2026年中考数学题型破译专练专题21综合实践与项目式学习题型问题(5大题型)(学生版+解析)

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内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数中的项目式学习题型问题
题型02 二次函数中的项目式学习题型问题
题型03 反比例函数中的项目式学习题型问题
题型04 特殊四边形中的项目式学习题型问题
题型05 圆中的项目式学习题型问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数中的项目式学习题型问题
典例引领
【典例01】（2025·山西·模拟预测）项目化学习
【项目主题】机场监控问题的思考
【项目背景】为了深化课堂教学变革，进一步推进初中数学单元项目化学习，推进深度教学研究，某校学生在学习《函数》之后，在数学课上进行了项目化学习研究．
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
【答案】任务1：；爬升速度为
任务2：；着陆点的坐标为
任务3：两机距离不超过的时长是
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
任务1：设段关于的函数表达式为，根据与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度路程时间求出2号机的爬升速度即可；
任务2：先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出段h关于s的函数解析式；当时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标；
任务3：分别求出2号机在段和段时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时不超过，根据时间路程速度求解即可．
【详解】解：任务1：设段关于的函数表达式为，
．
．
当时，．
段关于的函数表达式为；
2号机从O点到达A点飞行的路程为，
所用时间为，
号机的爬升速度为．
任务2：点的横坐标为，
点的坐标为．
设段关于的函数表达式为（为常数，且）．
将坐标和分别代入，
得，解得，
段关于的函数表达式为．
当时，，解得，
预计2号机着陆点的坐标为．
任务3：当2号机在段，且时，，解得；
当2号机在段，且时，，解得，
根据图象可知，当时，两机距离不超过，
两机距离不超过的时长是．
【典例02】（2025·广西南宁·模拟预测）【项目化学习】
【项目主题】探究桶装水在常温下的最佳饮用时间．
【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物就开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习．
【驱动任务】探究桶装水中菌落总数与时间的关系
【研究步骤】．取一桶桶装水，打开置于空气中；．每天测量并记录桶装水中的菌落总数；．数据分析，形成结论．
【试验数据】
【模型建立】根据此项目实施的相关材料发现菌落总数与试验天数（天）之间满足一次函数．
【问题解决】
(1)求出菌落总数与试验天数（天）之间的函数关系式；
(2)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过50时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后超过几天不能饮用？
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查一次函数的应用、函数关系式，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一元一次不等式的解法是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可；
（2）令，得到关于的一元一次不等式并求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意，得，
解得，
桶装水打开后超过天不能饮用．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习
项目主题：节约用水从你我做起．
项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习．
驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系．
项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒．
②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水．
③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积
数据记录：
问题解决：请完成下列任务．
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点．
(2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式．
(3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？
【答案】(1)见解析
(2)一次；
(3)1小时会滴水千克；滴水小时能达到一个人的月平均饮水量
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）根据表格中的数据描点即可；
（2）根据函数图象，得出滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把代入求出，即可得出1小时滴水量，用50千克除以1小时滴水量，即可得出滴水时间．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中描点，如图所示：
（2）解：根据解析（1）可知：这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数，
设，把，代入得：
，
解得：，
∴；
（3）解：把代入得：，
∵1毫升水的质量约为1克，
∴1小时会滴水克，即千克；
（小时），
即滴水小时能达到一个人的月平均饮水量．
题型02 二次函数中的项目式学习题型问题
典例引领
【典例01】（2025·湖北·一模）【项目式学习】
【项目主题】研究击球运动
【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地．
【项目素材】
素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）．
素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下．
素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）．
素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，．
（参考数据：，，）．
【项目任务】
任务一：直接写出与的函数关系式；
任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间；
任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由．
【答案】任务一：；任务二：秒或秒；任务三：不能落在点处的球筐．
【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．
