2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示1 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示1 [含答案]，共14页。
A．0→B．b→−a→C．a→+b→D．2a→−2b→
2．（2024秋•成都期中）设x，y∈R，向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→⊥b→，则|a→+b→|等于（ ）
A．2B．4C．26D．26
3．（2024秋•端州区校级期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，G为BC的中点，OP→=12PG→，则AP→=（ ）
A．a→−14b→−14c→B．−a→+14b→+14c→C．a→−16b→−16c→D．−a→+16b→+16c→
4．（2024秋•海淀区校级期中）已知a→=(x，1，−3)，b→=(1，3，−9)，如果a→与b→为共线向量，则x＝（ ）
A．1B．12C．13D．16
5．（2024秋•江阴市期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，OA→=2a→+3b→+5c→，OB→=a→+2b→−2c→，OC→=ka→+b→+3c→，若OA→，OB→，OC→共面，则k＝（ ）
A．14B．12C．23D．34
6．（2024秋•凉山州期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，则OP→=（ ）
A．16a→+13b→+13c→B．13a→+13b→+13c→
C．13a→+16b→+16c→D．14a→+38b→+38c→
7．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a→，b→，a→+b→B．a→，b→，2a→−3b→C．c→+b→，c→−b→，a→D．c→+b→，a→+b→+c→，a→
8．（2024秋•郑州月考）若向量{e1→，e2→，e3→}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：a→=xe1→+ye2→+ze3→，我们把有序实数组（x，y，z）叫做基底{e1→，e2→，e3→}下向量a→的斜坐标．设向量p→在基底{a→，b→，c→}下的斜坐标为（﹣1，2，3），则向量p→在基底{a→+b→，a→−b→，c→}下的斜坐标为（ ）
A．(12，−32，3)B．(−12，−32，3)
C．(−12，32，3)D．(12，−32，−3)
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋•张家口月考）下列说法正确的是（ ）
A．向量c→=(3，0，−2)与向量a→=(1，−1，0)，b→=(2，1，−2)共面
B．若p→与a→，b→共面，则∃x，y∈R，使得p→=xa→+yb→
C．若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则{a→+2b→，2b→+3c→，3a→−9c→}能构成空间一个基底
D．若MP→=xMA→+yMB→(x，y∈R)，则P，M，A，B共面，反之不正确
10．（2024•尖草坪区校级开学）若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．a→+b→，a→−b→，c→B．a→+b→，b→+c→，c→+a→
C．3a→−4b→，2b→−3c→，3a→−6c→D．a→+b→，a→+b→+c→，2c→
11．（2024秋•安徽期末）已知{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．c→，a→+b→，c→−a→−b→共面
B．存在不全为零的实数x，y，z，使得xa→+yb→+zc→=0→
C．若d→−a→=0，d→⋅b→=0，则d→∥c→
D．若(a→+b→+c→)⋅(a→−b→+c→)=0，则|a→+c→|=|b→|
12．（2024秋•绿园区校级期末）下列命题中，正确的有（ ）
A．若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则a→∥b→
B．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b→⊥c→，则有a→∥c→
C．在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC→•AB→=0，则PB→•AC→=0
D．若向量a→+b→，b→+c→，c→+a→是空间一组基底，则a→，b→，c→也是空间的一组基底
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋•小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB→+32OC→（m∈R），则m的值为 ．
14．（2024秋•兴庆区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3c→，n→=x（a→+b→）﹣y（b→+c→）+3（a→+c→），若m→∥n→，则xy= ．
15．（2024秋•玉溪月考）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C（12，32，0），D可以构成正四面体，则AD→= ．
16．（2022秋•龙岗区校级期末）已知向量a→=(1，1，0)，b→=(m，0，2)，cs⟨a→，b→⟩=−1010，若向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，则实数k的范围是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•广饶县校级月考）已知空间中三点A(1，−2，3)，B(0，2，5)，C(1，2，4)．
（1）若向量m→与AB→平行，且|m→|=13，求m→的坐标；
（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．
18．（2024秋•甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示BD1→及求|BD1→|；
（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
19．（2024秋•临海市校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中点．令AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示向量ED1→；
（2）求ED1的长．
20．（2024秋•四子王旗期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB长为2，AD长为1，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点．设AB→=a→，AD→=b→，AP→=c→．
（1）试用a→，b→，c→表示出向量BM→；
（2）求BM的长．
空间向量基本定理及坐标表示
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024春•内蒙古期中）已知{a→，b→}是平面内的一个基底，则可以与向量m→=a→−b→构成平面另一个基底的向量是（ ）
A．0→B．b→−a→C．a→+b→D．2a→−2b→
