浙江省九校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省九校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，若，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、命题“，”的否定是(   )

A.， B.，

C.， D.，

3、下列结论中正确的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

4、下列说法中正确的是(   )

A.已知随机变量X服从二项分布.则

B.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的充分不必要条件

C.已知随机变量X的方差为，则

D.已知随机变量X服从正态分布且，则

5、设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6、将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是(   )

A.事件A与B相互独立 B.事件A与C相互独立

C.  D.

7、在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为(   )

A. B. C. D.

8、已知函数，，，，则(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、已知，，则下列结论错误的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

10、关于多项式的展开式，下列结论正确的是(   )

A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为

C.存在常数项  D.的系数为40

11、已知函数，则下列选项正确的有(   )

A.函数极小值为，极大值为.

B.函数存在3个不同的零点.

C.当时，函数的最大值为.

D.当时，方程恰有3个不等实根.

12、甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是(   )

A.最高处的树枝为G，I中的一个

B.最低处的树枝一定是F

C.这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种

D.这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

三、填空题

13、设随机变量X的分布列，则______.

14、已知正数a，b满足，则的最小值是________.

15、过点作曲线的切线，则切线方程是__________.

16、函数，若存在a，b，c（），使得，则的最小值是________.

四、解答题

17、已知函数，

（1）若方程有两根，且两根为，求的取值范围；

（2）已知，关于x的不等式的解为Q，若，求实数a的取值范围.

18、同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起.

（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；

（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？

19、已知展开式的二项式系数和为512，且

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求被6整除的余数.

20、某工厂某种产品的年产量为吨，其中，需要投入的成本为（单位：万元），当时，；当时，.若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

（Ⅰ）写出年利润（单位：万元）关于x的函数关系式；

（Ⅱ）年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？

21、某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：

方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元；

方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元.

（1）若用方案一，求X的分布列与数学期望；

（2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由；

（3）若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225万元，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则

22、设，函数.

（1）讨论方程的解的个数；

（2）若函数有两个相异零点，，求证：

参考答案

1、答案：B

解析：因为或，

又，

所以只需，解得，

故选：B.

2、答案：A

解析：因命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；

故选：A.

3、答案：D

解析：解:对于选项A:，则，故错误.

对于选项B:，则，故错误.

对于选项C:，则，故错误.

对于选项D:，则，故正确.

故选：D.

4、答案：D

解析：对于A，已知随机变量，则，故A错误；

对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，

“A与B是互斥事件”并不能推出“A与B互为对立事件”，

相反“A与B互为对立事件”必能推出“A与B是互斥事件”，

故B错误；

对于C，根据方差的计算公式，，故C错误；

对于D，根据正态分布的对称性，随机变量，，

所以，所以，

故D正确；

故选：D.

5、答案：D

解析：当时，，则，

即当时，，

同理当时，；

当时，.

以此类推，当时，都有.

函数和函数在上的图象如下图所示：

由图可知，，解得，

即对任意，都有，即的取值范围是.

故选：D.

6、答案：C

解析：将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有种基本事件，

事件A包含的基本事件数为：，则，

同理，

事件AB包含的基本事件数为：，则，

事件AC包含的基本事件数为：，则，

因为，故A错误；

因为，故B错误；

因为，故C正确；

因为，故D错误；

故选：C

7、答案：A

解析：因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，

所以展开式共有7项，，

所以展开式的通项公式为，，

因为x的指数幂为整数即，3，6时为有理项，

所以展开式的第1，4，7项为有理项，

所以把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为，

故选：C.

8、答案：D

解析：由题意可知：函数为偶函数，

当时，函数，则，

当时，；当时，；

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

因为函数为偶函数，所以，

作差：，所以，

又因为，所以，

所以，而函数在上单调递减，

所以，也即，

故选：D.

9、答案：ABD

解析：对于选项A，当，时，，，所以，则选项A错误：对于选项B，当时，，则选项B错误；对于选项C，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以，即，则选项C正确；对于选项D，当，，时，，，所以，则选项D错误.

