考点19 双曲线方程及其性质-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案）

这是一份考点19 双曲线方程及其性质-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案），共9页。试卷主要包含了若点P是双曲线C，已知双曲线C，设，为双曲线C等内容，欢迎下载使用。

考点01：双曲线的定义（妙用）
结论 1： 双曲线第一定义。
结论 2：标准方程 由定义即可得双曲线标准方程。
结论 3：双曲线第二定义。
双曲线（a＞0,b＞）的焦半径公式： ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,.
证明：由第二定义得：M在右支时，
M在左支时，。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行，若点在的右支上，点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．8
【答案】C
【分析】由直线与的一条渐近线平行，可求得，从而可求出，则可求出的坐标，结合图形可知，从而可求得答案.
【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，
因为直线与的一条渐近线平行，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
因为点在的右支上，
所以，
所以的最小值为，
故选：C
2．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】，
当点在左支时，PF1的最小值为，
当点在右支时，PF1的最小值为，
因为，则点在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，解得；
当，点在左支时，；在右支时，；推不出；
故为充分不必要条件，
故选：D.
3．已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和PF，进而得到的值.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，

依题意，，设，则，
由得，
所以，
所以.
故选：D．
4．过双曲线x24−y212=1的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
【答案】C
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x24−y212=1的左右焦点为，，连接，，，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】由双曲线方程x24−y212=1可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，F2N，则，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
5．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用椭圆定义和题给条件求得PF1,PF2的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项AB；利用双曲线定义和题给条件求得PF1,PF2的值，再利用到焦点距离的取值范围检验，进而判断选项CD.
【详解】对于A选项，，、，，
所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，
解得，不合乎题意，
所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于B选项，，、，，
所以，，
到焦点距离的最小值为，最大值为，
假设存在点，满足，则，
解得，不合乎题意，
所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于C选项，双曲线的方程为，
则双曲线的两个焦点为，、，．
到焦点距离的最小值为，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
可得
所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；
对于D选项，双曲线的标准方程为，
则，，、，所以，，
到焦点距离的最小值为，
若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，
则，解得，
所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”．
故选：C．
6．已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义表示PF1，结合基本不等式求解最小值.
【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
7．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.
【详解】设，
则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，
∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得，
即，
判别式，解得，
当时，，且，
∴等号能成立．∴．
故选：B
8．已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
【答案】A
【分析】先由双曲线的方程求出其实半轴长，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】设双曲线的实半轴长为，
则，所以，
因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，
所以，
故选：A
9．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.
【详解】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
10．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
故选:C.
考点02：双曲线的焦点三角形问题
已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
1.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的
面积.
证明：由余弦定理可知．
由双曲线定义知||，可得
所以
则．
2.如图，有，
3.离心率.
4.若，则有.
5.若，则有.
6.焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为.
7.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
8.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.
结论9.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
证明： 依题意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
结论10.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】因为，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，则，
由余弦定理得：，
化简得，可得，即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：C
12．已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，，设，结合双曲线的定义分别求出对应边，在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解.
【详解】
设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则，
因为，，
所以，
因为，所以，即为线段FQ的中点，
因为为的中点，所以，
所以，，
设，
则，，
，
所以，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
所以，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，所以.
故选：.
13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得到，，由勾股定理逆定理得为直角，在中，由勾股定理得，故，设的外接圆交双曲线的一条渐近线于点Px0,y0，得到方程组，联立得
【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上，
所以．
又，，，所以，
解得，，
所以，所以是直角．
在中，，所以，
解得，
所以，即．
又的外接圆交双曲线的一条渐近线于点Px0,y0，
所以，所以点Px0,y0的坐标满足，解得，
所以，故.
故选：D．
14．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及含有的直角三角形的三边关系，求得之间的关系，进而得解.
【详解】由题意
所以，
所以，，
双曲线得渐近线方程为，即.
故选：B.
15．双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由双曲线定义和题目条件，表达出，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得，故，设，求出直线与的斜率之积为.
【详解】设，则，
由双曲线定义得，，
在中，由余弦定理得
，
解得，
则，，
在中，由余弦定理得
，
解得，则，，
设，则，
将代入得，
则直线与的斜率之积为.
故选：D
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可得的周长为，求得AB，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解.
【详解】由双曲线的定义可得，
两式相加可得，
则的周长为，即，
再由，可得，解得，
由.
故选：A
17．已知双曲线的左，右焦点分别为，以为直径的圆在第一象限与双曲线交于一点，且的面积为4，若双曲线上一点到两条渐近线的距离之积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据双曲线的定义得到，再由得到，的面积得到，求出，设双曲线上一点，求出点到两渐近线的距离，由距离之积为求出、，即可求出离心率.
【详解】设，则由定义可得，即，
又因为为直径，所以，得，
因为的面积为4，所以，即，
由以上三式可得，即，所以.
设双曲线上一点，
则点到渐近线的距离为，
点到另一条渐近线的距离为，
故点到两条渐近线的距离之积为，
因为，即，所以，
又，所以，则，所以双曲线的离心率.
故选：B.
18．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得是直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即可求得离心率.
【详解】
设双曲线右焦点为，连接，
由题意可知关于原点对称，所以，
所以是直角，由，可设，则，即
由双曲线的定义可知：，，
则，，
由是直角得：，
则，解得：m=a，
又由是直角得：，
则，解得：，所以离心率
故选：B.
19．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线的左支交于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别在和利用三角函数的定义和余弦定理，得到关于的等式，解得，再根据离心率公式即可求解.
【详解】因为是的中点，所以，所以为的中点，