（1）因为球在空中的飞行路线是相同的抛物线，故可设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，代入乙小组数据，由待定系数法即可求出与的函数关系式；
（2）由图1可求小球飞行的水平距离与时间的函数关系，进而可求飞行高度与时间的函数关系式，由此即可求出当小球飞行的高度达到16m时小球飞行的时间；
（3）求出点到击球处点的水平距离和高度，再根据是否经过点即可判断球能否落在点处的球筐中．
【详解】解：任务一：设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，由乙小组数据得：
，
解得：，
即球的飞行高度与水平距离的函数关系式为，
任务二：设小球飞行的水平距离与时间的，由图1可得，
，解得，
即，
∴，
当时，即，解得，．
当小球飞行的高度达到时，小球飞行的时间为秒或秒．
任务三：山坡的坡角，．
∴，
，
∴，
当时，，
∴当时，小球高度小于，不能落在点处的球筐．
【典例02】（2024九年级下·全国·专题练习）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式喷泉景观
【项目背景】学习完二次函数的相关知识后，某校九年级数学创新小组，开展项目式学习，深入探究喷泉设计与二次函数密切关系
【项目素材】
某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
任务一：模型构建
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的垂直高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
数量任务二：模型分析
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围；
任务三：问题解决
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【答案】（1）
（2）
（3）米
【分析】（1）由题意可得，第一象限内抛物线的顶点坐标为，设第一象限内抛物线的解析式为，将点代入，可得，解方程即可求出的值，进而可得第一象限内抛物线的解析式；
（2）令，则有，解方程即可求出此时的值，由可知抛物线的开口向下，于是由函数图象可求出时的取值范围；
（3）作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则，可设直线的解析式为，将直线的解析式与抛物线的解析式相联立，得，即，由与抛物线相切可知，一元二次方程有两个相等的实数根，于是可得，解方程即可求出的值，进而求出直线的解析式为，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点坐标，同理可求得点的坐标，于是可得，由题意可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据勾股定理可得，然后根据即可求出光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【详解】解：（1）由题意可得：第一象限内抛物线的顶点坐标为，
设第一象限内抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
第一象限内抛物线的解析式为：；
（2）令，则有：
，
解得：，，
，
抛物线的开口向下，
时，，
的取值范围为：；
（3）如图，作的平行线，与抛物线相切于点，交轴于点，过点作于点，则，
可设直线的解析式为：，
，
，
整理，得：，
与抛物线相切，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
点的坐标为，
同理可求得：点的坐标为，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·广东深圳·二模）【项目式学习】
项目主题：合理设计 智慧泉源
项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．
任务一 测量建模
（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；
任务二 推理分析
（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，h与d之间存在一定的数量关系，求出h与d之间的数量关系式；
任务三 设计方案
（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．
（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；
（2）根据抛物线的形状不变，即a的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x轴的交点坐标变为，代入即可得出h与d的还是关系式；
（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d的值，再代入h与d的函数关系式进行计算即可．
【详解】（1）解：
由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，
设抛物线的关系式为，将代入得，
，
解得，
∴第一象限中抛物线的关系式为；
（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h米，
其抛物线的关系式为，过点，
∴，
即，
（3）如图，延长交于点Q，则米，米，米，连接，
在中，米，米，
∴（米），
即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，
将代入得，
（米），
故答案为：．
题型03 反比例函数中的项目式学习题型问题
典例引领
【典例01】（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点．
素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系：
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值．
任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为．
(1)请你利用所学的知识求出与的关系式．
(2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)任务一：
(2)任务二：（1）；（2）减小
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；
任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；
任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与
（2）根据反比例数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵光轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
由任务一可知：，设，
∴，
∴，
，
，
解得：，
∴，
即与的关系式是：；
（2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位，
∵
∴时，随的增大而减小
故答案为：减小．
【典例02】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）项目式学习
项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度．
项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内通常白天温度需保持在，夜间温度不低于．
