专题02 分式方程及其应用（知识串讲+6大考点）-2024年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）

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知识一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题：②工程问题：（工作总量设为1）③销售问题：
考点一遍过
考点1：分式方程的定义
典例1：（23·24上·全国·课时练习）下列式子：①x−12=1；②xx−2=x+23x−1；③23x+12x；④x2x=8；⑤xπ−1=1；⑥xa−2=xa≠0．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1】（22·23下·沈阳·期中）在①x2−x+1x，②1a−3=a+4，③x2+5x=6，④2xx−3=1中，其中关于x的分式方程的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①x2−x+1x，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②1a−3=a+4是关于a的分式方程，故②错误，不符合题意；
③x2+5x=6，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④2xx−3=1，是关于x的分式方程，故④正确，符合题意；
∴关于x的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【变式2】（22·23下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（ ）
A．xx+1+x+43B．x4+x−52=0
C．34x−2=43xD．1x+2+1=0
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键．
【变式3】（22·23下·上海·专题练习）已知方程：①1−9x2x2=0，②x2+x22=1，③x+2x+2=2+2x−2，④(x+45)(x−6)=−1．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①1−9x2x2=0，是分式方程；
②x2+x22=1，是整式方程；
③x+2x+2=2+2x−2，是分式方程；
④(x+45)(x−6)=−1，是整式方程，
则分式方程的个数是
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
【变式4】（22·23下·全国·单元测试）下列式子中是分式方程的是（ ）
A．12x−1+22x+1B．x2−13=52
C．2xx−1+1x+1=1D．x−32+x=x+43
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】A、12x−1+22x+1不是等式，故不是分式方程；
B、分母中不含未知数，也不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，是分式方程；
D、分母中不含未知数，也不是分式方程；
故选：C．
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
【变式5】（21·22下·上海·期中）已知方程：①1−9x2x2=0；②xx+x22=1③x+2x−2=2+2x−2；④x+45x−6=−1．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
考点2：解分式方程
典例2：（23·24上·烟台·期中）解分式方程：9x−73x−2−1=4x−52−3x
【答案】x=1
【分析】方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：去分母得：9x−7−(3x−2)=−(4x−5)，
解得x=1，
检验，当x=1时，3x−2≠0，
所以x=1是原方程的根．
【变式1】（23·24上·重庆·期中）解方程：
(1)7x−2+1=x−12−x
(2)x+1x−1+x+1x2−1=1
【答案】(1)x=−2
(2)无解
【分析】根据解分式方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项，x的系数化为1，最后对所求的根进行检验即可．
【详解】（1）解：7x−2+1=x−12−x，
去分母得：7+x−2=1−x，
解得：x=−2，
检验：当x=−2时，x−2≠0，
∴x=−2是原方程的解；
（2）x+1x−1+x+1x2−1=1，
去分母得：x+12+x+1=x2−1，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，x2−1=0，是增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．
【变式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程5x−2+1=x−12−x
（2）化简：(a2a−2−a−2)÷2a2−4
【答案】（1）x=−1；（2）2a+4
【分析】（1）利用分式方程的解法步骤求解即可；
（2）利用分式的混合运算法则化简分式即可．
【详解】解：（1）两边同时乘以x−2得：5+x−2=1−x，
移项得：x+x=1+2−5，
合并同类项得： 2x=−2，
解得x=−1，
经检验x=−1是原方程的解，
∴原方程的解为x=−1；
（2）原式＝a2a−2−(a+2)÷2a−2a+2
=a2−a+2a−2a−2×a−2a−22
=a2−a2+4a−2×a−2a+22
=4×a+22
=2a+2
=2a+4．
【点睛】本题考查解分式方程、分式的混合运算，熟练掌握分式方程的解法步骤，掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．
【变式3】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：|−3|−20160+14−1−(2)2
（2）解方程：3x2−3x−x3−x=1．
【答案】（1）4；（2）x=−1
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式计算即可；
（2）先在等式两边同乘x2−3x，再移项即可求解；
【详解】（1）解：原式=3−1+4−2
=4
（2）解： 3+x2=x2−3x
−3x=3
x=−1
检验：将x=−1代入3−x得4，
故x=−1是原方程的根．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解分式方程，掌握相关知识及求解步骤是解题的关键．
【变式4】（22·23下·平顶山·阶段练习）计算：
(1)分解因式：x2−y2+2y−1；
(2)解方程：x4x−4=2x−1+34．
【答案】(1)(x+y−1)(x−y+1)
(2)x=−52
【分析】（1）先利用完全平方差公式将后三项化为(y−1)2，再整体运用平方差公式分解即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：原式=x2−(y2−2y+1)
=x2−(y−1)2
=(x+y−1)(x−y+1)
（2）去分母，得x=8+3(x−1)
去括号，得x=8+3x−3
移项、合并得2x=−5
系数化为1，得x=−52
经检验x=−52是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x=−52．
【点睛】本题考查解分式方程，以及分组分解法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【变式5】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：m+2−5m−2÷m−32m−4
（2）解方程：x−3x−2+1=32−x
【答案】（1）2m+6（2）x=1
【分析】（1）根据分式的加减乘除运算法则进行化简即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）m+2−5m−2÷m−32m−4
=m+2m−2−5m−2⋅2m−4m−3
=m2−9m−2⋅2m−2m−3
=m+3m−3m−2⋅2m−2m−3
=2m+3
=2m+6；
（2）x−3x−2+1=32−x
去分母得，x−3+x−2=−3，
2x=2，
解得，x=1，
检验：当x=1时，x−2=1−2=−1≠0，
∴x=1是原方程的解．
【点睛】本题考查分式的化简和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
考点3：分式方程解的应用——求参数
典例3：（23·24上·江北·期中）如果关于x的分式方程1−ax−2+2=12−x有整数解，且关于x的不等式组4x≥3(x−1)x+2x−12