福建省宁德市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

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16.( 本小题满分15分)
【解】如图，以D为空间原点， AD所在直线为X轴， DC所在直线为y轴， DD₁所在直线为Z轴， 建立空间直角坐标系 1分
M(2,0,2), C₁(0,2,4), O(1,1,0),E(0,2,1),D(0,0,0,B(2,2,0 4分
【注意】错1个或2个坐标扣1分
(1) 因为MC₁=(-2,2,2),OE=(-1,1,1) 6分 所以20E=MC₁ 7分 所以MC₁//OE 8分
(2) 方法一：
可知：MO=(-1,1,-2 9分
设平面DEB的一个法向量为n=(x,y,z) 由n ·DE=0且n ·DB=0,
…………………………………………………………………………… 11分
令x=1得n=(1,-1,2) 12分 所以MO=— 13分 可得：MO//n 14分 所以： M O ⊥ 平 面 D E B 15分
方法二：
可知：DE=(0,2,1),O B=(2,2,0), M=(-1,1,=2 11分 有MO · DE=0,MO · OB=0,
所 以 M O ⊥ D E , M O ⊥ O B 13分 且 D E n D B = D 14分 所 以 M O ⊥平面DEB 15分
17.( 本小题满分15分)
【解】(1)f(x)=3x²+2a+b 1分 由题意，有f'(- 1)=3- 2a+b=0,f(0)=b=0 3分
解得：
, b=0 1
经检验： 符合题意 6分
所以……………………………………………… 7分
又当x=1时切点为, 切线斜率f(1)=6……………………………… 9分 所以x=1处的切线方程为12x- 2y- 7=0 10分
( 2 ) 由 ( 1 ) 得f'(x)=3x²+3x 11分
令f'(x)>0得x< - 1或x>0 12分 令f'(x)0, 得x0, 即 f(x)> s(x)
12 分
(3)由若f(x) 存在两个极值点x,X₂,
结合(1)知x→-∞0时f'(x)→-∞,x→+00 时f'(x)→-………………… 13分
则a>2-2n2 且x,x₂ 为f'(x)=0 的两根，x₁2, 所以t>In2, 所以x₂>x₁+1n2……………………17分