数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示时，温度降到．
问题解决：结合图象信息及项目所给信息，解决下列问题：
(1)在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．求智能控制系统设定的恒温温度；
(2)求该大棚在时内，温度不低于的时间有多少小时？
【答案】(1)
(2)小时
【分析】本题考查根据图象解答问题、已知自变量值求函数值、待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）观察图象，利用待定系数法求出升温时段的一次函数解析式，继而将代入即可求出答案；
（2）先利用待定系数法求段反比例函数解析式，进而利用段和段的函数解析式，求出在4时，大棚温度升至，在时，大棚温度降至，用，即可求出答案．
【详解】（1）解：根据图象，设升温阶段的函数解析式为：，
将，代入中得：
，解得，
，
将代入中得：，
即点坐标为，
智能控制系统设定的恒温温度是；
（2）把代入段函数解析式中得：，
解得，
在4时，大棚温度升至，
设段函数解析式为：，
将代入中得：
解得，
，
把代入函数中得：，
在时，大棚温度降至，
，
大棚在时内，温度不低于的时间有小时．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习：
【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4）
【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键．
（1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解；
（2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解；
（3）设，则，，根据求解即可；
（4）设，则，，则，，根据求解即可．
【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形，
∴，
∵E在上，
∴，
∴；
（2）∵B的坐标是，，D在上，
∴D的纵坐标为4，
∵D在上，
∴D的横坐标，
∴，
∴，，
∵B的坐标是，
∴，
∴
；
（3）∵，，
设，则，，
∴，，
∴；
（4）设，则，，
∴，，
∴；
即．
题型04 特殊四边形中的项目式学习题型问题
典例引领
【典例01】（24-25九年级上·山西晋中·期末）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
解决问题：
(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
(2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
【答案】(1)见解析
(2)李伯应将销售单价定为80元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形和菱形的性质，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
【典例02】（2025·山东济南·三模）某校“综合实践”小组开展项目式学习活动，记录如下：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求空调出风口A到地面的距离；
(2)请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离是否在舒适范围内．（结果精确到0.1m，参考数据，，，，）
【答案】(1)
(2)在舒适范围内
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识；构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点A作于点Q，则，；易得四边形是矩形，则；在中，利用正切函数关系可求得，从而求得空调出风口A到地面的距离；
（2）过I作于点P，延长交于点M；在中利用正切函数关系可求得的长，从而得的长，易得四边形是矩形，得；在中，利用正弦函数关系求得的长，从而可判断是否是舒适范围内．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点Q，
则，；
∵四边形是矩形，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
则，，
∴；
在中，，则，
∴；
即空调出风口A到地面的距离为；
答：空调出风口A到地面的距离为．
（2）解：过I作于点P，延长交于点M，如图；
由（1）知，；
在中，，
则，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
在中，，，
∴；
而，
即在舒适范围内；
答：空调出风口到书桌的直线送风距离是否在舒适范围内．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·山东济宁·一模）综合与实践
一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下：
【答案】米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角的关系求出雕像的高度．过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得:米，米，在中利用的正切求出的长度，即可得到雕像的高度．
【详解】解：，，
，
点在的垂直平分线上．
点是正方形的中心，
点在的垂直平分线上，
点，，在同一条直线上，
米，
（米），

过点作于点，
，，
，
四边形是矩形，
米，米，
在中，，
（米），
（米）．
题型05 圆中的项目式学习题型问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏宿迁·一模）阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
完成下列任务：
(1)连接，求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，根据切线的性质得出，证明，根据圆周角定理得出，从而说明，证明，得出，即可得出答案；
（2）根据已知得出，根据，设，则，根据，得出，从而证明，得出，即，即可求解．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点G，连接，如图所示：
为的切线，
，
，
为的直径，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2）解：设，
，
，
，
，
∵，
∴，
由（1），得，
，
，即，
，
解得：，
的长为．
【典例02】（2024·福建福州·模拟预测）“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．例如，世界文化遗产“天坛”（如图1），秦统一货币“秦半两”（如图2）“天圆地方”的宇宙图式具有一种极具意味的形式美和意境美，这种观念成为现代各种设计活动的灵感来源．为了同学们更深入地了解“天圆地方”的数学之美，老师设计了如下学习项目活动单：
学习项目主题：景区圆形水池开发方案设计
初步感知：
（1）已知半径为，求其内接正方形的边长．
设计活动一：
（2）某风景区有一片直径为10米的圆形水池如图3所示（即），某喷泉设计公司给出如下方案：在池内沿中轴线设计两个正方形喷泉阵（即正方形和正方形），剩余区域进行自然水景生态美化由于景区开发资金有限，喷泉阵又造价较高，为了节约成本，请求出两个正方形喷泉阵面积之和的最小值以及此时的长．
设计活动二：
