专题7 综合与实践问题题型备考2026年中考数学第二轮专题练习含答案

这是一份专题7 综合与实践问题题型备考2026年中考数学第二轮专题练习含答案，文件包含专题05平面直角坐标系性质的八类综合题型压轴题专项训练数学新教材人教版七年级下册原卷版pdf、专题05平面直角坐标系性质的八类综合题型压轴题专项训练数学新教材人教版七年级下册解析版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
1．[2024广西·中考真题]综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中，分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
二、函数
1．[2024山西·中考真题]综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时与的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
2．[2024吉林·中考真题]综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
三、图形的性质
1．[2024广东·中考真题]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留）
2．[2024宁夏·中考真题]综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论 ；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是 ．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
3．[2024青海·中考真题]综合与实践
顺次连接任意一个四边形四条边的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，分别是和的中位线，
∴，（____①____）
∴．
同理可得．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
四、图形的变化
1．[2024贵州·中考真题]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求的长；
(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：，，）
2．[2023山东·中考真题]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
(1)求的长；
(2)设塔的高度为h（单位：m）．
①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．
3．[2024四川巴中·中考真题]综合与实践
(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______．
(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：与的比值为______．
②证明：四边形为平行四边形．
(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
4．[2024山东济宁·中考真题]综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平．
第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平．
第三步，连接．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形是正方形．
乙同学的结论：．
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平．
第五步，连接交于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：．
（2）请证明这个结论．
5．[2024四川眉山·中考真题]综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中,
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．
（2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：，，）
6．[2024黑龙江齐齐哈尔·中考真题]综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
7．[2024河南·中考真题]综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．
如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）．
(3)拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．
8．[2024江西·中考真题]综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
9．[2023江苏宿迁·中考真题]在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
10．[2024黑龙江绥化·中考真题]综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点,交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点,），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值__________________（结果保留根号）．

11．[2023山东日照·中考真题]综合与实践
【问题提出】
在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
【初步感知】
（1）求证：A，，，四点共圆；
【深入探究】
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
【延伸探究】
（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值．
12．[2024江苏扬州·中考真题]在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接，，．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________________；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点，在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出，，满足的数量关系．（用含的式子表示）
13．[2024山东泰安·中考真题]综合与实践
为了研究折纸过程中蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
（1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
（2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
五、统计与概率
1．[2024安徽·中考真题]综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园，在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 ：求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 ：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 ：下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 ：结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
参考答案
一、方程与不等式
1．【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，∴，
第二次漂洗：
把，代入，∴，
而，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
二、函数
1．【答案】(1)图见解析，
(2)的长为4米，的长为2米
(3)矩形周长的最大值为米
【分析】（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可；
（3）由矩形周长，即可求解．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
2．【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为；(2)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）将代入函数解析式，解方程即可．
【详解】（1）解：设函数解析式为，，
∵当，，
∴，解得，
∴函数解析式为，经检验其余点均在直线上，
∴函数解析式为，这些点在同一条直线上；
（2）解：把代入得，解得，
∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为．
三、图形的性质
1．【答案】(1)能，见解析
(2)
【分析】（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【详解】（1）解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为，
根据题意，得，
解得，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴圆锥的体积为．
2．【答案】【发现结论】结论；结论；
【应用结论】见详解
【详解】【发现结论】解：结论是的平分线，，
是的平分线，，
，，
，
，；
结论2：由结论1知，，
，，
，，，
，，，；
【应用结论】证明：（1）在中，，
在中，，，
在和中，，,；
（2）证明：补全图形如图所示，
在中，
，，，，
，，
，，
，，，
又，．
3．【答案】（1）①中位线定理
（2）见详解
（3）②矩形
（4）见详解
（5）补图见详解；③且；④正方形
【详解】（1）①证明依据是：中位线定理；
（2）证明：∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，，
∴．
同理可得．
∵，
∴，
∴中点四边形是菱形．
（3）②矩形；
（4）证明∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，，
∴，
同理可得，
∵，
∴，，
∴，
∴中点四边形是矩形．
（5）证明：如图4，∵分别是的中点，
∴分别是和的中位线，
∴，∴．同理可得．
∵，∴，∴中点四边形是菱形．
∵，由（4）可知，
∴菱形是正方形．

