浙江省部分学校2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试题（含答案）

这是一份浙江省部分学校2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试题（含答案），共34页。试卷主要包含了多选题，填空题，方法二中等内容，欢迎下载使用。
三、填空题：12 、 5 ； 13 、144 14 、8
14 题：圆 C1 即为以 O(0,0) , P(0 ,3)满足|MO |= 2 |MP |的阿氏圆，所以| OM | +2 |MN |= 2 | PM | +2 |MN |
而| PM | + | MN |≥| PN |≥| PC2 | _1 = 4 ，所以|MO | +2 |MN |≥ 8三、解答题：
15 、（1）切点是(0 , 1) ，又 f,(x) = x2 + 2x + a 得k = f,(0) = a = 1 ，所以切线是y = x + 1 （6 分） （得分细则：切点 1 分，求导 2 分，斜率 1 分，方程 2 分）
（2）只要 f,(x) = x2 + 2x + a ≥ 0 在(_ 2, 2) 恒成立，（9 分）
而fm,in(x) = f,(_1) = _1+ a ，所以 _1+ a ≥ 0 → a ≥ 1 即 a 的范围为[1, + ∞) （ 13 分）得分细则：或是参变分离a ≥ _x2 _ 2x在 (_ 2, 2)恒成立，也得 9 分
若是答案错误，但能画出f,(x) = x2 + 2x + a 图象，有数形结合思想，或是有配方均给 2 分
16 （ 1 ） 因 为 为 定 值 ， 所 以 是 等 差 数 列 ， 所 以 . 2 = 2n _1→ an （6 分）
得分细则：能作差给 2 分，其差值计算正确，从而得 是等差数列给 2 分，再求出通项给 2 分，共 6 分
bn （11 分）
所以 Sn
QCYG 高二数学学科答案 第 1页(共 5 页)
得分细则：写出bn 表达式得 2 分，bn 裂项正确得3 分（共 5 分）对 Sn 能写出和式给 2 分，结论正确但未化简的不扣分
17 、（1）连 AC 交 BD 于 N ，连结MN ，因为 ABCD 是菱形，所以 N 是 AC 中点，从而 MN//PA ，
而 MN C 平面 MBD ， PA 不在平面 MDB 内 ，所以 PA // 平面MDB 。 （6 分）
得分细则：作出MN 给 2 分，有MN//PA 给 2 分（共 4 分）漏条件MN C 平面MBD ， PA 不在平面MDB ，扣 1 分，得 5 分
（ 2 ） 取 AD 中 点 O ， 并 连 结 OP , OB 。 设 AD = 2 ， 则PB = 3 , OP = OB = 3 ，又 ΔPAD , ΔBAD 都是等边三角形，所以 AD 丄 OP , AD 丄 OB → AD 丄 平面 POB 。所以平面 POB 丄平面 ABCD （9 分）
从而在平面 POB 内作 OZ 丄 OB ，则有 OZ 丄 底面 ABCD ，如图
建 立 空 间 坐 标 系 。 由 于 PB = 3 , OP = OB = 3 所 以
LPOB = 1200 。得 P , B(0 , ·3 , 0), C(_2 , ·3 , 0) ， D(_1, 0,0) ,M 从 而 设 平 面 DMB 的 法 向 量 为 n1 = (x , y, z) ， 则n1 丄 DM , n1 丄 DB 得 ，令 y = _·3 ，则 x = 3, z = 1 ，所以 n1 = (3 ,_ ·3 ,1) ， 同理得平面DMC 的法向量 n2 = (_3 ,_ ·3 ,1) ，所以 cs （ 15 分）
得分细则：证出 AD 丄 OP , AD 丄 OB 两个垂直各得 1 分，证出 AD 丄 平面 POB ，平面POB 丄 平面 ABCD 各得 1 分。共 4 分
建系正确得 2 分，P 点坐标得 1 分，法向量每个给 1 分，二个法向量都正确，而结论计算错误给 14分。若是 OP 为 z 轴，建系错误，则建系后面 6 分不给分
18（1） 由 F(2 ,0) ，得抛物线方程为 y2 = 8x ----------------------------------------（2 分）