（3）某演艺公司也对（2）中的圆形水池提出开发方案：为了增强景区的娱乐性和交互性，可以建造一个水上演艺舞台（如图4），池内沿中轴线设计两个无缝连接的前置矩形舞台和后置矩形舞台，于点B，于点G，，，为了确保夜间演出的舞台效果，需要给舞台和处全部安装灯带为做出预算，请求出灯带的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米；（3）的最大值为 米，的最小值为米．
【分析】（1）求出正方形的边长，可得结论；
（2）如图3中，设米，则米，设两个正方形的面积和为y平方米，构建二次函数，利用二次函数的性质求解；
（3）如图4中，连接，．设米．米．证明A，C，共线，因为米，米，推出米，因为米，推出当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，求出的最大值，最小值，可得结论．
【详解】解：如图，连接．
∵四边形是的内接正方形，
∴是直径，
∵半径为即，
∴，
（2）如图3中，
设米，则米，
设两个正方形的面积和为y平方米，
则，
∵，
∴时，y有最大值，最小值为25．
∴两个正方形的面积和的最小值为25平方米，此时米；
（3）如图4中，连接，．设米．米．
∵是直径，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴四边形是正方形，
同法可证四边形，四边形，四边形都是正方形，
∴，
∴A，C，共线，
∴米，米，
∴米，
∵米，
∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小，
∵是直径时，的值最大，此时 ，
∴，
∴的最大值为 米．
当点E落在上时，的值最小，连接，，， 此时，
在中，米．，
∴，，
设，则，
解得（负根已经舍去），
∴，
∴的最小值为米．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·广东深圳·一模）【项目式学习】
项目主题：车轮的形状
项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车轮制作成圆形的相关原理．
【合作探究】
（1）探究组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不变．另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的．如图1，圆形车轮半径为，其车轮最高点到地面的距离始终为______；
（2）探究组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化．如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为______；
（3）探究组：如图3，有一个正三角形车轮，边长为，车轮轴心为（三边垂直平分线的交点），车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点经过的路径长．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动．
【拓展延伸】
如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．
（4）探究组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______．
【答案】；；；
【分析】本题主要考查圆的综合应用，主要考查了弧长公式，正方形的性质，等边三角形的性质，理解题意并画出图形是解题的关键．
（1）利用正方形的性质解答即可；
（2）画出图形，找到最高点和最低点即可得到答案；
（3）分别求出三部分一定的距离，然后相加即可；
（4）由题意知：最高点与水平面距离不变，即可得到结论．
【详解】解：（1）圆形车轮与地面始终相切，
车轮轴心到地面的距离始终等于圆的直径，
圆形车轮半径为，
故车轮最高点到地面的距离始终为，
故答案为：；
（2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹，
点为车轮轴心的最高点，点为车轮轴心的最低点，
由题意得车轮轴心距离地面的最低高度为
车轮轴心距离地面的最高点与最低点的高度差为，
故答案为：；
（3）点的运动轨迹为圆，以点为圆心，为半径，
运动距离为．
故答案为：；
（4）由题意知，当“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，
故“最高点”和“最低点所形成的图案大致是”，
故答案为：．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据：
则最符合下与t之间的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合，判定与t是成反比例函数的，计算出定值即可．
本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的．
由得，
由得，，
根据表格中的数据可以计算出最符合与t之间的关系式是，
故选：A．
二、填空题
2．（2025·浙江湖州·二模）图1是某路灯的实物图，图2是其示意图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN的长，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离约为__________米．
（参考数据：，结果精确到米．）

【答案】
【分析】如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，则，，解求出，则．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴路灯顶部到地面的距离约为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三、解答题
3．（2024·山西阳泉·一模）项目化学习
项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系
项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习．
驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系
项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．
研究步骤：（1）将两块平面镜竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为；
（2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为（如图2）；
（3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组和的值；
（4）数据分析，形成结论．
问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务．
(1)根据表中信息可知，是的 函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与的函数关系式为 （）；
(2)请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式．
【答案】(1)一次，
(2)
【分析】本题主要考查了列函数解析、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．
（1）先根据表格数据归纳出函数关系式，即可确定函数类型和关系式；
（2）根据平角的定义以及物理知识可得、，即，再结合即可证明结论．
【详解】（1）解：根据表格数据可归纳出：，即是的一次函数．
