考点07 三角函数的运算-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案）

这是一份考点07 三角函数的运算-2026年高考数学二轮考点复习试题（含答案），共9页。

考点01：任意角与弧度制
区域角的求解遵循以下步骤：
第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内）
第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域
第三步：若阴影区域为射线即：
若阴影区域为直线即：
区域角是指终边在坐标系内的某个区域内的角。
表示区域角的3个步骤：
（1）先逆时针的方向找到区域的起始和终止的边界；
（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简区间，其中；
（3）起始、终止边界对应角，再加上的整数倍，即得区间角集合。
由已知角确定其他角所在象限
1、已知角终边所在的象限，确定其他角终边所在的象限，常依据角的范围得到所求角的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉终边在坐标轴上的情况。
2、已知角所在象限，要确定所在象限，由两种方法：
（1）用不等式表示出角的范围，然后对的取值分情况讨论：被整除，被除余1，被除余2，……，从而得出结论；
（2）作出各个象限的从原点出发的等分射线，它们与坐标轴把周角分成个区域。从轴的非负半轴起，按逆时针方向把这个区域以此循环标上1,2,3,4。标号为几的区域，就是根据角终边所在的象限确定角的终边所在的区域。如此，角所在的区域就可以由标号区域所在的象限直观的看出。
3、已知角终边所在的象限，确定终边所在的象限，可依据角的范围求出的范围，在直接转化为终边相同的角即可。注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况。
1．在平面直角坐标系中，若角与的终边关于轴对称，则角与之间的关系满足（ ）.
A．B．
C．D．
2．下列与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
4．已知角的终边经过点，则是（ ）
A．第一或第三象限角B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角D．第三或第四象限角
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
6．《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若向量，，满足，，则
B．化成弧度数为
C．若向量，满足，，，则
D．在时刻，时针与分针所夹的锐角为，则
9．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（ ）
A．高为B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为D．体积为
10．如图，正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．在底面内（包括边界）运动，若//平面，则的轨迹长度为
B．在底面内（包括边界）运动，若直线与平面所成角为，则的轨迹长度为
C．以为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
D．以为球心，为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为
考点02：扇形的弧长及面积公式
弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
11．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）

A．2B．1C．D．
13．圆被直线所截得劣弧的弧长为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
15．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
16．下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
17．如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，．若，则下列说法正确的是（ ）

A．当时，的面积为
B．当时，扇形的面积为
C．当时，四边形的面积为
D．四边形面积的最大值为1
18．已知正四面体的棱长为，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为 ．
19．下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
20．已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为.
(1)如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小；
(2)如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近）
考点03：同角三角函数基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；
（2）是的简写；
（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
同角三角函数基本关系式的变形
1、平方关系式的变形：
，，
2、商数关系式的变形
，．
诱导公式
诱导公式一：
，，，其中
诱导公式二：
，，，其中
诱导公式三：
，，，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
（4）；．
诱导公式的记忆
诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．
诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．
因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．
用诱导公式进行化简时的注意点：
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数．
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．
21．已知，则（ ）
A．B．C．D．
22．已知，则（ ）
A．B．C．D．
23．若角满足，则（ ）
A．B．C．D．
24．已知，且 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．7
25．已知，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
26．若，则（ ）
A．B．C．D．
27．已知，则 ．
28．已知 ，则 .
29．已知，且，则 ．
30．已知，且．
(1)求，的值；
(2)求的值．
考点04：齐次式化简求值
①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值；
②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值．
31．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
32．已知，则（ ）
A．B．C．D．
33．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
34．若，则 .
35．已知，则 .
36．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上．
(1)求的值；
(2)若，，，求的值．
37．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
38．已知.求：
(1)的值；
(2)求的值.
39．已知，
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．
40．已知，．
(1)求和的值；
(2)若向量，，证明：．
考点05：和、差、倍角的化简与求值
两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．
两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
（1）公式中的都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
两角和与差的正切函数
（1）公式成立的条件是：，或，其中；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
41．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
42．已知，则（ ）
A．B．C．D．
43．已知，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
44．已知，则（ ）
A．B．C．D．
45．若，则（ ）
A．B．C．D．
46．的值可能为（ ）
A．B．C．1D．3
47．若，的化简结果为 .
48．已知，则 .
49．已知锐角满足，则 ．
50．设复数，为虚数单位，且，若，则 ．
考点06： 辅助角公式的妙用
形如：
第一步：
第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.
第三步：的求算，只需在第一象限标明点寻找夹角即可达到秒杀的境界.
注意：若果，则需提负号，继续遵循以上步骤
51．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．若是偶函数，则，
D．在区间上的值域为
52．已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
53．已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
54．已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A．11B．5C．9D．7
55．函数在上的最大值是 ．
56．已知，，则的值域为 .
57．已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则 ．
58．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最大值，以及相应的值.
59．已知实数，设函数，且．
(1)求实数，并写出的单调递减区间；
(2)若为函数的一个零点，求．
60．已知函数.
(1)求函数的对称中心及不等式的解集；
(2)已知，求的值.
考点07：给值求值模型
针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）
第一步：将目标角和已知角全拿出来
第二步：通过加减乘消去或
第三步：用已知角代替目标角
第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理
61．已知，，且，，则（ ）
A．或B．或C．D．
62．已知，则（ ）
A．B．C．D．
63．已知，，则（）
A．B．C．D．
64．已知 ，则的值为（ ）
A．B．C．D．
65．若，则（ ）
A．B．C．D．
66．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
67．已知，则（ ）
A．B．C．D．
68．已知，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
69．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
70．已知角，满足，，且，.
(1)求的值；
(2)求的大小.
考点08：给角求值模型
记住常见数据：
71．计算：（ ）
A．B．C．D．
72．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
73．的值为（ ）
A．B．C．D．
74．（ ）
A．B．C．D．
75．如图，某时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
76． 的值为（ ）
A．B．C．D．
77．若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
78．（ ）
A．B．C．D．
79．（ ）
A．B．C．D．
80．求值：（ ）
A．1B．C．D．
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