福建宁德2024~2025学年高一下册期末数学试题

这是一份福建宁德2024~2025学年高一下册期末数学试题，共8页。试卷主要包含了 设向量，则， 任何一个复数z＝a＋b等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足，则是（ ）
A. －1＋iB. －1－iC. 1＋iD. 1－i
【答案】B
2. 掷两枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，则事件A与事件B的关系为（ ）
A. A与B互斥B. A与B对立C. A与B独立D. A与B相等
【答案】C
3. 如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（ ）
A. 甲户比乙户大B. 乙户比甲户大
C. 甲、乙两户一般大D. 无法确定哪一户大
【答案】B
4. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5. 已知，是两条直线，，是两个平面，下列说法正确的是（ ）
A 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
6. 已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设向量，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为（1，0）
【答案】ACD
10. 任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，
B.
C.
D. 在复平面内对应的点的坐标在第三象限
【答案】AC
11. 已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为，则（ ）
A. 正四面体的外接球的表面积为B. 正四面体的内切球的体积为
C. 正四面体的棱长为12D. 线段MN的最大值为
【答案】BC
12. 新冠肺炎期间，某社区规定：若任意连续7天，每天不超过6人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该社区没有发生群体性发热的为（ ）
A. 中位数为4，众数为3B. 均值小于1，中位数为1
C. 均值为2，标准差为D. 均值为3，众数为4
【答案】BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则________．
【答案】1
14. 在△ABC中，若b = 1，c =，，则a =
【答案】1
15. 如图，桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则圆柱母线与水面所在平面所成的角等于________．
【答案】
16. 菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最小值为________．
【答案】－4
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量满足．
（1）若的夹角为，求；
（2）若，求与的夹角．
【答案】（1）1；（2）.
18. 如图，在三棱柱中，⊥，AB＝AC＝1，D是BC的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若面⊥面ABC，，求几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
19. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位mg）的样本数据统计如下：
（1）求样本数据的80%分位数；
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．
【答案】（1）78.5；（2）①属于；②.
20. 现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面问题中，并以此为依据求解问题．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若 ．
（1）求B；
（2）若点D是边AC靠近A的三等分点，且BD长为1，求△ABC面积的最大值．
【答案】答案见解析.
21. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．
求：（1）恰有一人面试合格的概率；
（2）至多一人签约的概率．
【答案】（1）；（2）.
22. 在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）从三棱锥P－ABC中选择合适的两条棱填空．若 ⊥ ，则该三棱锥为“鳖臑”；
（2）已知三棱锥P－ABC是一个“鳖臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°.
①若△PAC上有一点D，如图1所示，试在平面PAC内作出一条过点D直线l，使得l与BD垂直，说明作法，并给予证明；
②若点D在线段PC上，点E在线段PB上，如图2所示，且PB⊥平面EDA，证明∠EAB是平面EAD与平面BAC的二面角的平面角．
【答案】（1）AB⊥BC；AC⊥BC；PB⊥BC；PC⊥BC（答对其中一个即可）；（2）①作法见解析，证明见解析；②证明见解析.