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用基底向量的定义求出结果．
解：由于向量m→与向量0→，b→−a→，2a→−2b→为共线向量，
所以不能构成空间的一个基底．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2．（2024秋•成都期中）设x，y∈R，向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→⊥b→，则|a→+b→|等于（ ）
A．2B．4C．26D．26
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用向量的数量积运算求出向量的坐标，进一步求出向量的模．
解：由于向量a→=（x，1，﹣2），b→=（3，﹣2，2），且a→⊥b→，则3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；
故a→=(2，1，2)，
则：a→+b→=(5，−1，0)，
所以|a→+b→|=52+(−1)2=26．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量垂直的充要条件，向量的坐标运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（2024秋•端州区校级期中）在四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，G为BC的中点，OP→=12PG→，则AP→=（ ）
A．a→−14b→−14c→B．−a→+14b→+14c→C．a→−16b→−16c→D．−a→+16b→+16c→
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
解：四面体OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，G为BC的中点，OP→=12PG→，
如图所示：
所以OG→=12OB→+12OC→=12b→+12c→，
由OP→=12PG→，所以OP→=13OG→=16b→+16c→，
故AP→=OP→−OA→=−a→+16b→+16c→．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2024秋•海淀区校级期中）已知a→=(x，1，−3)，b→=(1，3，−9)，如果a→与b→为共线向量，则x＝（ ）
A．1B．12C．13D．16
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出x的值．
解：由于a→=(x，1，−3)，b→=(1，3，−9)，且a→∥b→，
故x1=13=−3−9，解得x=13．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024秋•江阴市期中）设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，OA→=2a→+3b→+5c→，OB→=a→+2b→−2c→，OC→=ka→+b→+3c→，若OA→，OB→，OC→共面，则k＝（ ）
A．14B．12C．23D．34
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可．
解：设{a→，b→，c→}为空间的一个基底，OA→=2a→+3b→+5c→，OB→=a→+2b→−2c→，OC→=ka→+b→+3c→，
由已知OA→，OB→，OC→共面，
则可设OC→=xOA→+yOB→，
即ka→+b→+3c→=x(2a→+3b→+5c→)+y(a→+2b→−2c→)，
即2x+y=k3x+2y=15x−2y=3，解得x=12y=−14k=34，故k=34．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6．（2024秋•凉山州期中）如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，则OP→=（ ）
A．16a→+13b→+13c→B．13a→+13b→+13c→
C．13a→+16b→+16c→D．14a→+38b→+38c→
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用空间向量的加法和减法可得出OP→在基底{a→，b→，c→}下的表达式．
解：M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P是MN靠近N的三等分点．若向量a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，
因为P是MN靠近N的三等分点，则MP→=2PN→，
所以，OP→−OM→=2(ON→−OP→)，所以，3OP→=OM→+2ON→，则OP→=13OM→+23ON→，
因为N为BC的中点，则ON→=OB→+BN→=OB→+12BC→=OB→+12(OC→−OB→)=12OB→+12OC→，
因为M为OA的中点，则OM→=12OA→，
因此，OP→=13OM→+23ON→=16a→+23(12b→+12c→)=16a→+13b→+13c→．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2024秋•吉林期中）若{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．a→，b→，a→+b→B．a→，b→，2a→−3b→C．c→+b→，c→−b→，a→D．c→+b→，a→+b→+c→，a→
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】C
【分析】直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．
解：对于A：由于a→+b→=a→+b→，所以a→+b→，a→，b→，共面，故A错误；
对于B：由于a→=32b→+12(2a→−3b→)，故B错误；
对于C：不存在实数x，y使得c→+b→=x(c→−b→)+ya→，故C正确；
对于D：由于c→+b→=(a→+b→+c→)−a→，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2024秋•郑州月考）若向量{e1→，e2→，e3→}是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：a→=xe1→+ye2→+ze3→，我们把有序实数组（x，y，z）叫做基底{e1→，e2→，e3→}下向量a→的斜坐标．设向量p→在基底{a→，b→，c→}下的斜坐标为（﹣1，2，3），则向量p→在基底{a→+b→，a→−b→，c→}下的斜坐标为（ ）
A．(12，−32，3)B．(−12，−32，3)
C．(−12，32，3)D．(12，−32，−3)
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】A
【分析】借助待定系数法设p→=m(a→+b→)+n(a→−b→)+sc→，结合所给定义及其在基底{a→，b→，c→}下的斜坐标计算即可得．
解：由题意可得p→=−a→+2b→+3c→，
设p→=m(a→+b→)+n(a→−b→)+sc→，
即有−a→+2b→+3c→=m(a→+b→)+n(a→−b→)+sc→=(m+n)a→+(m−n)b→+sc→，
即可得m+n=−1m−n=2s=3，解得m=12n=−32s=3，即p→=12(a→+b→)−32(a→−b→)+3c→，