故答案为：一，（或）．
（2）解：如图，∵，
又∵，
∴．
同理：．
∵，
∴．
∴．
4．（2025·山东·二模）
【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用；
任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解；
任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，，分三种情况讨论，即可求解．
【详解】解：任务1：由题意得，解得，经检验，是分式方程的解，且符合题意，
（元），
答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；
任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；
由题意得，
，
①当时，，
解得，
∴当时，燃油车的行驶费用更低；
②当时，，
解得，
∴当时，两种车的行驶费用相同；
③当时，，
解得，
∴当时，纯电动汽车的行驶费用更低．
5．（2024·山西阳泉·三模）项目化学习
项目主题：老陈醋最优销售单价．
项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱．
某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习．
驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系．
研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元；
（2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）；
（3）数据分析，得出结论．
实验数据：
问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务：
（1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______；
（2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润．
【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元
【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可；
对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值．
【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数．
设一次函数关系式为，将点代入，得
，
解得，
所以一次函数关系式为．
故答案为：一次函数解析式为；
（2）根据题意，得
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
即当时，，
所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元．
6．（2024·山西吕梁·一模）项目化学习
项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道．
项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习．
研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；
（2）实地测量图书馆门口场地的大小；
（3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．
设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米．
解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，）
【答案】米
【分析】延长，，交于点H，过点B作于点K，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可．
【详解】解：延长，，交于点H，过点B作于点K，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵米，，
∴（米），
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得：
（米），
∴米．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
7．（2024·山西运城·一模）项目化学习
项目主题：滑雪运动中的函数知识
项目背景：北京冬奥会上的中国运动员们，用竞技成绩和精神风貌的优异表现，进一步向世界展示了自信、包容、进取的中国形象，其中雪上项目屡传捷报，中国的冬季项目发展之路越走越宽，一时间冰雪运动成了最受青少年喜欢的健身运动方式综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题开展项目学习．
驱动任务：探究滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线中的函数关系
研究步骤：
（1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置；
（2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度；
（3）数据分析，形成结论．
实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如下表所示：
绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示：
问题解决：根据此项目实施的相关材料，完成下面的任务：
(1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______．
(2)通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是______m；
(3)若运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为，求运动员最后着陆点的竖直高度．
【答案】(1)二次，
(2)
(3)运动员最后着陆点的竖直高度为．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键．
（1）根据数据与图象可得答案，再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）根据表格信息先求解抛物线的对称轴，结合表格数据可得答案；
（3）把代入计算即可．
【详解】（1）解：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数；
设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：二次，；
（2）∵与时，函数值，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，最大高度为，
故答案为：；
（3）把代入可得：
，
∴运动员最后着陆点的竖直高度为．
8．（2025·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：四边形的对称性研究
项目背景：我们知道，一般的四边形不一定是轴对称图形；菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．小明学习完相关知识后，针对四边形对称性展开项目式研究；
问题提出：是否有一条对称轴的四边形?
