时，，所以，，
当时，，当时，，
所以是的极小值点，故选项D正确，
故选：BCD.
【点晴】方法点晴：利用导数研究函数的极值点：
（1）对于可导函数，点是极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；
（2）若在内有极值点，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或单调减的函数没有极值点．
12．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心，半径，
依题意，，所以两条渐近线的方程为.
故答案为：
13．
【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围.
【详解】∵，∴，
由题意得，在上有解，即在上有解，
∴，，
设，则，
设，则，
∴在上为增函数，
∵，
∴当时，，，当时，，，
∴在上为减函数，在上为增函数，
∴，
∴，故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】根据数列通项与前项和的关系可得（），进而推导得（），算出首项可得数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，从而得出再求解即可.
【详解】由得（），
两式相减得：（），所以（），
两式相减得：（），
所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，
将代入及可得，
将代入（）可得，且，
要使得，恒成立，只需要即可，
所以，解得：，即实数的取值范围是．
故答案为：
15．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）设，表示各边长，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可证明线线垂直.
（2）求两平面法向量，利用空间向量计算二面角的余弦值.
【详解】（1）由题意得，，设，则.
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
∴，，
∴，∴.
（2）由（1）得，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故.
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
∴，
由图象可知二面角的平面角为锐角，故 二面角的平面角的余弦值为.
16．(1)；
(2)
【分析】（1）利用与的关系求解即可；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
所以，即，
又由解得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，经检验时满足通项公式，
所以.
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得，
所以.
17．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间.
（2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
方程中，，
当时，恒成立，，在上单调递增；
当时，由，解得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，
递减区间为.
（2）由（1）知，有两个极值点，则，
，
令函数，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，
所以.
18．(1)；
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）根据条件计算双曲线的，利用可求双曲线方程.
（2）①联立直线与双曲线方程，借助韦达定理计算的值.
②联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示弦长，进而计算两弦长乘积的最大值.
【详解】（1）由题意得，.
设双曲线的标准方程为，半焦距为，则，
∴，
故双曲线的标准方程为.
（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由得，，
∴，
∴
，
当直线斜率不存在时，，.
综上得，为定值，定值为.
②由题意得，直线方程为，设，
由得，，
∴，
∴，同理得，，
∴
，
设，则，
∴，
∵，∴，∴，
∴的最大值为，当且仅当取最大值.
【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理表示直线斜率或弦长，由此计算结果.
19．(1)，.
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接代入，再根据直线对称即可得到答案；
（2）当为奇数时，计算相关点坐标和直线斜率，化简得化简得，再通过取对数计算即可；
（3）根据换元法得在时恒成立，再分离参数并利用导数即可得到最值.
【详解】（1）当时，，解得，则，
当时，，解得，
则，则直线的直线方程为，
又因为，则其倾斜角为，则对称后直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
所以直线方程为：，即.
（2）由题意，当为奇数时，，
则直线的斜率，
化简得，
配方可得：，取对数可得，
由可得，
，
解得，
由题意可得，，
因为函数单调递增，所以，
因为，故当时，.
（3）由（2）得：，
因为函数单调递增，可知：
，
故，令，可得，由恒成立，
可得在时恒成立，即在时恒成立，
令，得，当时，，
即在上单调递减，故，所以的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是先分析出，可得，再换元分离参数，利用导数即可得到答案.
0
0
极大值
极小值
极大值