浙江省五湖联盟2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题（含答案）

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一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 2 13. 103 米 14. 93
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（本题满分 13 分）
（1） 由已知得 z1z2 = (1+ 2i)(3 _ i) = 5 + 5i ， 3 分
所以 z = z1z2 + (m _1)i = 5 + (m + 4)i ，
又 | z |= 5 → 2 = 5 ，解得 m = _4 ，
故实数 m 的值为 _4 . 6 分
（2） 由（1）得 z = 5 + (m + 4)i ，
:z + m2 _ 2m _ 8 + (m2 _ 5m _1)i = (m2 _ 2m _ 3) + (m2 _ 4m + 3)i ， 8 分由复数在复平面上对应的点在第二象限得
高一数学学科参考答案 第 1页(共 5 页)
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2
3
4
5
6
7
8
B
B
A
D
B
A
A
C
9
10
11
ACD
BD
ABD
解得 _1 < m < 1 ， 12 分故实数 m 的取值范围为 (_1,1) 13 分
16. （本题满分 15 分）
（1） 由4a 丄 (a _ 4b)得4a.(a _ 4b) = 0 ， 3 分
→ 4a2 _ 16a.b = 0 ，又 = 4 ，得 a.b = 4 7 分
（2） 由 (1)得 ，又 = 4 ， = 2 ,
即得 ， 分又 | + |= · ( + )2 = · 2 + 2 . + 2 = 2 ... 11 分所以 ,
即 与 + 的夹角余弦值为 . 15 分
17.（本题满分 15 分）
（1）设 AB = 3x, 由 AB : BC : AA1 = 3 : 2 : 4 可得 BC = 2x, AA1 = 4x ，
因为外接球的表面积为116π , 即 4πR2 = 116π , 解得 2R 分又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，即
2R 解得 x = 2, 分所以 AB = 6 分
即几何体 ABCD _ A1C1D1 的体积为 160 8 分
（3） 由 (1)得 AB = 6, BC = 4, AA1 = 8 ，则 A1C
A1B = 82 + 62 = 10 ，，
在△A1C1B 中由余弦定理 ， 11 分则 sin LA1BCcs2LA1BC
所以SΔA1BC 13 分从而得几何体 ABCD _ A1C1D1 的表面积为
分
18.（本题满分 17 分）
（1）因为点 C(1, 3) ，所以 = (1, 3) ， 1 分所以 分
（2） 由题意可得
7 分
故 在 上的投影向量为 10 分
（3）设P(t , 3 ) ，其中1≤t≤5, λ = (λt, 3 λ), - λ = (6 - λt, - 3 λ), = (2, - 3 )．若 即12 - 2λt + 3λ = 0 ，可得
(2t -3) λ = 12 ． 12 分若t 则 λ 不存在，
若t ≠ , 则 t 16 分故 17 分
19. （本题满分 17 分）
sin Asin C = csAsin C ， ……………………………………………3 分 sin C sin A = csA ，
: tan A LA 为三角形内角，
,
π
: A = ………………………………………………………………………………………6 分
3
sin B sinC 分
: sin BsinC 即bc = 3 ， 9 分
: SΔABC bcsin A 11 分
(3) 如图，在 ΔABC 中， AB + BC + CA = 0 ，
设单位向量 ，于是 即 m . AB + m . BC + m . CA = 0 .过点 D 作 BC 的平行线，则 cs = a cs
而 cs = _c cs m . CA = CA cs(A + θ) = bcs(A + θ) ， ……15 分故 _ c cs θ + a cs(B _θ)+ bcs(A + θ) = 0 ，
即证 a cs(B _θ)+ bcs(A + θ) = c cs θ . ………………………………………………17 分