【联考试卷】2025-2026学年度高二下学期第二次联考测试卷 理科数学试卷 （含答案）

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理科数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．运用分析法证明成立，只需证（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则（ ）
A．lB．3C．5D．7
4．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测．
A．3B．4C．5D．6
5．函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．在R上只有一个极值点B．在R上没有极值点
C．在处取得极值点D．在处取得极值点
6．已知复数，，，满足，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆C．双曲线D．椭圆
7．若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知的展开式中的系数是，则的系数为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法不正确的有（ ）
A．若A、B不相邻共有72种方法B．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
C．若A在B左边有60种排法D．若A、B两人站在一起有24种方法
11．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18B．30C．36D．54
12．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，若，则______．
14．函数在R上单调递增，则a的取值范围为__________．
15．现有个小球和个小盒子，下面的结论正确的是__________．
①若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），则共有种放法；
②若个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒的放法共有种；
③若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒的放法共有种；
④若编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有种．
16．一个质点在如图所示的平面直角坐标系中移动，每秒移动一步，第一个四步：第一步、从原点出发向右移动一个单位长度，第二步向上移动一个单位长度，第三步向左移动一个单位长度，第四步向上移动一个单位长度；第二个四步：与前四步方向一致，但是移动长度都增加一个单位长度，第三个四步：与前四步方向一致，但移动长度都增加一个单位长度，该质点第101秒所在的坐标为_______．


三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正数列满足．
（1）求，，的值；
（2）试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
















18．（12分）（1）设，，，用反证法求证：下列三个关于的方程，，中至少有一个有实数根．
（2）已知，且，用分析法求证：．

















19．（12分）设．
（1）求，的值；
（2）求除以9的余数．



















20．（12分）如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段．

（1）由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
（2）由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
（3）求出图中总计有多少个矩形？






















21．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若非零实数a使得对恒成立，求a的取值范围．

























22．（12分）已知函数．
（1）当时，判定有无极值，并说明理由；
（2）若对任意的恒成立，求的最小值．






理科数学答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】，虚部为，
故选A．
2．【答案】C
【解析】由，化简得，
因为，，只需证明，
故选C．
3．【答案】D
【解析】由，根据组合数的性质可得，
则，解得．
故选D．
4．【答案】B
【解析】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；
第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染，如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．
综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测，故选B．
5．【答案】C
【解析】由题意，，
∴若，即或，
令，则，
∴当时，；当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，而，故在上存在一个零点，
∴在R上至少存在两个极值点，分别为、，
故选C．
6．【答案】D
【解析】复平面上，复数满足，则对应的点到点，点的距离和为，即，，
∴复数对应的点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，故选D．
7．【答案】D
【解析】函数存在与直线平行的切线，
即在上有解，
而，即在上有解，
得在上有解，
∵，当且仅当时“＝”成立．
∴，∴a的取值范围是，故选D．
8．【答案】B
【解析】原式，
展开式中包含两部分，一部分是中的，另一部分是中的，
中含的项是，含项的系数是，
所以，得，
即原式，
展开式中包含两部分，一部分是中的，另一部分是中的，
中的的项是，中的的项是，
即的项是，系数是，故选B．
9．【答案】D
【解析】的定义域为，
且，故是偶函数，
又当时，，
，故在为增函数，
因为，所以，
则，解得或，故选D．
10．【答案】D
【解析】A．若A、B不相邻共有种方法，故A正确；
B．若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有种方法，故B正确；
C．若A在B左边有种方法，故C正确；
D．若A、B两人站在一起有，故D不正确，
故选D．
11．【答案】C
【解析】如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对，故选C．

12．【答案】D
【解析】令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，即的最小值为．
故选D．

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】由题意得，，，
故答案为．
14．【答案】
【解析】因为，所以，
由题意可得对于恒成立，
令，
即对于恒成立，
的对称轴为，只需要，
当，即时，在单调递减，
此时可得，此时不成立；
当，即时，在单调递增，
此时可得，此时不成立；
当，即时，，
解得，此时符合题意，
所以a的取值范围为，故答案为．
15．【答案】②③④
【解析】对于①，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子中（允许有空盒），每个小球有种放法，共有种不同的放法，①错误；
对于②，将个相同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有两个空盒，
则一个盒子放个小球、另一个盒子放个小球或两个盒子均放个小球，
此时，共有种不同的放法，②正确；
对于③，将个不同的小球放入编号为、、、的盒子中，且恰有一个空盒，
则两个盒子各放个小球，另一个盒子放个小球，此时，共有种放法，③正确；
对于④，将编号为、、、的小球放入编号为、、、的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法为：、、、、、、、、，共种，④正确，
故答案为②③④．
16．【答案】
【解析】该质点第4秒，第8秒，第12秒，第16秒的坐标分别为
即
故第100秒所在的坐标为，所以质点的坐标为，
故答案为．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），，；（2）猜想：，证明见解析．
【解析】（1）当时，，
又，∴；
当时，，解得；
当时，，解得．
（2）猜想，
①当时，由（1）可知结论成立；
②假设当时，结论成立，即成立，
则当时，由与得：，
∴，
又，∴成立，
综上所述得成立．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）假设这三个方程都没有实根，
则，即，
三式相乘并整理，得，①
因为，所以．
同理，，
所以，②
显然②与①矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立．
（2）因为，所以，
要证，只需证，
只需证，
因为，所以，即上式成立，
则可得证．
19．【答案】（1），3072；（2）7．
【解析】（1）对于，
令，得①
令，得②
①+②，得，∴．
，
求导得，
令，得，
即．
（2），
∴
，
显然，上面括号内的数为正整数，故求被9除的余数为7．
20．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：
向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为．
（2）设点、、的位置如图所示：

则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着，共有条最近路线；
③沿着，共有条最近路线；
④沿着，共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条．
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），
由题意可得，，
故曲线在点处的切线方程．
（2）令，，
则，
因为，
若，则，易得函数在上单调递减，显然不满足题意；
若，
（i）当，即时，易得函数在上单调递增，
当时，取得最小值，
，解可得，
从而可得；
（ii）当，即时，易得函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，解得，故，
综上可得，的范围．
22．【答案】（1）有一个极小值，但没有极大值，答案见解析；（2）．
【解析】（1）函数的定义域为，，
令，则，
所以在上为增函数，
又，，
所以存在，使得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，
综上，有一个极小值，但没有极大值．
（2）不等式，即，
即，
即对任意的恒成立，
令，则，从而在上单调递减，
当时，；
又时，，
不等式转化为，
该不等式恒成立等价于恒成立，即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
所以，当时，；当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
所以，所以，
故的最小值为．