2023高考数学二轮复习专题39 双曲线及其性质（原卷版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题39 双曲线及其性质（原卷版），共34页。

专题39 双曲线及其性质
【考点预测】
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程


图形

A2

焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围


实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率

渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为

点和双曲线
的位置关系


共焦点的双曲线方程


共渐近线的双曲线方程


切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为

焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是

等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【方法技巧与总结】
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义与标准方程
题型二：双曲线方程的充要条件
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式
方向3：利用，其中为焦距长，
方向4：坐标法
方向5：找几何关系，利用余弦定理
方向6：找几何关系，利用正弦定理
方向7：利用基本不等式
方向8：利用渐近线的斜率求离心率
方向9：利用双曲线第三定义
方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
题型七：双曲线的简单几何性质问题
题型八：利用第一定义求解轨迹
题型九：双曲线的渐近线
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
【典例例题】
题型一：双曲线的定义与标准方程
例1．（2022·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（    ）
A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2)
C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2)

【方法技巧与总结】
求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：
（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程.
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.

例3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为________．

例4．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．

例6．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（    ）
A． B．2 C． D．不确定

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例9．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例10．（2022·江苏·高三阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ）
A． B． C． D．

例11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．

例12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（    ）
A． B． C． D．

例14．（2022·全国·高三阶段练习（理））与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例15．（2022·全国·高三专题练习）、是双曲线的两个焦点，抛物线的准线过双曲线的焦点，准线与渐近线交于点，，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B．
C． D．

例16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．

例17．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是；
(2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为；
(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为，实轴长为12；
(4)渐近线方程为，焦点坐标为和．

例18．（2022·全国·高三专题练习（理））根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点．




题型二：双曲线方程的充要条件
例19．（2022·四川内江·模拟预测（理））“”是“为双曲线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【方法技巧与总结】
表示椭圆的充要条件为：；
表示双曲线方程的充要条件为：；
表示圆方程的充要条件为：.
例20．（2022·广东·高三阶段练习）“k<2”是“方程表示双曲线”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

例21．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为，则（    ）
A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4

例22．（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（    ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值

例23．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知曲线C：，则（    ）
A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线
C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线

例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（    ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（    ）
A．23 B．24
C．25 D．26

又|F1F2|＝10，故为直角三角形，
因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
【方法技巧与总结】
对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用.
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.

例27．（2022·全国·高三竞赛）设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________.

例28．（2022·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.

例29．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是________.

例30．（2022·贵州·凯里一中三模（文））已知双曲线：的左､右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.

例31．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的离心率为3，焦点分别为，，点A在双曲线C上．若的周长为14a，则的面积是（    ）
A． B． C． D．

例32．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（    ）
A． B． C． D．

例33．（2022·山西·太原五中模拟预测（文））已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3

题型四：双曲线上两点距离的最值问题
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为  （ ）
A． B． C． D．

= ,当且仅当A,B,共线时取等

【方法技巧与总结】
利用几何意义进行转化.
例35．（2022·黑龙江·漠河市高级中学高三阶段练习（文））已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_____.

例36．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为__________.

例37．（2022·吉林吉林·高三阶段练习（文））已知､为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆的圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离的最小值为____________.

例38．（2022·湖北·一模（理））平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为__________．

例39．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（       ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
例40．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
例41．（2022·浙江·高三专题练习）设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．

例42．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ）
A． B．8 C． D．9

例43．（2022·贵州遵义·一模（文））过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为
A． B． C． D．

例44．（2022·广西桂林·一模（文））设P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m、n，则|m－n|＝(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7

例45．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9

例46．（2022·全国·高三专题练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．

例47．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．

题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用双曲线定义去转换
例48．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．

例49．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．

例50．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．2

例51．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

例52．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例53．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．


例54．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例55．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（    ）
A． B． C． D．

例56．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线与C的左支交于点B，且．设C的离心率为e，则（    ）
A． B．
C． D．

例57．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））过双曲线：（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为点，交的左支于点，若，则的离心率为（    ）
A． B． C．3 D．

方向3：利用，其中为焦距长，
例58．（2022·江苏·高二单元测试）已知、是双曲线与椭圆的公共焦点，点、分别是曲线、在第一、第三象限的交点，四边形的面积为，设双曲线与椭圆的离心率依次为、，则___________.

例59．（2022·重庆八中模拟预测）已知、分别是双曲线的左右焦点，点
在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

例60．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．
C．＋1 D．

又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
例61．（2022·吉林长春·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．

例62．（2022·全国·高三专题练习（理））过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为坐标原点，若为的中点，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

方向4：坐标法
例63．（2022·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.