因为，所以点到渐近线的距离，
又，所以，
连接，易知，
则由双曲线的定义可知，
在中由余弦定理，得，
整理得，所以双曲线的离心率为，
故选：B
20．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点.
【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为，
为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点，
设的内切圆与分别切于，如图所示，

则根据双曲线的定义及圆的性质可知：，
又，得，故为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为时，
为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），
设的内切圆与分别切于，
可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标.
所以此时的内切圆恒过定点.
故选：B.
考点03：双曲线的简单几何性质
双曲线的几何性质
2.要点理解
(1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点．
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)．
21．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线的焦距
B．的值
C．函数的最小正周期
D．数据的下四分位数
【答案】C
【分析】根据双曲线关系，求，求焦距，判断；运用二倍角变形公式化简，判断；依据正切型函数的最小正周期，代入求解，判断；按照求解百分位数的步骤，直接求解，判断.
【详解】对于，，双曲线的焦距为，故错误；
对于，，故错误；
对于，最小正周期，故正确；
对于，一共有12个数据，，
所以这组数据的下四分位数是从小往大排列，第3个和第4个的平均数，
即，故错误.
故选：C.
22．过双曲线的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线分别与这两条渐近线交于两点，若，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由向量关系可得，再结合三角形面积关系列式计算得解.
【详解】双曲线的渐近线为，令，由对称性不妨令直线垂直于直线，
而，则，由，得，则，
显然，，由，
得，解得，则，
所以该双曲线的焦距为4.
故选：D
23．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为双曲线的右焦点为，
又抛物线的准线方程为，则，即.
故选：C
24．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出抛物线的准线方程列式运算求得的值.
【详解】双曲线的右焦点为，所以抛物线的准线为，
，解得.
故选：D.
25．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意判断，由双曲线方程写出其渐近线方程，比较即得，代入方程即可求得其焦点坐标.
【详解】易知，令，解得，依题有，即，
双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为.
故选：A.
26．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，
且双曲线C方程满足，
故，则C的方程为．
故选：D．
27．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】A
【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【详解】因为该曲线为等轴双曲线，

