浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题

这是一份浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 0
2.已知向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
3.已知，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
6.在中，，记，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知中，，点D，E分别为边，上的两个动点，且满足，若点M，N分别为，的中点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中正确的是（）
A. 若复数，则
B. 若复数，则z的虚部是
C. 已知，是关于x的方程的一个根，则
D. 若复数z满足，则的最小值为
10.已知平面向量，满足||=2，，，则下列说法正确的是（ ）
A. ）=
B.
C. ∃λ∈R，使
D. ∀λ∈R，恒成立
11.如图，为圆锥底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的表面积为
B. 圆锥的外接球体积是
C. 圆锥的内切球半径为
D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 .
13.如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为 .
14.在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数，，，.
(1)若，求m的值；
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求m的范围.
16.(本小题15分)
已知向量，满足，，且.
(1)求的值；
(2)求与的夹角余弦值.
17.(本小题15分)
已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
(1)求的长；
(2)求几何体的体积；
(3)求几何体的表面积.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，且，，，点M满足，点P在线段上运动（包括端点），如图所示.
(1)求与共线的单位向量的坐标；
(2)求在上的投影向量的坐标；
(3)是否存在实数，使？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积.
(3)如图，若直线l与三角形的边，分别相交于点D，E，设，求证.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】米
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由已知得，
所以，
又，解得，
故实数m的值为.
（2）由（1）得，
，
由复数在复平面上对应的点在第二象限得
，解得，
故实数m的取值范围为.

16.【答案】解：（1）由得，
所以，又，得；
（2）由（1）得，又，，
即得，
又，
所以，
即与的夹角余弦值为.

17.【答案】解：（1）设，由可得，，
因为外接球的表面积为，即，解得，
又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长，
即，解得，
所以；
（2）
，
即几何体的体积为160；
（3）由（1）得，，，则，
，，
在中由余弦定理，
则，
所以，
从而得几何体的表面积为
.

18.【答案】解：（1）由题意可知：，
则，可得，
所以或.
（2）由题意可得：，
则，，
所以在上的投影向量为.
（3）设，，
则，，，
若，则，
即，可得，
若，则不存在；
若，则，
因为，则，
可得；
综上所述：存在实数满足题意，的取值范围为．

19.【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，∵为三角形内角，
∴
（2）∵，，，
∴，即，
∴
（3）如图，在中，，
设单位向量，于是，即
过点D作的平行线，则，
而，，
故，
即证