（2）首先 p = 2c ，由椭圆及抛物线的对称性，得公共弦与 x 轴垂直， 由 F(c ,0) → 而直线x = c ，也 即 x 得 与椭 圆在第 一 象 限交 点 P ， 与抛物线在第 一 象 限 交 点 P ， 所 以 p = 2c → b2 = 2ac → a2 _c2 = 2ac → e 1 ----------（6 分）
得分细则：得 p = 2c ，1 分，求得 P 点坐标，1 分，得到关系b2 = 2ac ，1 分，再求得 e = 2 _1 1 分 ，共 4 分
（3）由椭圆方程得 F(1,0) ，故抛物线方程为 y2 = 4x ，首先当l 的斜率不存在时，由曲线的对称性知适合题意，此时直线l 方程为 x = 1 ； （7 分）
当 l 斜 率 存 在 时 ， 由 | AB |=| CD |⇋ | AC |=| BD | ， 设 l 为 y = k(x _1) ， 联 列 椭 圆 得 ：
x2 _50k2 x + 25k 2 _ 600 = 0 → xA + xC xA .xC 联列抛物线方程得 k2 x2 _ x + k 2 = 0 → xB + xD xB .xD = 1 （ 1 2 分）
解 法 一 ： 一 般 弦 长 公 式 ： | AC xC _xA | ， 则 | AC 其 中Δ = 502 k4 _4(24 + 25k 2)(25k 2 _ 600) = 4 .242 .25(k2 + 1) ， 所 以 | AC ， 又| BD xD _xB ， 所 以 据| AC |=| BD |→ k 所以l 方程为 x = 1 及y （17 分）
解法二：焦半径公式法：| AC |= 2a _e BD |= xB + xD + p ，下面与解法一相同。
方法三：椭圆极坐标焦点弦长公式： | AC
| BD 由| AC |=| BD |→ sin → k 2 = tan 得分细则：求得x = 1 ，1 分，转化| AB |=| CD |⇋ | AC |=| BD | ， 1 分，
方法一、方法二中：联列椭圆及抛物线方程，得出韦达定理各 2 分，求得椭圆弦长 2 分，抛物线弦长 1 分，最后求得 k及直线方程共 2 分，此处 9 分，本小题共 11 分。
方法三：求得椭圆弦长，3 分、抛物线弦长，2 分，求得sin 2 分，最后求得 tan及直线方程共 2 分。此处 9 分，共 11分
19 、（1）当 n = 6 时，他只用 4 步跨上了第 6 级台阶，则说明此人有 2 步跨 2 级，2 步跨 1 级，所以共有 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(2),4) = 6 种； （4 分）
得分细则：能分析出有 2 步跨2 级，2 步跨 1 级给 2 分。 若穷举法排出 6 种给满分，直接写出答案者也给满分
（2）
1 此人跨到第一级台阶，只能是从地面（第 0 级台阶）跨一级上来，所以p ，跨上第二级 台 阶 可 能 从 第 0 级 跨 2 级 上 来 ， 或 从 第 一 级 台 阶 跨 一 级 上 来 ， 所 以 由 全 概 率 公 式 得p ，此处 p0 = 1 （7 分）
同理跨到第 3 级台阶只能从第 1 级台阶跨 2 级上来，或是从第 2 级台阶跨 1 级上来 ，所以p 同理 p 10 分）
得分细则：求得 p1 给 1 分， p2 给 2 分共 3 分。若是能写出 p2 关系式，但 p2 算错给 1 分； p1 , p2 正确，能写出关系式 p3 , p4 关系式，而计算错误共给 5 分. 本小题共 6 分.
2 设跨到第 n 级台阶的概率为 pn ， 同上理由全概率公式得 pn pnpn _1 ，其中
方法一：由 pn pnpn _2 → pn pn _1 = pnpn _2 → 是常数列，从
而 pn + pn _1 = p1 + p0 = 1 → pn _ = _ (pn _1 _ ) → pn = + (_ )n ,（17 分）
得分细则：写出pn pnpn _2 给 2 分，得到是常数列给 2 分， 等比给 2 分最后得正确答案给 1 分。本小题共 7 分。
方法二： 由 pn pnpn _2 ，构造特征方程 x → x1 = 1, x 所以设pn = A + B n ，代入 p0 = 1, p1 = → A = , B = ，从而 pn n （17 分）
得分细则：构造特征方程 x → x1 = 1, x 得 2 分，设 pn = A + B n 得 2 分，正确求得 A , B 得 2 分，最后结论 1 分。