2025年河南省驻马店市上蔡县九年级中考一模数学试卷（解析版）-

这是一份2025年河南省驻马店市上蔡县九年级中考一模数学试卷（解析版）-，共17页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．请将正确答案的序号填在括号内．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解，
故选：A．
2. 2023年8月29日华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟处理器， 这款处理器是华为首款采用 制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为( )
A. B. mC. mD. m
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：用科学记数法表示为m，
故选D．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、分式的乘方法则计算，判断即可．
【详解】解：A、，运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
4. 课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为( )
因为，
所以(依据：______)
A. 平角的定义B. 同角的余角相等C. 同角的补角相等D. 同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角、邻补角，理解对顶角、邻补角的定义是正确判断的关键．根据“同角的补角相等”进行判断即可．
【详解】解：因为，
所以(依据：同角的补角相等)
故选：C．
5. 小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
6. 将一个六角螺母按如图所示的方式摆放，则不属于它的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了视图的知识；解题的关键是熟练掌握视图的性质，从而完成求解．根据立体图形视图的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：六角螺母的主视图是，
左视图是，
俯视图是，
因此C选项中的图不属于它的三视图，
故选：C．
7. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（）
A. 0B. 0.14C. 0.5D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
【详解】∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S−S1＝−3=0.14，
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为．
故选：A．
9. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随增大而增大．其中结论正确的是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象，性质，增减性，对称性，顶点，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据轴对称的性质求得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①正确；当时，值为正，可判断②正确；根据对称轴为直线，且抛物线过原点，求得，，可判断③错误；求出顶点坐标，判断④正确；利用二次函数的增减性，可判断⑤错误．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，结论①正确；
抛物线的对称轴为直线，
当和时，值相同，且均为正，
，结论②正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线过原点，
，，
，，
，结论③错误；
当时，，
抛物线的顶点坐标为，结论④正确；
观察函数图象可知：当时，随增大而增大，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故选：B．
10. 如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是1/秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象得到，结合矩形性质和三角形面积公式得到，利用勾股定理和函数图象得到，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当时，设，利用待定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题．
【详解】解：①由图（2）知，当时，，
由题知，当时，，
四边形为矩形，
，
与间距为，
，
，
，
故，即①正确；
②，故②错误；
③当时，设，
过点，
，解得，
，故③错误；
④当秒时，点在上，此时，则，
，，，
，故④正确；
综上所述，正确的结论是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若代数式无意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式和分式无意义的条件，根据二次根式和分式无意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式无意义的条件．
【详解】解：∵代数式无意义，
∴，解得：，
故答案为：．
12. 新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．
【详解】解：解方程，可得，
∵是“倍根方程”，
∴当是6 2倍时，即有，
当6是的 2 倍时，即有．
故答案为：或．
13. 如图，图1是一个边长为2，有一个内角为的菱形，我们称之为原始菱形，将图1中的菱形沿水平方向向右平移个单位，得到图2，将图2中的原始菱形沿水平方向平移个单位，得到图3，依此类推…
若经过若干次平移后，图的面积为，则______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了图形的平移，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题关键是学会探究规律的方法，学会利用参数构建方程解决问题．连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，根据平移可知：，，，证明，得出，证明，，求出，得出图2长面积为，同理得出图3的面积为，图4的面积为，总结得出一般规律：图n的面积为，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据平移可知：，，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴为的中点，为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴图2的面积为：，
同理可得：图3的面积为，
图4的面积为，
图n的面积为，
当时，
解得：．
故答案为：17．
14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫格点，格点的连线与格点的连线交于点，若经过点作圆，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、求半圆的面积、三角形的面积，作于，延长交于，由题意可得：，从而得出，，进而得出，结合图形求出，最后根据，进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，延长交于，
，
由题意可得：，
，，
，
相似比为，
，
由图可得：，
，，
，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点到、的距离分别记为，，若，则的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题属于中考填空题的压轴题，考查的是矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，掌握矩形的性质和翻折的性质是解题的关键．根据题意分两种情况画图：①如图1，当点在矩形内，过点作交于点，交于点，②如图2，当点在矩形外，过点作交于点，交于点，然后分别根据矩形和翻折的性质即可解决问题．
【详解】解：①如图1，当点在矩形内，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
②如图2，当点在矩形外，
过点作交于点，交于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
，，
由折叠可知：，，
，
设，
由折叠可知：，
在中，根据勾股定理得：
，
，
解得；
综上所述：长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 先化简，再求值：，其中是方程的解．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则，解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后解分式方程得出，最后代入求值即可．
【详解】．解：
．
．
由可得，
检验：当时，，
∴的解为，
当时，原式．
17. 为提高居民防范电信网络诈骗的意识，某社区举办相关知识比赛．现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩（满分100分），并进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为四组：A． ，B． ，C． ，D． ），下面给出了部分信息：
甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
乙队10名队员的比赛成绩在D组中的所有数据为：92，92，97，99，99，99．
甲、乙代表队中抽取的队员比赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）该社区甲代表队有200名队员、乙代表队有230名队员参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在A组的队员共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）93，99，10
（2）43 （3）甲队，理由见详解．
【解析】
【分析】本题主要考查中位数、众数、平均数以及所占比例的意义和计算方法．
（1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可；
（2）甲队总人数乘以样本中A组所占比例加上乙队总人数乘以样本中A组所占比例即可．
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：甲队10名队员的比赛成绩：69，79，88，90，92，94，94，96，98，100．
所以，
，
∴
根据成绩统计表和扇形统计图可知：
乙队10名队员的比赛中A组有1人，B组有1人，C组有2人，
∴乙队10名队员中众数为D组出现3次的99．
故答案为：93，99，10．
【小问2详解】
根据题意，甲队A组人员有1人，∴A组占比为：，
由（1）可知乙队A组占比：，
∴此次比赛成绩在A组的队员共有（人），
【小问3详解】
根据甲、乙代表队比赛成绩统计表，可知：甲队的比赛成绩更好，
∵甲、乙队平均数都为相等，而甲队的中位数大于乙队，
∴甲队的比赛成绩更好．
18. 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解．
【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，．
在中，，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度约为．．
19. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上动点，连接，，求的最小值；
（3）点是坐标轴上的一点，点是平面内一点，是否存在点、使得四边形是矩形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，点的坐标为或．
【解析】
【分析】（）将点代入直线，可求得点坐标，即可求得，再由直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形， 即可求出点的坐标；
（）作轴于点，轴于点，证明，利用相似三角形的性质得出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则即为的最小值，然后利用勾股定理即可求解；
（）分当点在轴上时，当点在轴上时，过点作轴于点，再利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵在直线上，
∴，
解得，
∴，
∵在上，
∴，
∴，
∵直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，、是它们的交点，
∴、关于原点对称，
∴；
【小问2详解】
解：如图，作轴于点，轴于点，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
故的最小值为；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
当点在轴上时，如图，
设点的坐标为，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
由平移的性质可求；
当点在轴上时，过点作轴于点，如图，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
由平移的性质可求；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，中心对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
20. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下：
已知：如图，及外一点P．
求作：直线，使与相切于点Q．
某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）：
①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）；
②作直线交于点C；
③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）；
④连接，交于点D，则直线即为所求作直线．
【根据这个同学作图方法，解答下面问题】