任务一：关于只有一条对称轴的四边形的深入研究．
【初步思考】
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出只有一条对称轴的凸四边形，要求点是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，点是的中点，请在图2、图3中分别设计只有一条对称轴且对角线互相垂直的凸四边形，顶点别在上，且，并求出对角线的长；
任务二：折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．折纸也有不少关于对称的操作．
（3）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图4所示，最后折成的纸飞机．为，则图中的值为_____．
（4）如图5，在用“筝形”（一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形）纸折叠制作作品时，乐乐发现“筝形”中，，，是上的三等分点，记点关于的对称点为，射线与“筝形”的边交于点，请直接写出的长_____．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；的长为12或；（3）；（4）的长为或．
【分析】（1）取格点D，连接，直线是凸四边形的对称轴；
（2）如图2，分别在边上取点F，H，使，取的中点G，连接，则凸四边形是满足条件的四边形，判定四边形是矩形，即可求得的长；如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接，作的垂直平分线交边于点H，连接即可得到所求作的四边形；过G作于点M，在中即可求得的长；
（3）由折叠知，，即可求得a的值；
（4）分两种情况：当点是线段上靠近点B的三等分点，当点是线段上靠近点D的三等分点，利用相似三角形的判定与性质及三角函数求解即可．
【详解】解：（1）如图，取格点D，连接，
∵，，
∴点A，C在线段的垂直平分线上，
∴直线是凸四边形的对称轴．
（2）如图2，取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形；
∵四边形是矩形，
∴，；
∵点E、点G分别是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得：；
∴直线是的垂直平分线，
即凸四边形是满足条件的四边形；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接；
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
∵是线段的垂直平分线，
∴，
则凸四边形是满足条件的四边形；
过G作于点M，则四边形是矩形，
∴；
∴；
在中，由勾股定理得：；
综上，的长为12或；
（3）如图，由折叠，
即，

故答案为：；
（4）如图，当点是线段上靠近点B的三等分点，则，
∴；
由对称知，，，；
设交于点O；
∵四边形为筝形，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，则，，
∴；
∵，
∴，
解得：，
∴；
如图，当点是线段上靠近点D的三等分点时；
设交于点G；
与前一种情况相同，可以证明，
∴；
设，则，，
∴，；
∵，，
∴，
解得：；
即，；
如图，过点F作于N，过点G作于点Q；
∵，，
∴，；
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠与对称，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形及作图等知识，属于四边形的综合问题，有一定的难度，熟练掌握上述知识，构造适当辅助线是解题的关键．
9．（2025·广西南宁·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
【任务一】调查分析
（1）图悬挂的是公斤干粉灭火器，图为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴距离地面的高度为____________米；
【任务二】模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为多少米？
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装同一种喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头距离喷淋头至少多少米？（直接写出结果）
【答案】（1）；
（2）①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式为；
②喷淋头的地面有效保护直径米；
（3）喷淋头距离喷淋头至少米．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合勾股定理解直角三角形即可得解；
（2）由题意得出，，，①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，将点代入即可得到函数解析式；②将代入①中求出的抛物线解析式即可得到点坐标，从而得出；
（3）结合抛物线的平移规律设喷淋头距离喷淋头至少米，加装同一种喷头，则可得喷淋头喷出的水柱所在抛物线解析式，分析可得，要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上，将其代入解析式即可求解．
【详解】解：（1），，
是等边三角形，
米，
，
是的中线，
即米，
则中，米．
故答案为：．
（2）依题得：，，，
①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，
将代入可得，
解得，
则抛物线的函数解析式为；
②当时，，
解得，
点在的正半轴上，
，喷淋头的地面有效保护直径米．
（3）设喷淋头距离喷淋头至少米，
则可用表示喷淋头喷出的水柱所在抛物线，
要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上，
即，