故选：ABD

10、答案：BCD

解析：由题意可得，各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为.，易知该多项式的展开式中一定存在常数项.由题中的多项式可知，若出现，可能的组合只有和，结合排列组合的性质可得的系数为.故选BCD.

11、答案：AC

解析：

，

上，，单调递增，在上，，单调递减，

，，故A正确；

当时，，时，，且，，所以函数有两个零点，故B错误；

由函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增，

且，,故函数的最大值为，故C正确；

方程恰有3个不等实根，可转化为与的交点有3个，由上述分析可知，的图象为：

由图象可得当时，有2个实数根，当时，有3个实数根，当时，有2个实数根，当时，有1个实数根，故D错误.

故选：AC

12、答案：AC

解析：

由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D在树枝B，E之间，树枝H比D低，最高可能为G或I，最低为F或H，故A选项正确，B错误；

先看树枝I，有4种可能，若I在B，C之间，

则C有3种可能：①D在B，I之间，H有5种可能；

②D在I，C之间，H有4种可能；

③D在C，E之间，H有3种可能，

此时树枝的高低顺序有（种）。

若I不在B，C之间，则有3种可能，D有2中可能，

若D在B，C之间，则H有3种可能，

若D在C，E之间，则H有三种可能，

此时树枝的高低顺序有（种）可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故C选项正确.

故选：AC.

13、答案：

解析：

因为，可得，解得，

因此.

故答案为：.

14、答案：9

解析：

，

,b为正实数，，当且仅当时取等号，

，，即

解得：或（舍去），

，当且仅当时取等号，即的最小值是9.

故答案为：9

15、答案：

解析：函数定义域为，，

设切点为，，

所以切线方程为，

代入，得，

解得：，所以切线方程为，

整理得：.

故答案为：

16、答案：

解析：设，则，，，且，

由，得，由，得，

所以，

设，则，，

设，则，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，故的最小值是.

故答案为：.

17、答案：（1）

（2）

解析:（1）解：由，即，

因为有两根，可得，解得或，

且，

则，

因为或，可得，所以值范围为.

（2）解：因为，

由，的解为Q，且，可得，

解得，即实数a的取值范围是.

18、答案：（1）0.86

（2）这件产品由丙厂生产的可能性最大

解析：

（1）设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则，且，，两两互斥，

由已知，，，

，，.

由全概率公式得.

（2）由贝叶斯公式得

，

，

.

由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小.

19、答案：（1）144；（2）19682；（3）5.

解析：（1）由二项式系数和为512知，，即

由得

（2）令得

令得

所以

（3）由

因为能被6整除，所以23被6整除后余数为5.

20、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）50000吨.

解析：（Ⅰ）由题意，

（Ⅱ）当时，，

由，得；由，得，

在上单调递增，在上单调递减，

当时，；

当时，单调递增，

.

，

当，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为万元.

21、答案：（1）

（2）方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高

（3）159

解析：

（1）对于方案一，由条件可知X有可能取值为3，4，5，6，

，，

，，

∴X的分布列为：

期望值.

（2）对于方案二，由条件可得Y值为3，4，5，6，

，，

，，

∴Y的期望值

∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.

（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，

则给员工颁发奖金的总数为（万元），

设每位职工为企业的贡献的数额为，

所以获得奖金的职工数约为

.

（人）

则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）.

22、答案：（1）答案见解析

（2）

解析：（1）解：由函数定义域是

当时，由连续单调递增，且当时，当时

所以方程存在唯一解.

当时，可得，令，可得，

由，可得，由，可得，

所以函数单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，

当时，即时方程无解，此时a的范围是

当的范围是时，方程有两个不等解

当时，方程有唯一解

综上所述，当或者时方程有唯一解，当a的范围是时方程无解，当a的范围是时方程有两个不等解.

（2）证明：因为有两个相异的零点，

由于，不妨令，则有

所，可得

要证，只需，即，

即证，即，

即，只需，

令，则，所以只要证明，在上成立

令，可得，

由，所以恒成立，所以在递增，

又由，所以时，恒成立，即恒成立，

即恒成立，从而可得.