2026年中考数学题型破译专练专题11圆的综合证明与计算(10大题型)(学生版+解析)

这是一份2026年中考数学题型破译专练专题11圆的综合证明与计算(10大题型)(学生版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 圆中求角的度数
题型02 圆中求线段的长
题型03 圆中求弧长、面积
题型04 圆与正多边形
题型05 证切线与求线段、半径综合
题型06 证切线与求弧长、面积综合
题型07 圆与（特殊）平行四边形综合问题
题型08 圆中动点探究型问题
题型09 圆中新定义探究综合问题
题型10 圆与函数的综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 圆中求角的度数
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·二模）如图，为的直径，点，在圆上，且．若，则的度数为______．
【典例02】（2026·陕西西安·一模）如图，是的弦，半径于点D，点P在圆周上，且，则的度数为________．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，是的直径，、是的两条弦，连接，，平分，则的度数为____________．
【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，是的内接三角形，的内角的平分线与其外角的平分线相交于点，若，则___________．
题型02 圆中求线段的长
典例引领
【典例01】（2026·江苏南京·一模）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则_____．
【典例02】（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·甘肃酒泉·二模）如图，，是的切线，，为切点，若，，则的周长是______．
【变式02】（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，E是边上的一点，，以E为圆心，为半径的弧交于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为_________．
题型03 圆中求弧长、面积
典例引领
【典例01】（2025·安徽淮南·一模）如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为______．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ____________________ ．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·河南·一模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在弧上，，则弧的长为___________．
【变式02】（2025·内蒙古·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，分别以点A，D为圆心，以，为半径作扇形，扇形，则图中阴影部分的面积是______；阴影部分的周长为______．
题型04 圆与正多边形
典例引领
【典例01】（2025·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则的半径是__________．
【典例02】（2025·陕西西安·一模）如图,正五边形的外接圆为,点P是劣弧上一点,连接,则的度数是__________.
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为______________．
【变式02】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________．
题型05 证切线与求线段、半径综合
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【典例02】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，以为直径的交于点D，F是上一点，连接，，，与交于点E，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，，求的长．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，是的直径延长线上一点，且满足，过圆心作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【变式02】（2026·四川雅安·二模）如图是的外接圆，，延长至点，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．求的半径和的长度．
题型06 证切线与求弧长、面积综合
典例引领
【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，内接于，过点A作平行于交的延长线于点B，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【典例02】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
方法透视
变式演练
【变式01】（2026·山东威海·模拟预测）如图，平行四边形的顶点B、C、D在上，连接，．
(1)若，，求的长．
(2)若，，求证：直线是的切线．
【变式02】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
题型07 圆与（特殊）平行四边形综合问题
典例引领
【典例01】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【典例02】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F．
(1)若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式）
(2)如图2，若与相切于点M．求证：与相切；
(3)在（2）的基础上，若，，求的半径．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·浙江湖州·一模）如图，在中，是锐角，，．在射线上取一点P，过P作于点E，过P，E，C三点作．
(1)当时，
①如图1，若与相切于点P，连结，求的长；
②如图2，若经过点D，求的半径长．
(2)如图3，已知与射线交于另一点F，将沿所在的直线翻折，点B的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．
【变式02】（2024·广东阳江·二模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)当点P是的中点时，．
①求的长；
②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
题型08 圆中动点探究型问题
典例引领