解得，
则喷淋头距离喷淋头至少米．
【点睛】本题考查的知识点是喷水问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的判定与性质、三线合一、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的综合性问题解法．
10．（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考查测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ．
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值．
任务三：成果迁移
（3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，）
【答案】（1）；（2）；（3）6
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，由勾股定理可求得的长；
（2）如图3，设与相交于点，根据题意得，易证，所以，则，求出的估算值即可得出结论；
（3）过点作轴于点，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线与的交点为，则，过点作轴于点，可得，由此可得点的坐标，进而可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，可得的坐标，进而可求出的长度，即可得出的最大整数值．
【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴根据实际情况可得：的最大整数值为．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点，
根据题意得：
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴根据实际情况可得：的最大整数值为．
（3）如图4，过点作轴于点，
由勾股定理可得，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
设直线与的交点为，则，
过点作轴于点，则，
∴，
∴，
如图所示，延长交轴于点，则，且，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
令，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴的最大整数值为．
机场监控问题的思考
素材1
如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行．

素材2
2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿角爬升，到高的A处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
问题解决
任务1
求表达式和速度
求出段关于的函数表达式，直接写出2号机的爬升速度；
任务2
求表达式和坐标
求出段关于的函数表达式，并预计2号机着陆点的坐标；
任务3
计算时长
通过计算说明两机距离PQ不超过的时长是多少．
试验天数天
0
1
2
3
4
菌落总数
15
20
25
30
35
考向解读
1. **实际情境建模**：以生活实例（如行程、销售、方案设计）为背景，考查建立一次函数模型解决实际问题。
2. **数据收集与分析**：给定数据表或图象，提取信息确定函数解析式，进行预测或决策分析。
3. **综合应用探究**：结合方程、不等式，通过项目任务驱动，完成方案比较、最优选择等开放性问题。
方法技能
1. **审题建模**：明确变量关系，列出一次函数式y=kx+b，代入已知点求系数。
2. **图象辅助**：画出草图，标出关键点（起点、交点、端点），直观分析变化趋势。
3. **方案比选**：求函数交点作为临界值，分段讨论不同范围内函数值大小，确定最优方案。
时间t/秒
10
20
30
40
50
60
70
滴水量V/毫升
3
6
9
12
15
18
21
水平距离
0
6
18
30
36
飞行高度
0
9
21
25
24
考向解读
1. **实际情境建模**：以抛物线型拱桥、喷泉、投篮轨迹或利润最优化问题为背景，考查建立二次函数模型解决实际问题。
2. **数据分析与决策**：从表格或图象中提取信息，确定函数解析式，预测极端值或比较不同方案优劣。
3. **项目任务驱动**：结合生活场景（如围栏面积最大、商品定价），通过开放性问题设计完成方案优化。
方法技能
1. **审题建系**：抛物线问题先建立合适坐标系，设顶点式或一般式代入数据求解析式。
2. **配方法求最值**：利润、面积问题列出二次函数后配方或直接用顶点公式求最大值。
3. **结合实际定范围**：求出结果后检验是否满足实际意义（如价格为正数、长度在范围内），并作决策。
考向解读
1. **实际情境建模**：以物理公式（如压力、电阻）、工程问题（如工作量一定）为背景，建立反比例函数模型。
2. **数据拟合分析**：给定变量对应数据表，判断是否成反比例关系，确定解析式并预测极端值。
3. **方案决策探究**：结合不等式，探究变量取值范围或最优方案（如速度与时间控制），考查综合应用能力。
方法技能
1. **审题定积**：找出两个变量乘积为定值，设y= kx ，代入已知点求k。
2. **图象辅助**：画出双曲线一支草图，标出关键点，利用增减性分析变量变化趋势。
3. **结合实际定范围**：根据实际问题限制（如长度为正数、时间非负），确定自变量范围再求解。
项目主题
反比例函数k的几何意义之三角形面积
项目情境
已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E．
活动任务一
（1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______．
驱动问题一
（2）在（1）的条件下，则的面积是______；
活动任务二
（3）如图（2），当，时，则的面积是______．
驱动问题二
