考点13 数列综合研究通项及求和-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案）

这是一份考点13 数列综合研究通项及求和-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案），共9页。试卷主要包含了已知数列的前n项和为，若，，则，设为数列的前项和，若，则，已知等比数列的前项和为，且.，已知数列的前n项和为，且，.，数列的前n项和记为，已知等内容，欢迎下载使用。

考点01：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
1．数列的前n项和满足，若，则的值是（ ）
A．B．C．6D．7
2．已知数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．-3B．3C．-2D．2
3．设为数列的前项和，若，则（ ）
A．4B．8C．D．
4．已知数列的前n项和满足，则 .
5．已知数列的前三项依次为的前项和，则 ．
6．已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 ．
7．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
8．设数列的前n项和满足且成等差数列
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求．
9．已知数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
10．数列的前n项和记为，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的和．
(3)若，则为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．
考点02：同除以指数求通项
递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
11．数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
12．已知数列满足，若，，则 ；若，，则 .
13．各项均正的数列满足，则等于
14．数列满足，则数列的通项公式为 .
15．记数列的前项和为，若，则 .
16．已知数列的前项的和为且满足，数列是两个等差数列与的公共项组成的新数列.求出数列，的通项公式；
17．已知数列中，，求数列的通项公式；
18．设数列的前项和为．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求及．
19．已知列满足，且，．
（1）设，证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
20．已知数列满足，.求数列的通项公式.
考点03：叠加法与叠乘法求通项
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
21．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ．
22．已知数列满足，，则 ， .
23．已知数列{an}满足，a1＝1，则a2 023＝
25．数列 满足，则 .
26．已知正项数列满足，则 .
27．已知数列满足，，，则 ．
28．数列中，，且，则等于 .
29．在数列中，已知，且，则 ．
30．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
考点04：构造数列法求通项
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
31．已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
32．已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 .
33．已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 .
34．在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ．
35．已知数列的首项，且，则 .
36．在数列中，，且，则的通项公式为 ．
37．在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 .
38．记数列的前项和为，若，则 .
39．已知数列的前项和为，满足，则 ．
40．已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 .
41．已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为（ ）
A．B．C．D．
42． （ ）
A．B．C．D．
43．数列的前n项和等于（ ）．
A．B．
C．D．
44．已知数列中，，.
(1)证明数列为等差数列，并求；
(2)求的前项和.
45．已知数列的首项为，且满足.
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求.
46．数列满足，（）．
(1)计算，，猜想数列的通项公式并证明；
(2)求数列的前n项和；
.47．已知数列满足，，且对，都有．
(1)设，证明数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式．
(3)求数列的前n项和．
48．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
49．已知数列.
(1)求；
(2)令为数列的前项和，求.
50．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
考点06：裂项相消求和
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
积累裂项模型：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
51．若数列满足（且），，则（ ）
A．B．C．D．
52．数列满足，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
53．数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
54．已知数列满足，若，则的前2024项和为（ ）
A．B．C．D．
55．数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
56．已知数列1，，，…，，…，其前n项和为，则正整数n的值为（ ）．
A．6B．8C．9D．10
57．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5B．6C．7D．8
58．数列中，，，则（ ）
A．51B．40C．41D．50
59．已知是等差数列，且，，则（ ）
A．15B．26C．28D．32
60．在各项均不相等的等差数列中，，且等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
考点07：分组求和
分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
61．已知各项均为正数的数列的前n项和为，，，，则（ ）
A．511B．61C．93D．125
62．记数列的前n项和为，若，则（ ）
A．301B．101C．D．
63．在数列中，，且，则其前项的和为（ ）
A．841B．421C．840D．420
64．记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590B．602C．630D．650
65．设数列满足．设为数列的前项的和，则（ ）
A．110B．120C．288D．306
66．设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则（ ）
A．1011B．1022C．1033D．1044
67．在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ）
A．2045B．2046C．4093D．4094
68．已知数列满足，则其前9项和 .
69．已知数列满足，且前12项和为134，则 ．
70．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
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