2026年云南省保山市部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析）

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注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量，并进行负数运算的国家．云南哈尼族梯田农耕中，常记录灌溉水量变化，若规定往梯田引水3立方米记作立方米，则从梯田排水2立方米可记作（ ）
A. 立方米B. 2立方米C. 立方米D. 3立方米
【答案】A
【解析】
【分析】正负数用来表示一对具有相反意义的量，确定其中一种量的正表示后，可得到相反意义的量的负表示．
【详解】解：∵规定往梯田引水3立方米记作立方米，引水与排水是一对具有相反意义的量，
∴梯田排水2立方米应记作立方米．
2. 2025年我国原油产量达216000000吨，创历史新高．216000000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的方法是：将原数化为时，小数点移动的位数即为的绝对值，原数绝对值大于时，为正整数．
【详解】解：．
3. 如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：如解图，∵，
，
．
4. 函数的自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，列出不等式求解自变量的取值范围．
【详解】解：若有意义，则，即．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法运算法则，积的乘方运算法则计算各选项后再进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算错误，不符合题意；
D、，故选项D计算正确，符合题意．
6. 为传承傣族剪纸技艺，某中学社团记录了个小组完成一幅剪纸作品的耗时（单位：分钟）：，，，，，则这组数据的众数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数定义找出这组数据中出现次数最多的数即可．
【详解】解：给出的这组数据为，，，，，
是这组数据中出现次数最多的数，
故这组数据的众数为．
7. 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（）．
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形
【答案】B
【解析】
【详解】根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，
由
得n=5．
故选B．
8. 下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A. 圆锥B. 三棱锥C. 四棱锥D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥．
【详解】解：此几何体为一个三棱锥．
9. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别分析代数式的系数和的次数，各自找到通项规律后再合并，得到第个代数式．
【详解】解：∵这几个代数式的系数分别为，，，，，
∴第个代数式的系数为，
∵这几个代数式的次数分别为，，，，，
∴第个代数式的次数为，
∴第个代数式是．
10. 下列四个选项所描述的图形中，一定是轴对称图形的是（ ）
A. 三角形B. 五边形C. 等边三角形D. 平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形是轴对称图形），逐一判断各选项是否一定满足定义即可．
【详解】解：A、三角形不一定是轴对称图形，等腰三角形或等边三角形才是轴对称图形，∴ A不符合要求；
B、五边形不一定是轴对称图形，正五边形才是轴对称图形，∴B不符合要求；
C、等边三角形沿任意一条内角平分线所在直线折叠，直线两旁部分都能完全重合，一定是轴对称图形，∴C符合要求；
D、一般平行四边形找不到满足条件的对称轴，不是轴对称图形，∴ D不符合要求．
11. 如图，、为的两条直径，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由对顶角相等得到的度数，再由圆周角定理即可求得的度数．
【详解】解：，
，
和分别是所对的圆周角和圆心角，
．
12. 某县2024年沃柑种植产值为200万元，在政策扶持与技术推广下，产值逐年稳步增长，2026年达到288万元．设每年产值的平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据初始产值、平均增长率，依次表示出增长两年后的产值，再结合2026年的实际产值列出方程即可．
【详解】解：∵2024年沃柑种植产值为200万元，年平均增长率为，
∴2025年的产值为万元，
∴2026年的产值为万元，
又∵2026年的产值为288万元，
∴可列方程为．
13. 如图，是的边上的高，若，，则边的长为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由可求出，由可求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
．
14. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】A
【解析】
【详解】解：，
，
，
的值在2和3之间．
15. 如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斗笠的底面半径、高及斗笠的母线组成直角三角形，利用勾股定理求得其母线长，然后利用扇形面积公式计算得出斗笠的侧面积．
【详解】解：∵这种帽子的底面半径为，高为，
∴母线长为，
∴该斗笠帽的侧面积为．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
17. 已知反比例函数，写出该函数图象经过的一个点为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，只需找出横纵坐标乘积为的点即可．
【详解】解：令，代入得，
∴点在该反比例函数图象上．
18. 如图，在中，点D、E分别是、边的中点，则____________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据三角形中位线的性质即可解答．
【详解】∵点D、E分别是、边的中点
∴
∴
故答案为：．
本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
19. 某校为了解全校学生课后参与“德育、智育、体育、美育、劳育”五育实践活动的偏好，随机抽取400名学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制为如下条形统计图，若该校共有3600名学生，则课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有_________人．
【答案】
【解析】
【详解】解：课后愿意参与体育和美育实践活动的学生约有（人）．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，算术平方根的平方，绝对值，零次幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可．
【详解】解：原式

