2026年高考数学(通用版)压轴强化训练压轴22教师几何中的创新与融合问题的(3大核心压轴题型精讲+压轴强化训练)(学生版+解析)

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题型01 圆锥曲线与其他知识的交汇
技法指导
解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处理，从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.
1.（2026·河南周口·模拟）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．
(1)求t的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积．
【解】（1）因为点在抛物线上，则，解得；
（2）由可知，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，，且斜率为的直线，
联立方程，消去得，解得或，
因为，故，即，
故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以，
又，所以，
所以，所以，
又是关于的递增函数，故，的取值范围是；
（3）由（2）知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为，
，
所以的面积为．
2.（2026·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.
(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；
(2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为.
（i）求曲线的方程；
（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.
【解】（1）（1）因为，即，
绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点，
则，所以；
（2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线，
设为曲线E上点旋转后的对应点，
设，则，
又因为，
所以，整理得，
（ii）
由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部，
当AB与重合时；·
当AB与不重合时，设直线，
联立，整理得，
则，
所以，
同理可得，
，
当且仅当，即时取等号，

因为，即四点构成的四边形面积的最小值为.
题型02 曲率与曲率半径问题
技法指导
函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率半径的求法：
设曲线y＝f(x)在(x0，y0)处的曲率半径为r，则由公切线及圆的切线性质可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f′（x0）＝－\f(x0－a,y0－b)，,f″（x0）＝\f(r2,（b－y0）3)，))
由(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2知[f′(x0)]2＋1＝eq \f(r2,（y0－b）2)，所以r＝eq \f({[f′（x0）]2＋1}\s\up6(\f(3,2)),|f″（x0）|).
3.（2026·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
(1)若函数，求曲线在点处的曲率.
(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.
【解】（1）因为，所以，
则，故曲线在点处的曲率.
（2）证明：因为，所以.
，
则，
故曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.
（3）因为，
所以，
则，
则，即.
令，则，
即存在，使得不等式成立.
令，
则0在上恒成立，
则在上单调递减，
则，解得或，
故的取值范围为.
4.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中，分别表示在点A处的一阶、二阶导数）；
(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围.
【解】（1）由题意可得单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；
（2）在中，取，则得，则，，
故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，则，
由，可得；由，可得，
故在递减，在递增，
故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，故有，
则在递增，又，，故，
故．
题型03利用函数性质之间的关系推理论证
技法指导
对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.
5.焦距为的椭圆（）满足､､成等差数列，称为“等差椭圆”.
(1)求的离心率；
(2)过作直线与有且只有一个公共点，求此直线的斜率的值；
(3)设点为椭圆的右顶点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线､分别与轴交于､两点，判断以线段为直径的圆是否过定点？说明理由.
【解】（1）解：由题意，且，所以代入可得.
即，解得（舍去）.
（2）解：显然，斜率存在，设直线的方程为.
联立，代入化简得①
方程①的，
令，化简得，所以.
由（1）的结论可知，.
（3）解：设，.
直线的斜率，直线的方程，
令，解得，即.
直线的斜率，直线的方程，
令，解得，即.
设，则，，
，代入化简得②.
因为点在椭圆上，所以，即.
于是方程②化为.
无论､取何值，当时总有，所以，以线段为直径的圆经过定点和.
6.（2025·上海徐汇二模）若给定椭圆和点，则称直线为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点在椭圆C的外部，则直线与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交于M点（异于A、B），设，问是否为定值？说明理由．
【解】（1）
即，∴
∴与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线与椭圆C相交，
则点在椭圆C的外部．
是真命题．联立方程得
则
∴
∴
∴在椭圆C的外部．
（3）同理可得此时与椭圆相离，设
则代入椭圆，利用M在上，
即，整理得
同理得关于的方程，类似．
即是的两根
∴．