【典例01】（2025·河北·一模）如图，半圆O与直线相切于点，为半圆O的直径，．P为直线上的一动点，过点P作射线，，射线随点P的移动而平移．
(1)如图1，移动点P，使得射线与半圆O交于点D，E，连接，．当时，求的长．
(2)如图2，移动点，使得射线经过点C，射线与半圆O交于另一点F，求的长．
【典例02】（2024·陕西咸阳·一模）
(1).【问题情境】（1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为2，且，则点P到点A的最长距离为______；
(2).【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是弧上的一个动点，连接，求的最小值；
(3).【灵活运用】（3）如图3，的直径为8，弦，点C为优弧上的一动点，，交直线于点M，求面积的最大值．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆．
(1)当时，如图1，求证：圆与相切；
(2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由；
(3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值．
【变式02】（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图1，已知是的直径，点是射线上的一个动点，以为边构造，满足，
(1)如图2，当点恰好在上时，则______．
(2)如图3，若，且动点与点重合时，连接，求证：是的切线．
(3)在点的运动过程中，若，且，是否存在的边所在的直线与相切？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型09 圆中新定义探究综合问题
典例引领
【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：对角线相垂直的四边形为“优秀四边形”．
(1)已知外接圆为为直径．将沿翻折得，恰好在上，连接交于为中点，．证明四边形为优秀四边形．
(2)证明：．
【典例02】（2025·江苏南通·模拟预测）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
(1)若四边形是对余四边形，则与的度数之和为 ．
(2)如图①，是的直径，点A、B、C在上，、相交于点求证：四边形是对余四边形．
(3)如图②，在对余四边形中，，，，探究线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
方法透视
变式演练
【变式01】（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角．
①的度数为_________；
②连接，若的半径为5，求线段的长；
【拓展提升】
（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？
【变式02】（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题．
(1)若，求证：四边形是矩形；
(2)如图②，若，以为直径作．
①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长．
题型10 圆与函数的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·广东清远·三模）如图，经过，两点的抛物线交轴正半轴于点，以点为圆心，长为半径作交轴另一点于点，交轴正半轴于点．
(1)求点、点的坐标；
(2)过点作的切线与抛物线交于点，若点的纵坐标为，四边形的面积为（A、E、F不共线）
①求与的函数关系式；
②若和相似，求四边形的面积．
【典例02】（2024·广东清远·二模）综合探究
如题图，抛物线的顶点为M，与x轴交于点和点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点，且圆心D在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与相切吗?请说明理由；
(3)过点C作直线，交x轴于点E，当直线与抛物线只有一个交点时，直线是否与相切?若相切，请证明：若不相切，请直接写出直线与的另外一个交点的坐标．
方法透视
变式演练
【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点．
(1)若点，点，求的值；
(2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形．
(1)如图1，若点
①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ；
②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ；
(2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·山西长治·一模）如图，四边形内接于，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·山东滨州·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2025·辽宁鞍山·一模）在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径．如图所示是“直角角尺”，，将点O放在圆周上，分别确定与圆的交点C，D，读得数据，，则此圆的半径约为（ ）
A．10B．5C．8D．6
4．（2025·四川南充·一模）如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2026·广西柳州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的一个交点为，点C是抛物线的顶点，且与y轴相切，点P为上一动点．若点D为的中点，连接，则的最大值是（ ）
A．B．5C．D．8
二、填空题
6．（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为_________．
7．（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则______．
8．（2025·江西·模拟预测）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为________．
9．（2025九年级上·重庆·专题练习）如图，以为直径的与的边相切于点D，与交于点，与交于点，连接，，，．其中与交于点，与交于点．已知平分，，，则______，______．
10．（2025·上海闵行·二模）如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是______．
三、解答题
11．（2025·湖北襄阳·一模）如图，是的直径，C，E是上两点，平分，交的延长线于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
