专题02 分式方程及其应用（六大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习 考点强化讲与练（含解析）

这是一份专题02 分式方程及其应用（六大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习 考点强化讲与练（含解析），共13页。试卷主要包含了已知方程，有下列方程，关于x的方程，下列方程不是分式方程的是，下列关于x的方程中，22x−1=44x2−1，解下列分式方程等内容，欢迎下载使用。
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题：速度=路程时间②工程问题：工作效率=工作总量工作时间（工作总量设为1）③销售问题：数量=总价单价
典例1：
1．已知方程：①x5=2；②5x=2；③y=23x；④1+x5+x=12；⑤y+1=2y；⑥1+3(x−2)=7−x，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤B．②③④C．②④⑤D．②④
【变式1】
2．有下列方程：
①23x2=1；②2π−x2=1；③23x=x；④1x−2+3=x−1x−2；⑤1x=2；⑥2x−3y=0；⑦x+12−3=2x7；⑧x+1x−2+3；⑨3x−2=5x，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
【变式2】
3．下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）
①ax+b2=5；②14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m−xa；④2x2x−1=2x；⑤1+1x=2−3x；⑥a+bx=a+ba；⑦1a−1x=1b−bx；⑧x−ba=2+x+ba；⑨x−nx+m+x+mx−n=2．
【变式3】
4．关于x的方程：①x2−x−13=6；②x900=500x−30；③x3+1=32x；④a2x=1x；⑤320x−400x=4；⑥xa=35−x，分式方程有 (填序号)．
【变式4】
5．下列方程不是分式方程的是（ ）
A．1x+x=2+3xB．x2x+3= 45
C．xπ− x+13=4D．1x−5+42x+3=1
【变式5】
6．下列关于x的方程中（1）1x=1；（2）2x+13=1+1−3x4；（3）xb+xb=1；（4）xa−3=a+4；（5）2x+3yπ+1=0，其中是分式方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
典例2：
7．（1）22x−1=44x2−1
（2）2xx+3+1=72x+6
【变式1】
8．习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
（1）分别写出习题1，习题2的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
（2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【变式2】
9．解下列分式方程：
（1）xx+1=2x3x+3+1；
（2）2x−2−4x2−4=1x+2
【变式3】
10．“a bc d”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a bc d=ad−bc，例如：1 23 4=1×4−2×3=−2．
（1）计算a+b a−b12a2b 12a2b；
（2）求等式2 111−x 1x−1=1中x的值．
【变式4】
11．解分式方程．
（1）9x−73x−2−1=4x−52−3x
（2）xx+3−3x2−9=1．
【变式5】
12．已知P=2x2−4+xx2−4,Q=1x+2−1x−2．
（1）分别化简P和Q；
（2）若P=Q，求x的值．
典例3：
13．解方程：
已知关于x的方程：x+1x−3−xx+2=2m−xx2−x−6的解是正数，求m的取值范围
【变式1】
14．关于x的分式方程5−xx+2=k(x−1)(x+2)−1的解为非负数，求k的取值范围．
【变式2】
15．关于x的分式方程2x−mx−1=3的解是正数，求满足条件的整数m的最大值．
【变式3】
16．关于x的分式方程3−71−x=mxx−1．
（1）若m=3，解分式方程；
（2）若这个方程的解为x=2，求m的值；
【变式4】
17．已知关于x的分式方程3x−1x+1−mx+1=1．
（1）若该方程的解为x=3，求m的值；
（2）若此方程的解为负数，求m的取值范围．
【变式5】
18．（1）解方程：41−x2=1−x+1x−1．
（2）关于x的分式方程1x−2−m2−x=1的解为正数，则m的取值范围
典例4：
19．已知，关于x的方程：3x+1+6x−1=mxx+1x−1．
（1）若方程有增根，求m的取值；
（2）若方程无解，求m的取值；
（3）若方程的解为整数，求整数m的值．
【变式1】
20．已知关于x的分式方程x+ax−2−5x=1.