1．（2025·湖南长沙一模）设双曲线，正项数列满足，对任意的，，都有是上的点．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是否存在正整数，使得与有相同的渐近线？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由．
【解】（1）由题，，
即，，，故是以为首项，为公差的等差数列，
故，又，于是．
（2）由，
得，
的渐近线方程为，的渐近线方程为，
故，即，故．
2.（2025·上海浦东新·三模）设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为、右顶点为.
（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；
（2）设椭圆（），过作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，求的值；
（3）已知椭圆与椭圆（）是相似椭圆.椭圆上异于、的任意一点，且椭圆上的点（）求证：.
【解】（1）解：显然椭圆的方程为，由椭圆与相似易得：
当时；… 当时， 所以或
（2）证明：易得
所以、的方程分别为、
依题意联立：
又直线与椭圆相切则（又）即…
依题意再联立：
又直线与椭圆相切则（又）即
即
故
（3）解：显然椭圆：，椭圆.…
由椭圆上的任意一点于是
椭圆上的点即又则
又则，
又
所以.
3．（2025·河北沧州二模）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标均为整数，则称为格点，若曲线上存在3个格点构成三角形，则称为“3格曲线”.
(1)若椭圆为“3格曲线”，求的离心率；
(2)若椭圆上存在个格点，且从中任取3个格点构成三角形，设该三角形的一个顶点为的左顶点的概率为，求；
(3)若直线上存在2个格点，使得，其中为曲线：与轴正半轴的交点，求的值.
【解】（1）由题可知，的左顶点，右顶点是两个格点.
因为，所以的上，下顶点不为格点.又为“3格曲线”，所以上至少存在一个异于椭圆顶点的格点，则，则，
由，可得，解得，
则的离心率；
（2）由（1）可知，当时，是上的格点，且，
此时上有，共6个格点，
则
当时，易知上有，共4个格点，则，
当时，易知上有，共2个格点，不符合题意，
故；
（3）因为是直线上的两个格点，所以，
显然，则，即.
又，所以，不妨设.
当，时，，且.
则，得,
当时，
若，则，解得,
若，则，解得,
当时，,
若，则，解得,
若，则，解得,
综上所述，的值可能为或1或3或.
4．（2026·甘肃武威一模）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
【解】（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率为.
考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.
（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.
将其联立，得到，即，即.
若，则原方程组还有另一个解，矛盾.
而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.
所以所求的半径最大的圆的方程为.
（3）首先有.
设，则我们又有，，故.
当，时，.
所以的最大值是.
5．（2026云南大理模拟）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记，则函数在点处的曲率.
(1)求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.
【解】（1）解：，，
所以曲线在点处的曲率为
（2）证明：由题意可得，，
若曲率为0，则，即，即，
令，则，得，
所以在上，，单调递增，且；
在上，，单调递减，且.
又，所以有两个解.
设为，，，
又，所以，可设，，
所以，，
，
化简可得，则.
要证，即证，
需要证，即证，
令，
，
所以在上单调递增，
所以，得证．
6.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C的焦点，的坐标；
(2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.
【解】（1）方法一：设焦点，，
曲线与x轴正半轴交于点，
由题意知，
于是，，
因此，；
方法二：设焦点，，
由题意知，
即，
整理得，于是，.
因此，，；
（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即，
由题意知直线OA，OB斜率均存在，
不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为，
将直线OA的方程与曲线C联立，得，
即.
解得，同理，
因此不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.
7.（2025·湖北黄冈·二模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.
(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；
(2)若曲线上的所有点绕着原点逆时针方向旋转得到曲线对应的方程为.
（i）求曲线的方程；
（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.
【解】（1）（1）因为，即，
绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点，
则，所以；
（2）（i）将曲线绕着原点沿逆时针方向旋转得到曲线，
设为曲线E上点旋转后的对应点，
设，则，
又因为，
所以，整理得，
（ii）
由（i）直线过定点与曲线:交于，直线过定点与曲线:交于，且， AB与CD交点满足，且在椭圆内部，
当AB与重合时；·
当AB与不重合时，设直线，
联立，整理得，
则，
所以，
同理可得，
，
当且仅当，即时取等号，

因为，即四点构成的四边形面积的最小值为.
8..（2025·山东潍坊·二模）双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．
（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；
（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．
【解】（1）双曲线的渐近线方程为，，
则点到渐近线的距离为，所以，所以的方程为．
（2）（i）因为，所以、，
直线的方程为，即，
代入，得，
根据韦达定理得．
所以，，
由题设有，
因为，
所以是公比为的等比数列．
因为，
所以是公比为的等比数列，
所以，所以，.
（ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量，
则
.
本题中，因为．，
所以．
因为，，
，
又因为，
，
所以，，
所以，
设，则，
所以，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．