12．（2025·四川成都·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径，是上一点，连接，，平分，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
13．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图1，在矩形中,，E是边上一点，以为直径作．
(1)连接，当E为的中点时，求证：；
(2)如图2，若与 相切于点M，求 的半径；
(3)如图3，若与 相交于点 H，I，求的长．
14．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若将线段关于直线对称，可以得到的一条弦（其中点的对应点是点，点的对应点是点），则称线段是以为轴的的关联线段．
(1)如图，当时，点，，直线，线段是以为轴的的关联线段（其中点A，B的对应点为，）
①的所有可能值为______；
②若点在第四象限，则点的坐标为______：
(2)当时，点，若存在过点，的直线和线段，使得是以为轴的的关联线段，且M，N，P三点在同一条直线上，直接写出的最大值和最小值，以及相应的的值．
考向解读
1. 圆心角与圆周角：利用同弧所对圆心角是圆周角两倍，直径所对圆周角为90°，求角度。
2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，用于圆中求角或导角关系。
3. 圆内接四边形：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，常与方程结合求角度。
方法技能
1. 找弧桥接角：见到圆中角，先找它所对的弧，通过同弧或等弧将未知角与已知角建立联系。
2. 见直径想直角：出现直径立即联想90°圆周角，构造直角三角形求角度。
3. 内接四边形用互补：圆内接四边形对角互补，结合已知角列方程求解未知角度。
考向解读
1. 垂径定理：利用垂直于弦的直径平分弦，结合勾股定理求弦长、半径或弦心距。
2. 切割线定理：从圆外一点引切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的线段比例中项。
3. 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，用于求线段长。
方法技能
1. 勾股优先：出现垂直或直径，优先在直角三角形中用勾股定理列方程求解。
2. 相似三角形：圆中常出现母子型相似（如切割线、相交弦），利用相似比列比例式求线段。
3. 设参列方程：未知线段多时，设未知数表示相关线段，利用定理或相似列方程求解。
考向解读
1. 弧长公式：考查弧长公式l= nπr180 应用，已知圆心角、半径、弧长中两个量求第三个。
2. 扇形面积：考查扇形面积公式S= nπr2360 或S= 12 lr，常与组合图形结合。
3. 阴影面积：求不规则阴影面积，用割补法、容斥原理转化为扇形、三角形、弓形面积和差。
方法技能
1. 公式准确代：弧长扇形面积公式中圆心角n代度数，注意与弧度制区分。
2. 割补转化：不规则阴影通过分割、补形转化为规则图形面积和差，简化计算。
3. 弓形面积法：弓形面积 = 扇形面积 ± 三角形面积，根据弓形与圆心位置定加减。
考向解读
1. 中心角计算：正n边形的中心角 360n ，用于求内角、外角或旋转角度。
2. 边心距与半径：正n边形的半径R、边心距r、半边长 a2 构成直角三角形，用勾股定理互求。
3. 周长与面积：正多边形周长=na，面积= 12 nar，常与圆面积结合考查。
方法技能
1. 中心角公式：熟记中心角θ=360n，用于求边数或角度。
2. 勾股定理应用：在半径、边心距、半边长构成的直角三角形中用勾股定理列方程。
3. 面积分割法：将正n边形分割为n个全等等腰三角形，每个三角形面积 12ar求和。
考向解读
1. 切线证明：常考两种方法——连半径证垂直（已知点在圆上）或作垂直证半径（未知点是否在圆上）。
2. 切线长计算：利用切线长定理，从圆外一点引两条切线长相等，结合勾股定理求线段长。
3. 半径求解：在含有切线的直角三角形中，利用勾股定理或相似三角形列方程求半径。
方法技能
1. 判定方法明确：已知点在圆上连半径证垂直；未知点在圆上作垂直证半径等于已知线段。
2. 勾股优先：出现垂直即构造直角三角形，用勾股定理列方程求线段长或半径。
3. 相似辅助：有平行线或公共角时，利用相似三角形对应边成比例求未知线段。
考向解读
1. 切线证明与计算：先证切线（连半径证垂直），再结合勾股或相似求半径或线段长。
2. 扇形面积计算：利用切线性质求出圆心角，代入扇形面积公式S=nπr2360 求面积。
3. 阴影面积综合：切线分割圆形成扇形和三角形，用割补法求阴影部分面积（常为扇形加减三角形）。
方法技能
1. 先证切线得垂直：通过切线证明得到直角，为后续勾股或角度计算打基础。
2. 圆心角定弧长：由切线性质或角度关系求出圆心角度数n，代入弧长或面积公式。
3. 割补求阴影：阴影面积不规则时，分割为扇形和三角形，分别计算后相加减。
考向解读
1. 圆内接平行四边形：圆内接平行四边形必为矩形，利用这一性质结合圆周角定理求角或线段。
2. 菱形与圆：菱形内切圆或外接圆，利用菱形对角线垂直、四边相等，结合垂径定理或切线长定理求解。
3. 正方形与圆：正方形外接圆（对角线为直径）或内切圆（边心距为半径），利用半径与边长的关系求值。
方法技能
1. 性质转化：将平行四边形性质（对边平行、对角线平分）转化为圆中的角等关系或线段比例。
2. 勾股定理优先：出现垂直（如菱形对角线、切线）立即构造直角三角形用勾股定理列方程。
3. 分类讨论圆心：圆与多边形位置关系（外接、内切）不同，解题方法不同，先确定位置再计算。
考向解读
1. 位置关系探究：动点运动过程中，探究线段数量关系、角度大小变化或特殊位置（相切、共线）。
2. 最值问题：圆中动点求线段最值（常利用直径是最长弦、垂线段最短、三角形三边关系）。
3. 函数关系建立：动点运动中某几何量（线段长、面积）与动点位置之间的函数关系式。
方法技能
1. 抓不变量：动点运动中圆的性质（半径相等、圆周角不变）往往是解题突破口。
2. 极端位置分析：考虑动点运动到起点、终点、特殊点（切点、共线点）时的情形猜想结论。
3. 函数建模：设动点坐标或用角度表示线段，代入几何公式建立函数关系式求最值。
考向解读
1. 新定义理解：给出圆中新概念（如“关联点”“和谐三角形”），要求读懂定义并转化为几何条件。
2. 性质探究：根据新定义探索图形性质，判断点、线、圆之间的位置关系或数量关系。
3. 综合应用：结合圆的性质（垂径定理、切线、圆周角）和代数计算，求取值范围或最值。
方法技能
1. 翻译定义：将新定义中的文字语言转化为几何语言（如距离相等、角度固定、位置特殊）。
2. 画图分析：根据定义画出草图，标注关键点，直观分析满足条件的图形特征。
3. 模型转化：将新定义问题转化为熟悉的圆模型（切线、弦、圆周角），用已有知识求解。
考向解读
1. 函数关系建立：圆中动点运动，建立某几何量（弦长、面积）与动点坐标或时间的函数关系。
2. 最值问题：结合二次函数顶点式或一次函数增减性，求圆中线段、面积的最值。
3. 交点坐标：圆与函数图象（一次、二次）相交，联立方程求交点坐标，结合圆的性质求解。
方法技能
1. 设点坐标：设动点坐标(x,y)，用含x的式子表示几何量，建立函数关系。
2. 几何条件转化：将圆的性质（半径相等、直径对直角）转化为代数方程，联立求解。
3. 数形结合：画出圆与函数图象草图，直观分析交点位置、最值点，辅助列方程。