不妨设该双曲线的方程为，
因为等轴双曲线经过点，
所以，
解得，
则，
所以该双曲线的一个焦点坐标为，
易知该双曲线的一条渐近线方程为，
则点到直线的距离．
故选：A．
28．双曲线和双曲线具有相同的（ ）
A．焦点B．顶点C．渐近线D．离心率
【答案】D
【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得.
【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为、
渐近线方程为、离心率为；
双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为、
渐近线方程为、离心率为；
故其离心率相同.
故选：D.
29．已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题将椭圆与双曲线方程联立求出点坐标，计算出，再由两曲线共焦点得出，最后由双曲线的通径，代入，消去，得到，将值替换并化成的方程分解因式即得.
【详解】
如图，由联立消去可得：，不妨设A(x1,y1),B(x2,y2)，
由题意，，则①；
又因椭圆与双曲线有公共的焦点，故有，即②
将代入可求得利用对称性可得③ ，
将① 、③代入可得，
化简得，将②式代入并化简，，
将代入并化简得，即，
分解因式得：，解得，舍去另两个负值.
故选：D.
30．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】椭圆的焦点为，
依题意可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为.
故选：D
考点04：求双曲线离心率及取值范围
离心率
(1)离心率的意义：e越大，开口越大
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
(2)离心率的求法
①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
31．过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式可以求出|的长，再根据列出等式即可寻找a,b,c的关系，进而可以得到双曲线的离心率.
【详解】由题意，知双曲线的渐近线方程为．
设双曲线的半焦距为，则右焦点到渐近线的距离．
设点，则，即．
又，
所以，
解得．
故选：A．
32．已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知四边形为菱形，从而求得，，再进行计算即可.
【详解】如图，连接交轴于.
根据题意易知点，关于轴对称，所以四边形为菱形，且，
故，且.
双曲线的渐近线方程为，令，得.
在中，，解得，
所以.
故选：.
33．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得到渐近线的距离为，从而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可.
【详解】由题意知，点到渐近线的距离为，
所以，
因为，，所以，
所以，
因为，所以，
得，则，
在中，由正弦定理得，
即，得，
由双曲线的定义知，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，
所以离心率为.
故选：A
34．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义和，得到，结合，得到不等式，又双曲线的离心率大于1，得到答案.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以离心率，又双曲线的离心率大于1，所以．
故选：D．
35．双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】设Px,y，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．
【详解】设Px,y，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：
设F1−c,0、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，得，即直线的斜率为，直线方程为，②
由点Px,y在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故选：C
36．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段的中点N在另一条渐近线上．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用平方关系、商数关系求出，再由得出可得答案.
【详解】因为N，O分别是的中点，所以，
又，
，
所以，
所以，故．
故选：A．
37．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线与双曲线交于，两点，直线y=−b与双曲线交于，两点，若MN=2PQ，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】双曲线方程分别于直线、直线y=−b联立求出MN,PQ，利用MN=2PQ可得答案.
【详解】由y=ax2a2−y2b2=1，得y=ax=−acb，或y=ax=acb，所以MN=2acb，
由y=−bx2a2−y2b2=1，得y=−bx=−2a，或y=−bx=2a，所以PQ=22a，
因为MN=2PQ，所以2acb=2×22a，
整理得c=2b=2c2−a2，得c2a2=43，所以.
故选：C.
38．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可.
【详解】设，，，
因为，则，则，解得
又因为，，则为的中点，所以，
则，在直角三角形中，，
即，化简得，
将代入上式得，
则，
化简得，两边同除得，
解得或1（舍去），则.
故选：A.

39．如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由与双曲线相切，可得，即可得，作轴于点，结合相似三角形的性质可得，计算即可得的值，从而求出离心率.
【详解】设，则，令，则，故，
过点作轴于点，则，
由，轴，故与相似，
故，及，
即.
又，所以，所以，
即，则．
其中双曲线上一点的切线方程，证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由，得，所以，
则在的切线斜率，
所以在点处的切线方程为：，
又有，化简即可得切线方程为：．
故选：B.