例64．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.

例65．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.

例66．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.

例67．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点（在同一象限内），且满足． 联结，满足． 若该双曲线的离心率为，求的值_______．

例68．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例69．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设点Р为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到的焦点距离为，则双曲线的离心率为（        ）
A． B． C． D．

例70．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例71．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．4

方向5：找几何关系，利用余弦定理
例72．（2022·全国·模拟预测（文））设双曲线C：的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线与双曲线C的右支交于点A．若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．3

例73．（2022·安徽省舒城中学高三阶段练习（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．
C． D．

例74．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B．
C． D．

例75．（2022·山西·模拟预测（文））已知为双曲线的左，右焦点，直线与双曲线的左支交于点A，且，则双曲线的离心率为（    ）
A．2 B． C． D．

例76．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（    ）
A． B．2
C． D．

例77．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．

方向6：找几何关系，利用正弦定理
例78．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （       ）
A． B． C． D．2

例79．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

例80．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

方向7：利用基本不等式
例81．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．

例82．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．

例83．（2022·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．


例84．（2022·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

方向8：利用渐近线的斜率求离心率
例85．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例86．（2022·四川·模拟预测（文））已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例87．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））若双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

例88．（2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在
的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

方向9：利用双曲线第三定义
例89．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线：的左焦点为，过点作的一条渐近线的平行线交于点，交另一条渐近线于点.若，则下列说法正确的是（    ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点到两渐近线的距离的乘积为
D．为坐标原点，则

例90．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．

例91．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3

例92．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例93．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线（，
）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．

例94．（多选题）（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（    ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2

例95．（2022·云南大理·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围
例96．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.

例97．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．

例98．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为
，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例99．（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为､，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

例100．（2022·湖南·衡阳市八中一模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：双曲线的简单几何性质问题
例101．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．
例102．（多选题）（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4

例103．（多选题）（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线经过点，则（    ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是

题型八：利用第一定义求解轨迹
例104．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
例105．（2022·全国·高三专题练习）已知，是的两个顶点，且，则顶点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．

例106．（2022·全国·高三专题练习（理））一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（    ）
A．（） B．（）
C． D．

例107．（2022·重庆九龙坡·二模）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．

例108．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

例109．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（    ）
A．x＝0 B．
C． D．或x＝0

例110．（2022·江苏·南京市第二十九中学高三开学考试）已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．(x≤－1)

例111．（2022·全国·高三专题练习（文））已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（    ）
A． B．
C． D．

例112．（2022·全国·高三专题练习）已知的顶点A(－5，0)，B(5，0)，内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是（    ）
A． B．
C．－＝1 D．－=1

题型九：双曲线的渐近线
例113．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长.
例114．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．

例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知左、右焦点分别为，的双曲线上一点到左焦点的距离为，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为 （    ）
A． B．
C． D．

例116．（2022·全国·高三专题练习）若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（    ）
A． B． C． D．

例117．（2022·全国·高三专题练习（文））已知分别是双曲线的左、右焦点，的坐标为，若双曲线的右支上有一点，且满足
，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．

例118．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．

例119．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为________.

例120．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线E：的离心率为，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是________.

例121．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________.

例122．（2022·重庆·高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P在双曲线上，若，，则此双曲线的渐近线方程为______.

题型十：共焦点的椭圆与双曲线
例123．（2022·全国·高三专题练习）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为，，记它们其中的一个交点为P，且，则该椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为（    ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】

椭圆离心率与双曲线离心率必定满足的关系式为：.
例124．（2022·福建莆田·二模（文））已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且在第一象限内相交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．

例125．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知是椭圆（）和双曲线（）的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值为

例126．（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（       ）
A． B． C． D．

例127．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若
，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（    ）
A． B．
C． D．

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山西大附中高三阶段练习）若直线与双曲线：的一条渐近线平行；则的值为（    ）
A． B． C．4 D．16
2．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与的右支交于两点，的平分线分别交轴于两点，为坐标原点.若成等比数列，则的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
4．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ）
A．3 B． C． D．5
5．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．
7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
8．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知直线与双曲线无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（    ）．
A． B． C． D．
9．（2022·安徽·高三开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（    ）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为 D．为
二、多选题
10．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（    ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（    ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
12．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为________.
14．（2022·全国·高三专题练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为________.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，已知点在双曲线右支上且在第一象限，点为三角形的内心，则________.
四、解答题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.




17．（2022·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.




18．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．




19．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．