（4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）．
素材1
如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2
调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
活动纪录表
活动内容
探究卧室空调的相关数据
工具准备
皮尺、测角仪等
过程资料
卧室示意图
相关数据及说明

空调位于床头正上方，A为空调出风口，空调底部垂直于墙面，床头紧贴墙面，床截面为矩形，书桌正对床尾贴墙放置．已知空调底部，床长，床高，此款空调舒适送风的直线距离范围为3～5m．
测量1：当空调导风板所在的直线与竖直方向的夹角为时，空调风恰好从床沿G处经过，到达地面F处．
测量2：导风板从位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到书桌边缘I处．此时I到F处的水平距离的长为．
成果梳理
…
考向解读
1. **方案设计**：在给定条件下（如材料长度固定），设计特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的形状，使面积或周长达到最值。
2. **实际应用建模**：结合生活情境（如围栏、花坛、地砖铺设），利用特殊四边形的性质建立数学模型。
3. **探究与决策**：通过测量或计算，比较不同方案优劣，提出最优设计方案，考查综合实践能力。
方法技能
1. **建立函数模型**：设未知数表示边长，根据条件列出面积或周长的函数关系式（常为二次函数），求最值。
2. **利用性质转化**：矩形对角线相等、菱形对角线垂直、正方形四边相等，用勾股定理或面积公式列方程。
3. **分类讨论**：方案设计问题中，按不同形状或摆放方式分类讨论，分别计算后比较最优方案。
项目名称
测量底部无法到达的物体高度
问题情境
某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形．
九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）．

数学建模
如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度．

测量工具
足够长的卷尺 测角仪
测量步骤
该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图．
第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米；
第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米；
第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为；
第四步，用卷尺测得米．
计算结果
根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）．
参考数据：，，．
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成，读数时，视线垂直于量筒壁，与相切于点，点为所在圆的圆心．小东同学读数时，从点处俯视点（点在上），记录量筒上点处的高度为．小华同学记录量筒上点处的高度为．
考向解读
1. **方案设计**：在给定条件下（如材料长度固定），设计圆形或扇形区域，使面积或弧长达到最优。
2. **实际应用建模**：结合车轮、拱桥、旋转座椅等生活情境，利用圆的性质（切线、垂径定理）建立模型。
3. **探究与决策**：通过计算弧长、扇形面积、最值问题，比较不同方案优劣，考查综合实践能力。
方法技能
1. **建立几何模型**：根据题意画出圆及相关图形（弦、切线、扇形），标出已知量和未知量。
2. **利用性质列式**：垂径定理、圆周角定理、切线性质，结合勾股定理或相似列方程求解。
3. **优化决策**：计算不同方案下的面积、长度或成本，通过比较数值大小选择最优方案。
车次
G7506
G7382
G1866
G7492
（单位：）
t（单位：）
1
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部M的仰角
测角仪到地面的距离
米
路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离
米
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景
近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车．经过家庭会议之后分析如下：
纯电动汽车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低．
燃油车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高．
项目问题
是购买纯电动汽车还是燃油车？
项目目的
经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义．
数据收集1（行驶费用）
通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据：
A车
B车
每千米行驶费用
元
元
总行驶费用
7.5元
18.75元
数据收集2（其它费用）
设：小明一家年平均行驶里程为xkm
A车
保险
6500元／年
车机服务
1230元／年
B车
保险
2900元/年
保养
元
项目任务1
求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
项目任务2
请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程x，帮小明家确定购车方案．
老陈醋销售单价（元/壶）
…
24
26
28
30
32
…
每天销售数量（壶）
…
52
48
44
40
36
…
x/m
0
2
4
6
8
11
14
y/m
20.00
21.40
22.40
23.00
23.20
22.75
21.40