（1）完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）结合作图，说明是切线的理由；
（3）若半径为3，，求的长．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质．
（1）根据题干提供的方法作出的切线即可．
（2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线．
（3）连接．先由勾股定理求得的长，再由线段垂直平分线的性质可设，则，然后利用中的三边关系可求得x的值即可．
【小问1详解】
画图：如图所示．
【小问2详解】
证明：由题意，得：为的直径，
∴．
∴．
∵为的半径，
∴直线为的切线；
【小问3详解】
解：连接OD．
∵，，
在中，．
由作图可知：为的垂直平分线，
∴．
设．，则
在中，，
∴．
解得．
即：．
21. 某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润销售价进货价）
（1）商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数；
（2）研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大？
【答案】（1）购进60件Ⅰ类学生用双肩包，140件Ⅱ类学生用双肩包
（2）将销售价定为每件46元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大为72元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次函数的应用．
（1）设购进件Ⅰ类学生用双肩包，件Ⅱ类学生用双肩包，利用总价单价数量，结合商店用8600元购进Ⅰ，Ⅱ类两款双肩包共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售价每件降低元，每天利润为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用总利润每件的销售利润日销售量，可得二次函数，先确定的取值范围，再根据二次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设购进件Ⅰ类学生用双肩包，件Ⅱ类学生用双肩包，
根据题意得：，
解得：，
答：购进60件Ⅰ类学生用双肩包，140件Ⅱ类学生用双肩包；
【小问2详解】
解：设销售价每件降低元，每天利润为元，
则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值72，
此时，，
答：将销售价定为每件46元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润最大为72元．
22. 掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
【答案】（1）
（2）没有得满分，见解析
（3）当掷出点的高度至少达到时，可得满分
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
（1）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可；
（3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
【小问2详解】
解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
【小问3详解】
解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
23. 【问题情景】我们在学习特殊角三角函数值时，借助构造含有角的直角三角形，利用的角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理解决了问题．如．如图．
【尝试类比】的值怎么求呢？类比上述方法，构造含有角的直角三角形．如图2．填空，______．

【方法探究】的值怎么求呢？如图，小明同学借助于黄金三角形（顶角是的等腰三角形）和，解决了问题．请你给出小明的解答过程．
【拓展应用】如图是小轲同学利用尺规作出的正五边形．作法如下：
（1）作．
（2）作直径．
（3）过点作直径的垂线交于点．
（4）作线段的垂直平分线交于点．
（5）以点圆心，以长为半径作弧交于点．
（6）以点为圆心，以长为半径作弧交于点．
（7）在上依次截取等于的弦，，，连接，就可以作出圆内接正五边形．
请你解释小轲同学作法的合理性，即证明五边形是圆内接正五边形．
【答案】尝试类比：；方法探究：；拓展应用：见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，
尝试类比：根据题目给的图形标上字母，得到，推出，，再由得到，最后根据求解即可；
方法探究：过点作于，设，，则，，，再证明， 得到，解方程即可得到，最后根据求解即可
拓展应用：根据题目作图步骤画图，再连接，过点作于点，由得到，，设的半径为2，由作法知， ，，，，连，则，则，在中，由上一问，，，由作法，，，推出，最后证明，得到五边形是正五边形．
【详解】解：尝试类比：
如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
方法探究：
过点作于，设，，则
∵在和中，，，，
∴，，
∴，，，
∴，
解得，
经检验，均为原方程的根，
但，
∴，
∴舍去，即，
∴；
拓展应用：
如图，
证明：连接，过点作于点，
∵，
∴，，
设的半径为2，
由作法知， ，，
∴，
∴，
连，则，
∴，
在中，，
∴，
由上一问，，
∴，
由作法，，
∴，
连接，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
易证，
∴五边形是正五边形．
代表队
平均数
中位数
众数
“C”组所占百分比
甲
90
a
94
10%
乙
90
92
b
20%
代表队
平均数
中位数
众数
甲
90
93
94
乙
90
92
99
类别价格
Ⅰ类学生用双肩包
Ⅱ类学生用双肩包
进货价（元/件）
50
40
销售价（元/件）
65
50