2026年高考数学二轮专题复习19 双曲线方程及其性质（六大考点）试题（含答案）

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考点01：双曲线的定义（妙用）
结论 1： 双曲线第一定义。
结论 2：标准方程 由定义即可得双曲线标准方程。
结论 3：双曲线第二定义。
双曲线（a＞0,b＞）的焦半径公式： ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,.
证明：由第二定义得：M在右支时，
M在左支时，。
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行，若点在的右支上，点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．8
2．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
3．已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．过双曲线x24−y212=1的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
5．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
7．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．12
8．已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（ ）
A．－8B．8C．10D．－10
9．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点02：双曲线的焦点三角形问题
已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
1.如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的
面积.
证明：由余弦定理可知．
由双曲线定义知||，可得
所以
则．
2.如图，有，
3.离心率.
4.若，则有.
5.若，则有.
6.焦半径公式：如图，对于双曲线，，对双曲线，其焦半径的范围为.
7.双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
8.如图，直线与双曲线交于两点，的左右焦点记为，则为平行四边形.
结论9.已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
证明： 依题意，在中，由余弦定理得
，
所以，即.
结论10.如图，过焦点的弦的长为，则的周长为.
11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，直线交双曲线的左支于点．若，，，且的外接圆交双曲线的一条渐近线于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
14．如图，已知为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线得渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
15．双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，.过作直线与双曲线的右支交于，两点，若的周长为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．已知双曲线的左，右焦点分别为，以为直径的圆在第一象限与双曲线交于一点，且的面积为4，若双曲线上一点到两条渐近线的距离之积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
18．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
19．已知分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线的左支交于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（ ）．
A．B．C．D．
考点03：双曲线的简单几何性质
双曲线的几何性质
2.要点理解
(1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点．
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0)．
21．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线的焦距
B．的值
C．函数的最小正周期
D．数据的下四分位数
22．过双曲线的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线分别与这两条渐近线交于两点，若，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．3C．D．4
23．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．B．4C．D．8
24．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A．4B．C．2D．
25．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
26．已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
27．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．2C．4D．
28．双曲线和双曲线具有相同的（ ）
A．焦点B．顶点C．渐近线D．离心率
29．已知椭圆与双曲线有公共焦点，记与在轴上方的两个交点为，，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
30．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点04：求双曲线离心率及取值范围
离心率
(1)离心率的意义：e越大，开口越大
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
(2)离心率的求法
①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
31．过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．已知，分别为双曲线C：的左，右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若，则C的离心率为（ ）
A．3B．C．D．
33．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且与渐近线垂直的直线与双曲线左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
34．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
35．双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
36．已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段的中点N在另一条渐近线上．若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
37．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，直线与双曲线交于，两点，直线y=−b与双曲线交于，两点，若MN=2PQ，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
38．已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
39．如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点，过点作于点，，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
40．设双曲线：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与双曲线C交于A，B两点，，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
考点05：双曲线的中点弦问题
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
41．已知双曲线，过其右焦点作一条直线分别交两条渐近线于两点，若为线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
42．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于两点，且圆与相切于点，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则直线与没有交点
B．若为线段的中点，则离心率
C．不可能为线段AB的中点
D．若的离心率为，到的渐近线的距离为，则
43．在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
44．已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
45．在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点，是线段的中点，是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
46．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
47．已知双曲线C：的右焦点为F，B为虚轴上端点.M是中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若垂直于x轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
48．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ）

①圆的面积为；
②椭圆的长轴长为；
③双曲线两渐近线的夹角正切值为；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个B．2个C．3个D．4个
49．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为N,M，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
50．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（ ）
A．B．9C．D．
考点06：直线与双曲线的综合问题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
51．已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上．
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
52．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
53．如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q．
(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围．
54．已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点.
55．已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
56．已知双曲线：的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线斜率不存在时，的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线斜率存在且不为0时，连接，分别交直线于P，Q两点，设M为线段的中点，证明：.
57．已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.
58．设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证为定值．
59．设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
60．已知双曲线的左､右焦点分别为，点为双曲线上一点，且
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线与双曲线交于两点，且，其中为坐标原点，求的值.
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)