2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||lg2x|<1},B={x|1−xx+2>0}，则A∩B=( )
A. (12,1)B. (1,2)C. (−2,12)D. (12,2)
2.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数g(x)=f(ex)x的定义域为( )
A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (0,+∞)D. [0,+∞)
3.已知命题p：|x|+|x+1|≥a对∀x∈R恒成立，命题q：函数f(x)=ln(1−ax)在[0,1]上单调递减，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a>b>1，则下列不等式不一定成立的是( )
A. aa+1>bb+1 B. lgab2 D. ab>ba
5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=ex−e−xx
B. f(x)=ln(x2+1)
C. f(x)=ex−ex2
D. f(x)=x2ln|x|
6.已知a=lg232,b=lg1343,c=lg1454，则a，b，c的大小关系是( )
A. a7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为( )
A. 15B. 310C. 25D. 12
8.已知m，n，k均为正实数，m>2k，且3k2−(3m+2n)k+mn=0，若(3m+n)t−3k≥0恒成立，则实数t的最小值为( )
A. 115B. 15C. 34D. 63
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于(1 x−2x)6的展开式，下列说法中正确的是( )
A. 各项系数之和为1B. 第二项与第四项的二项式系数相等
C. 常数项为60D. 有理项共有4项
10.已知非常值函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，则( )
A. 若f(4−x)+f(x)=2，则f(x−2)−1为奇函数
B. 若f(1−x)为偶函数，则g(1)=0
C. 若f(x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则f(3)=0
D. 若f(12−2x)与g(x+1)均为偶函数，则f(0)=0
11.16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一.已知lg2≈0.301，lg2024≈3.306，则下列说法中正确的是( )
A. 若正实数x，y，z满足3x=4y=6z，则1x+1y=1z
B. 若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则n=4
C. 20242024是位数为6692的正整数
D. 将无理数lg35写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=32x+3−2x≥−1lg2(1−x)x<−1，则不等式f(x)≤7的解集为______．
13.写出一个同时具有下列性质的函数f(x)= ______．
①f(x)为定义在R上的非常值函数；
②∀x1∈R且x1≠2，均存在唯一的x2∈R(x2≠2且x1≠x2)，使得f(x1)=f(x2)成立；
③∀x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)=4f(x2)成立．
14.已知函数f(x)=−x|x−2a|+a2+2a，若函数f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3(x1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−2且f(1)=0．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)=f(x)+(a+3)x−1，x∈[−2,1]，求函数g(x)的最小值ℎ(a)．
16.(本小题15分)
甲，乙，丙，丁四名选手进行象棋比赛，已知甲和乙是专业选手，丙和丁是业余选手.已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为0.7、业余选手获胜的概率为0.3，专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为0.5，业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为0.5，比赛规则为：第一轮随机安排两两对赛，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮胜者为第一名．
(1)求选手甲和丁在第一轮对赛的概率；
(2)求选手甲和丁在第二轮对赛的概率；
(3)现有两种比赛方案，
方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛；
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛．
比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小，并解释结果．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=3x+a3x−a,a∈R．
(1)当a=1时，证明：f(x)为奇函数；
(2)当a<0时，函数f(x)在[m,n](m(3)当a<0时，证明：f(x)为中心对称函数．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnxx−1．
(1)求f(x)的单调性；
(2)若f(x)19.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，过F1，F2分别作两条互相平行的直线l1，l2，其中l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，且点A，C位于x轴同侧，直线A1C与A2A交于点P.当l1与x轴垂直时，△PF1F2是面积为1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线A1C与直线A2A的斜率之和为1，求直线l1，l2的方程；
(3)求|PF1||PF2|的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.D
6.A
7.B
8.B
9.ACD
10.BC
11.BCD
12.[−127,−12]
13.|x−2|
14.(−2,−1) (2+2 2,+∞)
15.解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b=2x−2，
所以a=1，a+b=−2，即b=−3，
因为f(1)=a+b+c=0，
所以c=2，f(x)=x2−3x+2；
(2)g(x)=f(x)+(a+3)x−1=x2+ax+1，
g(x)的开口向上，对称轴为x=−12a，
当−12a≥1，即a≤−2时，g(x)在[−2,1]上单调递减，则ℎ(a)=g(1)=2+a；
当−12a≤−2，即a≥4时，g(x)在[−2,1]上单调递增，则ℎ(a)=g(−2)=5−2a；
−2<−12a<1，即−2故ℎ(a)=2+a,a≤−25−2a,a≥41−a24,−216.解：(1)由题意，第一轮的对赛的所有情况有：
①甲乙，丙丁；②甲丙，乙丁；③甲丁，乙丙，共三种情况，
故甲和丁在第一轮对赛的概率为13；
(2)由(1)，第一轮的对赛的所有情况有三种：
①甲乙，丙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.5×0.5=0.25；
②甲丙，乙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.7×0.3=0.21；
③甲丁，乙丙：甲和丁在第二轮对赛的概率为0，
故甲和丁在第二轮对赛的概率为13×0.25+13×0.21+13×0=23150；
(3)方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛：
则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛，则业余选手获得第一名的概率为0.3，
方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛：
第二轮为全专业选手的概率为0.7×0.7=0.49，
则业余选手获得第一名的概率为0.49×0=0，
第二轮为全业余选手的概率为0.3×0.3=0.09，
则业余选手获得第一名的概率为0.09×1=0.09，
第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为0.7×0.3+0.3×0.7=0.42，
此时业余选手获得第一名的概率为0.42×0.3=0.126，
综上业余选手获得第一名的概率为0+0.09+0.126=0.216，
所以方案一中业余选手获得第一名的概率大于方案二中业余选手获得第一名的概率．
17.证明：(1)当a=1时，f(x)=3x+13x−1，
由3x−1≠0，得函数y=f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
又f(−x)=3−x+13−x−1=3x+11−3x=−f(x)，
所以函数f(x)为定义域上的奇函数．
(2)解：当a<0时，f(x)=3x+a3x−a=1+2a3x−a，
所以y=f(x)是单调增函数，f(x)在[m,n](m所以f(m)=3m+a3m−a=−13m，f(n)=3n+a3n−a=−13n，
则m、n是3x+a3x−a=−13x的两个解，得a=32x+3x1−3x，
设t=1−3x，则a=32x+3x1−3x=(1−t)2+(1−t)t=t+2t−3，t<1，
y=t+2t−3在(0,1)和(− 2,0)上单调递减，(−∞,− 2)上单调递增，
其中，y=t+2t−3在(0,1)上值域为(0,+∞)，
在(−∞,0)上值域为(−∞,−2 2−3)且t=− 2取该区间最大值，
综上，a<−3−2 2，即a的取值范围为(−∞,−3−2 2).