40．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由双曲线的对称性可得，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
则
，
即，，所以.
故选：B
考点05：双曲线的中点弦问题
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
41．已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由题设有双曲线渐近线为，，且，求坐标，根据得到齐次方程，即可得渐近线.
【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为，，则直线，
故，可得，故，即，
又三角形BOF为等腰三角形，所以，则，
整理得，即双曲线的渐近线方程为.
故选：B

42．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于两点，且圆与相切于点，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则直线与没有交点
B．若为线段的中点，则离心率
C．不可能为线段AB的中点
D．若的离心率为，到的渐近线的距离为，则
【答案】D
【分析】根据双曲线方程和题中条件，结合各个选项的条件进行判断；
【详解】对于A，此时直线为的一条渐近线，A正确.
对于B，若为线段的中点，则，由双曲线定义可知，即离心率，B正确.
对于C，若为线段AB的中点，则.设Ax1,y1，Bx2,y2，，
联立方程组，消去y得，
所以，，
所以，可知，
即M不可能为线段AB的中点，C正确.
对于D，由，得， .
因为到C的渐近线的距离为，所以，解得，，.
联立方程组，消去得.
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
所以，D错误.
故选：D.
43．在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线与两渐近线方程，得到点坐标，结合的中点为，可得结论．
【详解】
直线的斜率不存在时，应该在轴上，不符合题意，
直线的斜率为0时，两点重合，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线，
双曲线的两条渐近线方程分别为，
联立解得，不妨令，
联立，解得，则，
因为线段的中点为，所以，即，
②式两边分别平方得③，将①代入③并化简可得，
所以离心率.
故选：D．
44．已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.
【详解】由，得的横坐标为c2，设，
则直线的方程为，令，得，即，
所以线段的中点，则，
由，得，则，
即，代入双曲线方程得，
即，整理得，
由，解得.
故选：A
45．在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】设，则由已知可得，设直线的方程为，，将直线方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，可得，再由，是线段的中点，可得，两式结合化简可求出离心率.
【详解】设且，则，
因为，所以，得，
设直线的方程为，，
由，得，
由，得，
所以，
所以，①
，
因为，是线段的中点，
所以，即，化简得，
由①，得，所以，
所以，
所以离心率，
故选：B
46．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知，，设是双曲线E上的一个动点，利用两点间的距离可得，分类讨论可求在处取得最小值，进而可求得椭圆的离心率的范围.
【详解】由题知，，设是双曲线E上的一个动点，∴，即，
∴．
易知最小时，M为E的右顶点，则，
∴当时，在处取得最小值，不符合题意，
故，此时在处取得最小值，符合题意，
故．
故选：B．
47．已知双曲线C：的右焦点为F，B为虚轴上端点.M是中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若垂直于x轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由图，可得点M，N坐标，后由可得，即可得答案.
【详解】如图，由题意可知
注意到，又由题，，则.
因M是中点，则，则.
由题，，则，故.
故选：A.
48．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）

①圆的面积为；
②椭圆的长轴长为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案.
【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的，

即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确；
对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C，
由题意可得M为母线的中点，则,

故椭圆的长轴长为,②正确；
对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点P到底面距离相等，

则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为，
则设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程，得，
设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则，
故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误；
对于④，如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线与底面圆的一个交点为H，