四、图形的变化
1．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算出的长；
（2）利用锐角三角函数求出的长，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：由题可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
2．【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
即的长为．
（2）解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
3．【答案】(1)；(2)①1；②见详解；(3)见详解
【分析】（1）由“角角边”即可证明；
（2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形．
【详解】（1）解：如图，
∵，∴，
由题意得为中点，∴’，
∵，∴；
（2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形，∴，∴；
②如图，
由题意得，是的中点，将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出，
则，，
∵，，，∴，
∵，∴，
∴三点共线，同理三点共线，
由操作得，，
∵，∴，
∴，∴四边形为平行四边形；
（3）解：如图，

如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形．
由题意得，，，
∴，∴，
由操作得，，
∵，∴，∴三点共线，同理三点共线，
∵，∴四边形为矩形，
如图，连接，
∵为中点，∴，
同理，∴，∴，
∵，∴，∴，，∴，
由操作得，，而，∴，同理，，
∵，，，∴，
∵四边形为矩形，∴，
∴，∴，
∴，同理，∴四边形能放置左上方空出，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
4．【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析
【分析】（1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论；
（2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论
【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下：
四边形是矩形，
，
由第一步操作根据折叠性质可知：，
四边形为矩形，
又，
四边形为正方形，
故甲同学的结论正确；
作于点M，
四边形为正方形，
，
设，由第二步操作根据折叠性质可知：，
，在中，
，
，
在中，,
，
，
故乙同学的结论正确；
（2）作交于点R，如图所示：
为折痕,
，
，
，
四边形为矩形，
，
在和中，
，
，
又，
，
由折叠性质可知：，
，
，
，
，
，
四边形为菱形，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
5．【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸：
【分析】操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可；
（2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论；
类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论；
拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果．
【详解】解：操作发现（1）四边形是正方形，
，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形的面积是4；
（2）如图，过点作于点，于点．
是正方形的中心，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
类比探究：
证明四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
拓展延伸：
过点作于点，于点．
同（2）可知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
重叠部分的面积．
6．【答案】(1)；(2)10；(3)；(4)或
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
（3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
（4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．

，，，
，，
又且，，；
（2）解：， ，，
，，
又且，，
，，
，，，，
，，，
，，，，
；
（3）解：如图所示，过点作于点，

∵，，∴，
∴，即，即，
又∵，∴，∴，
设，则，，解得，，
∴；
（4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点，

∵，∴，设，则，
又∵，，
∴，，
∴，∴，
∴，∴，解得，，
在中，，
∴，
∴，
如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，

∵，∴，
∵，∴，
设，则，，
∵， ∴，解得，，
∴，∴.
综上所述，或．
7．【答案】(1)②④；(2)①．理由见解析；②；(3)或.
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；
（2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论；
②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可；
（3）分，，，四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形；
（2）解：①，理由,
延长至点E，使，连接，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形是邻等对补四边形，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过N作于H，
∴，
在中，
在中，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
当时，连接，过N作于H，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
当时，如图，连接，
∵，
∴，
∴，故不符合题意，舍去；
综上，的长为或．
8．【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论；
（3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案.
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
连接，，，
∴，