(3)当a<0时，f(x)=3x+a3x−a=1+2a3x−a，
f(lg3(−a)−x)+f(lg3(−a)+x)=1+2a3lg3(−a)−x−a+1+2a3lg3(−a)+x−a
=2+2a−a3x−a+2a−a⋅3x−a=2+2−13x−1+2−3x−1=2−2×3x3x+1−23x+1=0，
所以f(x)关于(lg3(−a),0)中心对称．
18.解：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1−1x−lnx(x−1)2，
设g(x)=1−1x−lnx，则g′(x)=1x2−1x=1−xx2，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max所以f(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减，无单调增区间．
(2)当x>1时，f(x)0；当0设ℎ(x)=xa+1−xa−lnx，则ℎ′(x)=(a+1)xa−axa−1−1x=(a+1)xa+1−axa−1x，
设φ(x)=(a+1)xa+1−axa−1，则φ′(x)=(a+1)2xa−a2xa−1=xa−1[(a+1)2x−a2]，
①当x>1时，
若a=−1，则ℎ(x)=1−x−1−lnx，ℎ′(x)=x−1−1x=1−xx2<0，所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减，
所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，不符合题意；
若a≥−12，则(a+1)2≥a2，所以φ′(x)>0，即φ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以φ(x)>φ(1)=0，即ℎ′(x)>0，
所以ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，符合题意；
若a<−12且a≠−1时，(a+1)2所以φ(x)在(1,a2(a+1)2)上单调递减，在(a2(a+1)2,+∞)上单调递增，
所以当x∈(1,a2(a+1)2)时，φ(x)<φ(1)=0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,a2(a+1)2)上单调递减，
所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，不符合题意，
综上，a≥−12，
②当0所以a=−12，
故实数a的取值集合为{−12}.
19.解：(1)设F1(−c,0)，F2(c,0)，故直线CD的方程为x=c，
联立方程x=cx2a2+y2b2=1，得y2=(1−c2a2)b2，所以y=±b2a，
不妨设C(c,b2a)，由△PF1F2是等腰直角三角形可得kPF1=1，
所以直线PF1的方程为：x=y−c，同理可得PF2的方程为：x=−y+c，
所以交点P(0,c)，
由△PF1F2是等腰直角三角形面积为1可得12×2c×c=1，解得c2=1，
又P(0,c)在直线AC上，所以PPA=kPC，
所以ca=c−b2a−c，又a2=b2+c2，
解得：a2=4，b2=3，
所以椭圆E的方程为：x24+y23=1；
(2)由图形对称性可得：AA2//A1D，因为直线A1C与直线A2A的斜率之和为1，
所以kA1c+kA1D=1，
设l2：x=my+1，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
将l2和椭圆E得方程联立得(3m2+4)y2+6my−9=0，
所以y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
所以kA1C+kA1D=y1x1+1+y2x2+1
=y1my1+3+y2my2+3
=2my1y2+3(y1+y2)m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=2m⋅(−93m2+4)+3⋅(−6m3m2+4)m2⋅(−93m2+4)+3m⋅(−6m3m2+4)+9
=−m
=1，
即m=−1，又F1(−1,0)，F2(1,0)，l1//l2，
故直线l1：y=−x−1，直线l2：y=−x+1；
(3)由题，易得A点与D点关于原点对称，由(2)知A(−x2,−y2)，
则直线A1C：y=y1x1+2(x+2)，直线A2A：y=−y2−x2−2(x−2)，
将两式相乘得y2=y1y2(x1+2)(x2+2)(x2−4)，
其中y1y2(x1+2)(x2+2)=y1y2(my1+3)(my2+3)
=y1y2m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=−93m2+4m2⋅(−93m2+4)+3m⋅(−6m3m2+4)+9
=−14，
故点P的轨迹方程为：y2=−14(x2−4)，即x24+y2=1(y≠0)，
设P(x0,y0)，则x0∈(−2,2)，
所以|PF1|2|PF2|2=(x0+1)2+y02(x0−1)2+y02=34x02+2x0+234x02−2x0+2=1+4x034x02+2x0−2，
当x0=0时，|PF1|2|PF2|2=1，
当x0∈(−2,0)∪(0,2)时，4x034x02−2x0+2=434x0+2x0−2，
由基本不等式可得34x0+2x0∈(−∞,− 6]∪[ 6,+∞)(当且仅当x0=±2 63时取等号)，
则434x0+2x0−2∈[4−2 6,0)∪(0,4+2 6]，
所以|PF1|2|PF2|2∈[5−2 6,1)∪(1,5+2 6]，
综上，|PF1|2|PF2|2∈[5−2 6,5+2 6]，
故|PF1||PF2|∈[ 3− 2, 3+ 2]．