【联考试卷】2025-2026学年度高三下学期第二次联考测试卷 理科数学试卷 （含答案）

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理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数a等于（ ）
A．或3B．0或C．3D．
2．已知复数，且为纯虚数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．不充分也不必要条件
4．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．48B．42C．39D．21
5．函数在上的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知中，，，若与线段交于点，且满足
，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
9．中，，内切的半径为，上高为，，现从内随机取一点，则该点取自内的概率是（ ）

A．B．C．D．
10．设过点的直线与圆交于两点，线段的中点为．
若与轴的交点为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足
，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中常数项是___________．(用数字作答)
14．甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示)．
15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．
16．已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且．
若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知在数列中，，，前n项和为，若
．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求证：．














18．（12分）如图，四棱锥中，，平面平面．若，，，．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值．













19．（12分）一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望．















20．（12分）已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．















21．（12分）已知实数，函数．
（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；
（2）若函数有唯一的零点，求证：．
（参考数据，）

















请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）直接写出曲线的普通方程；
（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．








23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值是，且，求的最小值．



理科数学答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由，可知，故，解得或．
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确，
经检验可知符合题意，故选C．
2．【答案】A
【解析】复数，则，
由纯虚数的定义知，解得，
故选A．
3．【答案】A
【解析】，
当时，即时，函数在为增函数，即充分性成立，
若函数在区间上单调递增，如当，即时，满足题意，故必要性不成立．
即“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，
故选A．
4．【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，，此时，与，相矛盾，
所以，所以，所以，得，，
所以，故选C．
5．【答案】A
【解析】，即，
所以函数是奇函数，故排除B、C，
当时函数值为正数，故排除D，只有A选项符合题意，
故选A．
6．【答案】D
【解析】∵线段与线段交于点，设 ()，
则，即，
又∵、、三点共线，则，即，
∵，∴当为中点时，最小，此时最大，
又，故此时，
又因为，∴，即，即的最大值为，
故选D．
7．【答案】B
【解析】
，
，，，
在上恰有1个最大值点和1个最小值点，
，解得，故选B．
8．【答案】B
【解析】设，
因为对任意的，，，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，
综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得，故选B．
9．【答案】A
【解析】设，中点为，切于，，
，，
故，，
故所求概率为，故选A．
10．【答案】B
【解析】由题意，直线不与轴平行或重合，
可设直线方程为，则．

圆心到直线的距离．
因为直线与圆相交，所以，解得．
在中，．
又，所以，
令，则．
当时，，即在上单调递增，
因此，可得，
所以，故选B．
11．【答案】D
【解析】设曲线与的公共点为，
，，，
则，解得或，
又，且，则．
，，．
设，，
令，得．
当时，；当时，，
的最大值为，故选D．
12．【答案】B
【解析】如图所示，在平面内，，
所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，
以直线为轴，直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，
所以，椭圆方程为．
点在底面的投影设为点，则点为的中心，，
故点正好为椭圆短轴的一个端点，
，则，
因为，故只需计算的最大值．
设，则，
则，
当时，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值为，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】由题意，化简，
又由展开式的通项为，
当时，可得，
所以的展开式中常数项是，
故答案为．
14．【答案】
【解析】由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，
则有种方法，
甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有种，
所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，故答案为216．
15．【答案】
【解析】因为，所以
，
因为，，所以，
所以，所以，所以，
令，则，
所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，即，
所以的取值范围为，故答案为．
16．【答案】
【解析】双曲线的焦点为，，，
在中，由正弦定理得，
解得，，
设，，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以，
因为，
又，
所以，则，
所以，
整理得，则，
解得或（舍去），
故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）在数列中，①
∵②且，
∴①式÷②式，得 ，
∴数列以为首项，公差为1的等差数列，
∴，∴，
当时，；
当时，，不满足上式，
∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
∵当时，，
∴当时，，满足，
∴
，
∵在中，，，∴，
∴，∴，∴，
所以．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：设平面平面，
，平面，平面，平面，
又平面，，
，，，
又平面平面，平面，
平面，．
（2）连接，在中，由余弦定理得，，
又，为二面角的平面角，
以为原点，分别以的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

，，．
，，，
平面，平面平面，
可设，由，
可得，
化简可得…①
由（1）知，，化简得…②
解方程①②，可得，，
，
，，
二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，
因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8，
则．
（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，
则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等，
，，
，，
，，
所以的分布列为：
所以的数学期望．
20．【答案】（1）；（2）存在点，使得平分．
【解析】（1）由题意可得，
双曲线的焦点为，渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为，所以，
则椭圆的标准方程为．
（2）存在点使得平分，
由题知，直线的斜率存在且不为0，
又直线过点，则设直线的方程为，
，，，
联立方程，消去整理可得，
所以，，
因为，，，
所以，
即，
因为，所以，
即，
则，化简可得，
因为，所以，
综上，存在点，使得平分．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），令，得，
由，得，在上单调递增，
当时，，
函数在中有极值，与在上有交点，
．
（2）在上单调递增，
且当时，；当时，，
在有唯一零点，设零点为，则有…①，
在上单调递减，在上单调递增，
又函数有唯一的零点，且当时，；当时，，
，即，
将①式代入得，
记，则为函数的零点，
，
则当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，，当时，，
有唯一零点，
又，，
．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）曲线的普通方程为．
（2）由曲线的参数方程为（为参数），
得曲线的普通方程为，
它是一个以为圆心，半径等于的圆，
曲线的极坐标方程为，
，可得，
则曲线的参数方程为（为参数），
是曲线上的点，是曲线上的点，，
设，
则，
当时，，．
23．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，不等式的解集为或．
（2）由（1）可知当时，，即，则．
因为，
所以，即（当且仅当时等号成立）．
故的最小值为．

6
7
8
9
10
11