（1）若分式方程的根是x=5，求a的值。
（2）若分式方程有增根，求a的值。
（3）若分式方程无解，求a的值。
【变式2】
21．关于x的方程m+2x+2+mx−1=1−mx+2x−1．
（1）m为何值时，方程有增根？
（2）m为何值时，方程无解？
【变式3】
22．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程ax−4=1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足____．
（1）请回答：横线填什么 ．
完成下列问题：
（2）已知关于x的方程mx−3−x3−x=2的解为非负数，求m的取值范围；
（3）若关于x的方程3−2xx−3+nx−2x−3=−1无解，求n的值．
【变式4】
23．在解分式方程时，我们通常会通过去分母来简化方程，这一步就需要在等式两边同时乘以最简公分母．然而，在这个过程中，我们无法确定所乘的最简公分母是否为0．这就可能导致未知数的取值范围被不恰当地扩大．如果去分母后得到的整式方程的某个解，使得原分式方程的最简公分母为0，那么这个解就是增根．虽然增根满足整式方程，但它并不满足原分式方程．
（1）解分式方程1−xx−2+2=12−x时产生了增根，这个增根是： ；
（2）若关于x的方程x−mx−2−5x=1有增根，求m的值： ；
（3）已知整数m使关于x的方程mx1−x−1x−1=3有整数解，求m的值．
【变式5】
24．学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程ax−4=1的解为正数，求a的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x的方程，得到方程的解为x=a+4，由题目可得a+4>0，所以a>−4，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ；
（2）已知关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3的解为非负数，求m的取值范围；
（3）若关于x的方程3−2xx−3+nx−2x−3=−1无解，求n的值．
典例5：
25．若整数a使关于x的不等式组x−12≤11+x34x−a>x+1，有且只有45个整数解，且使关于y的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，求整数a的值．
【变式1】
26．若关于x的不等式组2x+33≥x−16x−6>a−4有且只有五个整数解，且关于y的分式方程3yy−2−a−102−y=1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为多少？
【变式2】
27．关于x的分式方程ax−3x−2+1=3x−12−x的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组3y−22≤y−1y+3>a有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？
【变式3】
28．若数m使关于y的不等式组2y+1>02(y+2m)≤5m至少有三个整数解，且使关于x的分式方程8−mx2−x−2=xx−2有整数解，求所有满足条件的整数m的值的和．
【变式4】
29．若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组2y−1≥3y−2136y−23a≤32a的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和．
【变式5】
30．若数a使关于x的不等式组x−12x+a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+ay−1+2a1−y=2的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
典例6：
31．野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：
（1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值．
（2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元．
【变式1】
32．一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，用900元购买圆规，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍．
（1）求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？
（2）实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了16，每个圆规的售价便宜了m10m0，
解得m>1，
∵分式方程有解，
∴x−3x+2≠0，
∴2m−27−3≠0，2m−27+2≠0，
∴m≠232，m≠−6，
∴m的取值范围为：m>1且m≠232．
【解析】【分析】先把m当作常数解关于x的分式方程，再由原分式方程的解为正结合分式有意义的条件可得关于m的不等式组并求解即可．
14．【答案】解：方程两边同时乘以(x−1)(x+2)得：(5−x)(x−1)=k−(x−1)(x+2)，
即6x−x2−5=k−x2−x+2，
移项得−x2+x2+6x+x=2+5+k，
合并同类项得7x=7+k，
系数化为1得x=7+k7
根据题意得：7+k7≥0且7+k7≠−2，7+k7≠1，
解得：k≥−7且k≠0．
【解析】【分析】先把k当作常数解关于x的分式方程，再由解为非负数结合分式有意义的条件可得关于k的不等式组并求解即可．
15．【答案】解：解2x−mx−1=3得，
x=3−m，
∴x=3−m，
∵关于x的分式方程2x−mx−1=3的解是正数，
∴3−m>0，且x−1≠0，
解得：mx+1
解不等式①得：x≤25
解不等式②得：x>a+13
∴不等式组的解集为：a+13