【原创精品】吉林省2025-2026学年度高一下学期第一次月考模拟测试卷 数学试卷 （含答案）

这是一份【原创精品】吉林省2025-2026学年度高一下学期第一次月考模拟测试卷 数学试卷 （含答案），共30页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，，
则B的大小为（ ）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则（ ）
A．B．C．D．
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)（ ）
A．110米B．112米C．220米D．224米
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（ ）
A．B．C．2D．4
5．已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
7．的内角的对边分别为，已知，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知分别为的三个内角的对边，已知，，，
若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，
则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
11．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，则的周长取最大值时面积为（ ）
A．B．C．D．4
12．已知的内角、、满足，面积满足，记、、分别为、、所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．如图，在中，，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则 ．

14．设锐角三个内角所对的边分别为，若
，，则的取值范围为__________．
15．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，
设，，则的面积为________．

16．已知是锐角三角形，分别是的对边．若，则的取值范围是_________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，，，且a，b是方程的两根，．
（1）求角的度数；
（2）求的长．















18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）设D为AC上的点，BD平分，且，求．


















19．（12分）用向量的方法证明：
（1）正弦定理；
（2）余弦定理．














20．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围．


















21．（12分）已知锐角面积为，，，所对边分别是，，，，平分线相交于点，且．求：
（1）的大小；
（2）周长的最大值．

















22．（12分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．
（1）证明：；
（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．






数学 答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】由正弦定理得，即，解得，
又B为三角形内角，所以或，
又因为a>b，所以A>B，即，故选A．
2．【答案】A
【解析】由余弦定理得，
故，
所以，故选A．
3．【答案】A
【解析】如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，
则由已知得，解得(米)，
从选项来看110米最接近，故选A．

4．【答案】C
【解析】，解得，
∴，解得，
∴，解得，本题选择C选项．
5．【答案】C
【解析】新三角形的三边分别为，，，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角．
所以，即，
整理可得，解得．
因为，，均为三角形的三边长，且最短边长为，最长边长为，
所以，
综上可得，故C正确．
6．【答案】D
【解析】．
把代入余弦定理求得，即，因此，
从而，为等边三角形，故选D．
7．【答案】B
【解析】根据正弦定理有，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，故选B．
8．【答案】A
【解析】在中，由，，，则，
要使得三角形有两个，则满足，即，解得，
即实数的取值范围是，故选A．
9．【答案】A
【解析】∵，∴，∴．
又，
∴，
∴．
又∵在锐角中，，∴，
当且仅当时取等号，
∴，故选A．
10．【答案】C
【解析】由题，三角形的面积，，
由余弦定理，
可得，
所以，
所以的最大值为4，故选C．
11．【答案】C
【解析】∵，∴，
由，则，∴，
∵为锐角三角形，∴．
由正弦定理，得，∴，，
所以
，
∴当，即为等边三角形时，周长取得最大值，此时面积为，
故选C．
12．【答案】A
【解析】的内角、、满足，
即，
即，
即，
即，
即，，
设的外接圆半径为，则，
，，
，C、D选项不一定正确；
对于A选项，由于，，A选项正确；
对于B选项，，即成立，但不一定成立，
故选A．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】在中，，解得，
又，所以，故答案为．
14．【答案】
【解析】由及余弦定理可得，即，
所以．
又为锐角三角形，所以．
由正弦定理可得．
由且，可得，所以，
所以，即，
故的取值范围为，故答案为．
15．【答案】
【解析】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以．
在三角形中，．
设，则．
由余弦定理得，解得．
所以三角形边长为，面积为，故答案为．
16．【答案】
【解析】，，，
又是锐角三角形，，解得，
由正弦定理得，
由，得，即，
令，令，
则在上单调递增，
，即的范围是，
故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题设可得，即，
而为三角形内角，故．
（2）由韦达定理可得，，
由余弦定理可得，
故．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由正弦定理得，
，
又，，
，
，，，．
（2）由（1）知，因为平分，，
在中，，
由余弦定理得，
即，即，
，
又，，
又，
．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）如图（）所示，过顶点作对边的高，
则，即．
∴．
如图（）所示，如果为钝角，
有，

∴．
上述关系对直角三角形显然成立[图（）]
∴．
（2）在中，，
∴，
即．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，整理可得，
由余弦定理可得，故，，
所以．
（2）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，所以，
故，
所以取值范围为．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
故．
（2）设周长为，，则，
∵、分别是、的平分线，，∴，
由正弦定理得，
所以，，
所以，，
∵，∴，
当时，周长的最大值为．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：由，即，
，，，
，，
，，
，
，，
，
，B，，．
（2），，．
且，，
，
为锐角三角形，，
，，
为增函数，．