则，则,
设抛物线方程为，则，
即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误，
故正确的命题有2个，
故选：B
49．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为N,M，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.
【详解】因为，为双曲线的左､右焦点，
所以，
因为
所以，又为线段的中点，
所以为线段的中点，且，
又为线段的中点，
所以，
在中，，，
所以，
所以，
因为点在双曲线的右支上，
所以，
故，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
所以，即，
所以，又，
故，
所以，
故选：D.
50．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（ ）
A．B．9C．D．
【答案】B
【分析】设，，，，，结合点P为AB的中点求得，，再代入双曲线方程求得，进而即可求解的值．
【详解】设，，，，，
由点P为AB的中点，得，，
将P点代入双曲线方程可得，化简得，
所以，
故选：B．
考点06：直线与双曲线的综合问题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
51．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x24−y212=1
(2)存在，为定值．
【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程；
（2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为cc>0，
由题意可得，解得，所以的方程为x24−y212=1．
（2）
假设存在常数满足条件，由（1）知，
设直线，
联立方程得，消去，整理可得，
所以，，
．
因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以．
此时，即，所以．
设，将代入抛物线方程，得，
则，
所以
．
所以．
故当时，为定值，所以，当时，为定值．
52．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)(2)或．
【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案．
（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．
53．如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．
(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．
【答案】(1)x24−y212=1(2)直线PQ过定点（4，0），理由见解析(3)
【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又，解得a，b，即可得出答案．
（2）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可得出答案．
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为R1，R2，由正弦定理可得，又，可得，设直线PQ的方程为，与双曲线C的方程，可得，，由韦达定理得m的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案．
【详解】（1）因为离心率，
所以
双曲线的方程为，
将点代入双曲线方程得，
所以，
所以双曲线C的方程为x24−y212=1．
（2）直线PQ过定点，理由如下：
设，
直线PQ的方程为，
联立，
整理得，
则，
直线，
所以，
又N，B，Q三点共线，
所以，即，
即，
即．
因为，
所以，
代入上式得，
所以．所以PQ过定点.
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为
由正弦定理可得，
又，
所以，即．
设直线PQ的方程为x＝my+4，
与C的方程联立，
整理得，
则，
又，即，
解得，
又因为，
所以．
54．已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）借助虚轴定义得，将的坐标代入方程得，即可求解双曲线方程；
（2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜率之积可得直线l中参数关系，即可得其定点.
【详解】（1）因为虚轴长为，所以，
将的坐标代入方程，得，解得，
故的方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为．
当直线的斜率不存在时，设，联立得，
即，
由，得，解得（舍去）或（舍去），
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入的方程得，
则，
由，
可得，
即，
化简得，即，
所以或，
当时，直线的方程为，直线过点，
与条件矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，直线过定点
55．已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率已知，结合顶点坐标的性质，即可求出方程；
（2）设直线的方程为：，利用弦长公式可求出AB与的关系式，同理再设直线的方程为：，也可求出PQ与的关系式，然后利用这两直线的交点在双曲线上，得到，从而可求的最小值.
【详解】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，
因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，
所以，
又由一条渐近线是，可得，所以，
即双曲线的方程为：，
（2）
设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设Ax1,y1,Bx2,y2，则
则，
同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：
，
由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：
，化简得：，
点（异于顶点），所以，即，
则
，
当且仅当，即时，有最小值.
56．已知双曲线：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，求得两点坐标，利用的面积为9，可求，可求椭圆方程；
（2）设，设Ax1,y1，Bx2,y2，可得直线的方程，联立方程组可得，，求得两点坐标，进而求得的坐标，可求得，可证结论.
【详解】（1）依题意，的方程.
当直线斜率不存在时，不妨取，.
因为此时的面积为9，所以，于是
因此.
故的方程.
（2）设，则：，由
得，
因为，所以设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，.
直线：，令，得，故.
同理.
所以
.
所以，故.
因此.
57．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线上点的坐标列方程组求解即可.
（2）当与坐标轴平行时，直线与轴重合；当不与坐标轴平行时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，从而求出，同理可得，求出直线的方程，即可求解直线恒过的定点.
【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，
且点在上，
有解得故双曲线的方程为.
（2）由题意可知不与渐近线平行，
当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合.
当不与坐标轴平行时，左焦点为，
不妨设直线的方程为，联立
消去并整理得，，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则
所以，所以.
又直线互相垂直，用替换，则可得.
当，即时，直线的方程为，直线过；
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，所以直线过.
综上，直线恒过点.

58．设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证为定值．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）借助渐近线定义及点到直线距离公式计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，作商即可得所设参数与纵坐标的关系，借助斜率公式表示出斜率后，消去所设参数即可得证.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故双曲线的方程为；
（2）由双曲线的方程为，则，，
由题意可知直线斜率不为，故可设，Mx1,y1，，
联立，消去可得，
，即，
则，，
则，即，
，，
则
，
即为定值.

59．设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案；
（2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：，解得：，，.
双曲线的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，，A−2,0，
此时，，所以，
当直线的斜率存在时，设Px1,y1，Qx2,y2，因为直线过点，
设直线的方程为：，
联立可得：，
当时，，
，，
，
令，则，令， 在，上单调递减，
又，所以，
所以的取值范围为.
60．已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由及双曲线的定义知，，即，
所以双曲线的方程为：，其渐近线方程为；
（2）由题意可知，作出图形如图所示
设，由题可知，
联立，
所以，
点到直线的距离，
所以，
令，化简得：，解得：或，
所以或.
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焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)