．
21. 如图，是线段的中点，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等．
【详解】证明：是线段的中点，
．
在和中，
，
．
22. 请你根据下列素材，完成有关任务．
【答案】甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时
【解析】
【分析】根据“行驶时间相同”的等量关系，设乙车速度为未知数，列分式方程求解．
【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，
根据题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时．
23. 为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）．
抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖．
（1）请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？
【答案】（1）所有可能出现的结果总数为6
（2）这个抽奖规则公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抽奖规则通过列表列出所有可能出现的结果即可；
（2）利用概率公式计算出两队中奖的概率，即可判断．
【小问1详解】
解：列表如下：

由列表可知，共有6种等可能的结果，分别为，，，，，，
即所有可能出现的结果总数为6；
【小问2详解】
解：这个抽奖规则公平，理由如下：
由（1）可知共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，的结果有3种，
（甲队中奖）（乙队中奖），
∴这个抽奖规则公平．
24. 如图，在菱形中，分别延长，至点E，F，使，，连接，，，．记菱形的周长为，四边形的周长为，四边形的面积为S．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求S的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形；
（2）由得，利用勾股定理解得，利用完全平方公式计算出，进而得出的值即可．
【小问1详解】
证明： ，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
，
，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∴在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
．
25. 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元．
（1）求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润；
（2）若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元
（2）购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）通过列二元一次方程组求出两种产品的单位利润；
（2）先列出总利润关于进货量的一次函数，再根据题目限制条件求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出最大利润．
【小问1详解】
解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元，
由题意得，
解得，
故每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元．
【小问2详解】
解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，销售总利润为元，
由题意得，
∵普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，
，
解得，
，
随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
此时，鲜花饼的数量为（盒），
故购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元．
26. 已知抛物线的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设t是直线与抛物线交点的横坐标，记，比较T与t的大小．
【答案】（1）
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）利用顶点在x轴上的抛物线与x轴只有一个交点，得判别式；代入抛物线系数列方程求出a的值，再回代写出解析式．
（2）联立直线与抛物线，得到t满足的二次方程；由方程变形得，再通过两次平方得到、；分子分母同除以，将高次分式转化为对称式的组合形式，代入数值计算得；解二次方程得，分别计算的正负，判断大小关系．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，即判别式．
∴
令，得，
即，
∵，
∴．
将代入原抛物线解析式得：．
【小问2详解】
解：联立直线与抛物线，得：
整理得．
∵是直线与抛物线交点的横坐标，
∴是方程的解，即，且．
由，两边同除以，得：
，
，
对两边平方：
，
，
，
再对两边平方：
，
，
，
对，分子分母同除以：
将、、代入上式：
解方程，由求根公式：
①当时：
∵，，
∴，即．
②时：
即．
答：当时，；当时，．
27. 如图，是的直径，，是上异于，的点，连接交于点，点在外，，且，延长交的延长线于点，，记的面积为，的面积为，的面积为．
（1）若，求的度数；
（2）求证：直线是的切线；
（3）看一看，想一想，证一证：
是否存在常数，，使得等式成立？若存在，请直接写出一个和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）存在，，．
【解析】
【分析】（）连接，由是的直径，则，通过同角的余角相等得，再由圆周角定理即可求解；
（）连接，由等边对等角得，，所以，即，然后通过切线的判定方法即可求证；
（）由（）知，，所以，则设，的面积为，则，通过两个三角形同高不同底，面积比即为底边长之比，得，所以，同理，则，即，所以，将用上面求得的含的等式代入得，，代入可得当，时，．
【小问1详解】
解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
是的半径，
∴直线为的切线；
【小问3详解】
解：存在，，，
证明：由（）知，，
，
设，的面积为，
，
两个三角形同高不同底，面积比即为底边长之比，
，
，
同理，，
，
，
，
，，
，
，
当，时，．
背景
为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生．
素材一
甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米；
素材二
甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同．
请完成以下任务：
任务
求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度．
1
2
3
1
2