浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题（含解析）

这是一份浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 在中，，记，，则， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得．
2. 已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【详解】已知向量，，且，
则，解得.
3. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】，，
，则.
4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因，可设，，
因，则最大内角为C，
由余弦定理，．
5. 如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法还原原平面图形，分别求出轴、轴方向线段长度，然后计算周长.
【详解】根据题意，直观图边长为，
，，
还原为平行四边形，
，，所以，
原平面图形的周长是cm.
6. 在中，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】在中，，记，，
所以，，，
所以，即.
7. 已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意知：,
,
当且仅当时，.
8. 如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得AM⃗=12(xAB⃗+yAC⃗) ，，再根据并结合，可得的函数式，由基本不等式即可求的最小值.
【详解】在中，线段的中点分别为，
记AD→=xAB→,AE→=yAC→，
则AM⃗=12(AD⃗+AE⃗)=12(xAB⃗+yAC⃗) ，，
∴，AB→·AC→=AB→·AC→×cs60°=12AB→·AC→，
∴两边平方得：
=141−y2AC2+1−x2AB2+1−y1−xACAB
∵，∴1−yAC+1−xAB=2 ，
∴1−y2AC2+1−x2AB2+21−y1−xACAB=4≥41−y1−xACAB，
∴1−y1−xACAB≤1 ，
∴MN2=14(1−x)2AB2+(1−x)(1−y)AB×AC+(1−y)2AC2
≥143(1−x)(1−y)AB×AC≥34，
当1−yAC=1−xAB=1 时，等号成立，所以最小值为，即的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若复数，则
B. 若复数，则z的虚部是
C. 已知，是关于x的方程的一个根，则
D. 若复数z满足，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用共轭复数的定义及复数乘法判断A，由复数的乘法、乘方运算化简，并确定虚部判断B，由实数方程复数根的性质及韦达定理求参数值判断C，由复数模的几何性质确定的轨迹为圆，结合圆的几何性质求距离最小值判断D.
【详解】A：由题设z⋅z=1+2i1−2i=12−4i2=5 ，正确，
B：z=1−3ii10+2=1−3i2+i4×2+2=1−3i2−1=1−3i ，虚部为，错误，
C：由题设，是方程的另一个复数根，
则−m=2i−2i=0n=2i×−2i=4，即，故，正确，
D：由，则对应点在以为圆心，2为半径的圆上，
而表示圆上点到点的距离，且点在圆内，
故其最小值为2−1−02+0+12=2−2，正确.
10. 已知平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. ，使
D. ，
【答案】BD
【解析】
【详解】A选项，，故A错误；
B选项，，
所以，故B正确；
C选项，，则，
因为，所以不存在，使，故C错误；
D选项，若，则，
则，即，
因为对，所以D正确.
11. 如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的外接球体积是
C. 圆锥的内切球半径为
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A求出底面积和侧面积相加即可；B求出外接球半径即可；C根据体积公式可得；D展开共线时最短；
【详解】根据题意可得底面半径和母线的长分别为r=2，l=22，
所以侧面积为，底面积为，
所以圆锥的表面积为，故A对；
设外接球的半径为，球心到圆锥底面的距离为。
由于圆锥的高，底面半径，
所以，代入得
，
所以，故B正确；
圆锥的体积，V=13×S×r内，∴8π3=13×4+42π×r ，
，故C错误；
由，E为线段上的动点，∠ABC=90°,AC=4 得，
又，所以为等边三角形，则，
将以为轴旋转到与共面，得到，
所以为等边三角形，则，
则,
因为S1B=BC=22,∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=150°,
S1C2=S1B2+BC2−2×S1B×BC×cs150°=8+8+83=23+22,
则，故D正确
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
【答案】2
【解析】
【详解】由题意得，，得
13. 如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________.
【答案】米
【解析】
【详解】在△BCD中，，
由正弦定理得，
解得(m），
在Rt△ABC中，(m).
14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求.
【详解】由题设，即（负数舍去），
又外接圆的半径，
要使四边形的面积最大，只需的面积最大，
由到的距离d=r2−BD22=73，则中边上的最大高为，
所以最大.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知复数，，，.
（1）若，求m的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数的运算法则计算得出复数的表达式，再根据可解得m的值；
（2）将所求复数整理化简，根据第二象限对应的复数实部与虚部的符号特征解不等式即可.
【小问1详解】
由已知得，
所以，
又，解得，
故实数m的值为.
【小问2详解】
由（1）得，
，
由复数在复平面上对应的点在第二象限得
，解得，
故实数m的取值范围为.
16. 已知向量，满足，，且.
（1）求的值；
（2）求与的夹角余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的表示及运算律的性质求解即可；
（2）根据模的运算求得， ，进而利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
由得，
所以，又，得；
【小问2详解】
由（1）得，又，，
即得，
又，
所以，
即与的夹角余弦值为.
17. 已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
（1）求的长；
（2）求几何体的体积；
（3）求几何体的表面积.
【答案】（1）
（2）160 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据球的表面积公式求得直径，再利用长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长列式求解即可；
（2）结合长方体和棱锥的体积公式，利用割补法求体积即可；
（3）在中由余弦定理和同角三角函数关系求得，求得的面积，即可求解表面积.
【小问1详解】
设，由可得，，
因为外接球的表面积为，即，解得，
又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，
即，解得，
所以；
【小问2详解】
=6×4×8−13×12×6×4×8=160 ，
即几何体的体积为160；
【小问3详解】
由（1）得，，，则，
，，
在中由余弦定理，
则，
所以S△A1BC1=12×10×45×6155=461，
从而得几何体的表面积为
=324×6+4×8+6×8+461=156+461.
18. 在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点M满足，点P在线段上运动（包括端点），如图所示.
（1）求与共线的单位向量的坐标；
（2）求在上的投影向量的坐标；
（3）是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或；
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；
（2）根据题意可得，根据向量的坐标运算求投影向量；
（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的范围.
【小问1详解】
由题意可知：，
则，可得，
所以或.
【小问2详解】
由题意可得：，
则，，
所以在上的投影向量为.
【小问3详解】
设，，
则，，，
若，则，
即，可得，
若，则不存在；
若，则，
因为，则，
可得；
综上所述：存在实数满足题意，的取值范围为．
19. 已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
（3）如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差正弦公式化简，再结合特殊值的三角函数值计算求解；
（2）应用正弦定理边角转化结合面积公式求解；
（3）应用向量的数量积公式及运算律计算证明.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∵为三角形内角，
∴
【小问2详解】
∵，，，
∴，即，
∴
【小问3详解】
如图，在中，，
设单位向量，于是，即
过点D作的平行线，则，
而，，
故，
即证