2024-2025学年重庆市南开中学校高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市南开中学校高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知Sn为等差数列an的前n项和，若S9=45，则a5=( )
A. 10B. 5C. 352D. 52
2.曲线f(x)=ex+ln(x+1)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A. y=2x+1B. y=2x−3C. y=x+2D. y=x−2
3.已知Sn为等比数列an的前n项和，若4a2=a3+4a1，则S8S4=( )
A. −17B. 2C. −2D. 17
4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上，下顶点分别为A,B，左顶点为D，左焦点为F1，且AF1⊥BD，则椭圆的离心率为( )
A. 13B. 2− 32C. 5−12D. 12
5.若函数fx=x3+x2−ax+b在x=−1处取得极大值0，则fx在−1,3的值域为( )
A. −2,1B. 0,32C. −3227,32D. −3227,0
6.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”.假设第nn≥2行的第二个数为an，如a2=2,a3=4.则a10=( )
A. 54B. 57C. 45D. 46
7.已知a=0.1,b=ln1.1,c=ln1.2−0.1，则( )
A. b>c>aB. c>a>bC. a>c>bD. a>b>c
8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，点Qa2,0，在双曲线右支上存在点P，使得PF2,PQ,PF1成等比数列，则双曲线离心率取值范围是( )
A. 52,+∞B. 1, 52C. 32,+∞D. 1,32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列an的前n项和Sn=−n2+8n,n∈N∗，则( )
A. 数列an是等差数列B. a2=5
C. a3⋅a50)的直线从右至左依次与抛物线，准线交于A,B,C三点，在A,B两点处的切线交于P点，则以下说法正确的是( )
A. 若S▵OBC=S▵OAB，则k= 24B. 若S▵OBC=S▵OAB，则k=2
C. PC//x轴D. |PC|min=4
11.已知函数fx=xlnax+x3−54x2−x−3(a>0)，则下列正确的有( )
A. 当a=1时，函数fx在0,1上单调
B. 对于任意的正实数a，函数fx在0,+∞不单调
C. 当a>e2时，函数fx在0,2上有且仅有1个零点
D. 对于任意的正实数a，函数fx在0,2必有极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与圆(x−c)2+y2=a2均相切，则两条渐近线的方程为 ．
13.已知函数fx=ex−2−ax2+x在区间1,+∞上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 ．
14.已知数列{an}的首项a1=t，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn+1=n2+2n，若对∀n∈N∗，an0)．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2，证明：f(x1)+f(x2)0)：过抛物线上的点Pn作x轴的平行线，交直线l于点Pn+1，直线PnPn+1关于直线l:y= 33x+524的对称直线交抛物线于点Pn+2⋯⋯
(1)求实数m的值，并求直线P2P3的方程；
(2)求数列y2n−1n∈N∗的通项公式，并证明：对任意n∈N∗,12≤yn0)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=ax+x−a=x2−ax+ax，
方程x2−ax+a=0中，Δ=a2−4a，
当04时，由x2−ax+a=0，解得x1=a− a2−4a2>0,x2=a+ a2−4a2，
当00；当x14，
求导得ℎ′(x)=1x−1