∴在上，且为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积为,
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或.
9．【答案】[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此；
[深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故．
【详解】[操作判断] 解：如图，
由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究] 解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．【答案】（1），见解析；（2）2，见解析；（3）或
【分析】（1）根据题意证明，得出关系式，进而求得，代入比例式，即可求解；
（2）方法一：勾股定理求得，将将（1）中代入得，进而根据三角形的周长公式，即可求解；
方法二：证明，，过作交于点，作交于点，作交于点．证明，，得出，得出，进而根据三角形的周长公式可得的周长．
方法三：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接．得出，，则，同方法二求得，进而即可求解；
（3）分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，由勾股定理得，，进而根据正确的定义，即可求解；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解．．
【详解】操作发现
解：（1）∵，且．
∴，∴，
∴，∴，∴，∴．
在中，，∴，
∵是的中点，点与点重合，∴，
∴，∴．

问题解决
（2）方法一
解：的周长定值为2．
理由如下,∵，，，∴，，
在中，∴
．
将（1）中代入得
∴．
∵，又∵，∴，∴．
∵的周长，∴的周长．
方法二
解：的周长定值为2．
理由如下,∵和是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
在中，，∴，
∴，∴，
∴，，，
∵O为AB的中点，∴，∴，
又∵，∴，，，
∴过作交于点，作交于点，作交于点．
∴．
又∵，，∴，，
∴，，∴．
∵的周长．
又∵，，，∴，∴，
∵，，∴，
∵是的中点，点是的中点，同理点是的中点．
∴，
∴的周长．

方法三
解：的周长定值为2．
理由如下,过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接．
∵是等腰直角三角形，为的中点，∴平分，∴，
∴，∴，．
∵，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴的周长．
又∵，，，∴，∴．
∵，，∴．
∵是的中点，点是的中点，同理点是的中点．∴，
∴的周长．

拓展延伸
（3）或
①解：∵，，∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
在中，设，∴，由勾股定理得，
，∴，
∴在中，．

②解：∵，，∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接．
∵，∴，∴，
在中，设，∴，由勾股定理得，
∴，
∴在中，．
∴或．

11．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A，B，D，E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G，F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A，B，D，E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径
∴是的切线；
（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G，F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由得，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
12．【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时，
【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解；
（2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，则
∵是的外接圆，
∴是的角平分线，则，
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
设交于点，则，设，则
在中，
∴
∴，
∵是直径，则，在中，
∴，
∴.
（2）如图所示，在上截取，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，则，
∴.
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴；
∵，，
∴是等边三角形，则，
∴，
又∵，
∴
在中
∴
∴，
∴
即；
（3）解：①如图所示，当在上时，
在上截取，
∵，
∴.
又∵，
∴，则，
∴即.
又∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
如图所示，作于点，在中，，∴
∴，
∴，
即;
②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵，
∴，则，
∴即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，同①可得，
∴，
∴.
综上所述，当在上时，；
当在上时，．
13．【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析
【分析】（1）如图：作于点M，再证可得，再证明四边形是矩形可得即可证明结论；
（2）利用平行线分线段比例可得，再说明，进而得到；再由平行四边形及折叠可得，，则即可证明结论．
【详解】解：（1）正确，理由如下，
作于点，
，，，
，，，
又，．∴．
是矩形，，四边形是矩形．，．
（2）同学们的发现说法正确，理由如下，
，，，
由折叠知，，，，
由平行四边形及折叠知，，，
，即点为的一个黄金分割点．
五、统计与概率
1．【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【分析】任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可；
任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可；
任务3：根据中位数、众数及极差的计算方法求解即可；
任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可．
【详解】解：任务1：；
任务2：，
乙园样本数据的平均数为6；
任务3：①∵，
∴甲园样本数据的中位数在C组，
∵，
∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确；
②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误；
③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误；
故答案为①；
任务4：甲园样本数据的一级率为，
乙园样本数据的一级率为，
∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率，
∴乙园的柑橘品质更优．
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
凳面的宽度
115.5
132
148.5
165
181.5
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
菱形
原四边形对角线关系
中点四边形形状
不相等、不垂直
平行四边形
②________
原四边形对角线关系
中点四边形形状
③________
④________
组别
A
B
C
D
E
x