即向量p→在基底{a→+b→，a→−b→，c→}下的斜坐标为(12，−32，3)．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底，向量的坐标运算，共面向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋•张家口月考）下列说法正确的是（ ）
A．向量c→=(3，0，−2)与向量a→=(1，−1，0)，b→=(2，1，−2)共面
B．若p→与a→，b→共面，则∃x，y∈R，使得p→=xa→+yb→
C．若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则{a→+2b→，2b→+3c→，3a→−9c→}能构成空间一个基底
D．若MP→=xMA→+yMB→(x，y∈R)，则P，M，A，B共面，反之不正确
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】直接利用共面向量基本定理和向量的基底的定义判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：向量c→=(3，0，−2)与向量a→=(1，−1，0)，b→=(2，1，−2)，由于c→=a→+b→，故a→，b→，c→共面，故A正确；
对于B：由于p→与a→，b→共线，根据共面向量基本定理，一定存在x，y使p→=xa→+yb→，故B正确；
对于C：若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，令a→+2b→=x(2b→+3c→)+y(2a→−9c→)，无解，则{a→+2b→，2b→+3c→，3a→−9c→}能构成空间一个基底，故C正确；
对于D：若MP→=xMA→+yMB→(x，y∈R)，则P，M，A，B共面，反之不成立，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识点：共面向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2024•尖草坪区校级开学）若{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．a→+b→，a→−b→，c→B．a→+b→，b→+c→，c→+a→
C．3a→−4b→，2b→−3c→，3a→−6c→D．a→+b→，a→+b→+c→，2c→
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；等体积法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AB
【分析】直接利用向量的基底的定义求出结果．
解：因为 {a→+b→，a→−b→，c→}是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B：设a→+b→=x(b→+c→)+y(c→+a→)，故y=1x=1x+y=0无解，故a→+b→，b→+c→，c→+a→能构成空间的基底，故B正确；
对于C：3a→−6c→=(3a→−4b→)+2(2b→−3c→)，由于3a→−4b→，2b→−3c→，3a→−6c→是平面向量，不能构空间的一个基底，故C错误；
对于D：因为 a→+b→=a→+b→+c→−12(2c→)，所以a→+b→，a→+b→+c→，2c→是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查的知识点：基底向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（2024秋•安徽期末）已知{a→，b→，c→}构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．c→，a→+b→，c→−a→−b→共面
B．存在不全为零的实数x，y，z，使得xa→+yb→+zc→=0→
C．若d→−a→=0，d→⋅b→=0，则d→∥c→
D．若(a→+b→+c→)⋅(a→−b→+c→)=0，则|a→+c→|=|b→|
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AD
【分析】直接利用向量的线性运算，向量的基底，点关于面的对称，向量的数量积判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：因为c→=a→+b→+c→−a→−b→，所以c→，a→+b→，c→−a→−b→共面，故A正确；
对于B：若存在不全为零的实数x，y，z，使得xa→+yb→+zc→=0→，则a→，b→，c→共面，不能构成基底，故B错误；
对于C：当d→≠0→时，故：d→⊥b→，d→⊥a→，由题可知不一定有c→⊥a→且c→⊥b→，故C错误；
对于D：由(a→+b→+c→)⋅(a→−b→+c→)=0，得(a→+c→)2−b→2=0，所以：|a→+c→|=|b→|，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的基底，点关于面的对称，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12．（2024秋•绿园区校级期末）下列命题中，正确的有（ ）
A．若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则a→∥b→
B．若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b→⊥c→，则有a→∥c→
C．在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC→•AB→=0，则PB→•AC→=0
D．若向量a→+b→，b→+c→，c→+a→是空间一组基底，则a→，b→，c→也是空间的一组基底
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】整体思想；数形结合法；空间向量及应用；数学抽象；逻辑思维．
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量基本定理，向量的数量积的应用判断A、B、C、D的结论即可．
解：对于A，若向量a→，b→与空间任意向量都不能构成基底，则两个向量为共线向量，即a→∥b→；故A正确；
对于B，若非零向量a→，b→，c→满足a→⊥b→，b→⊥c→，则a→与c→关系不确定，故B错误；
对于C：在四面体P﹣ABC中，若PA→•BC→=0，PC→•AB→=0，如下图：
作PO⊥平面ABC，垂足为O，
由于PA→•BC→=0，所以AO⊥BC，
同理PC→⋅AB→=0，故OC⊥AB，
所以O为△ABC的垂心，BO⊥AC，
所以AC⊥平面BOP，故AC⊥PB，
故PB→•AC→=0，故C正确．
若向量向量a→+b→，b→+c→，c→+a→是空间一组基底，则空间任何一个向量d→，存在唯一的实数组（x，y，z），
d→=x(a→+b→)+y(b→+c→)+z(c→+a→)=（x+z）a→+（x+y）b→+（y+z）c→，
则a→，b→，c→也是空间的一组基底；故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量基本定理、正交分解及坐标表示，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋•小店区校级月考）已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB→+32OC→（m∈R），则m的值为 ﹣1 ．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】﹣1．
【分析】直接利用向量共面的充要条件求出结果．
解：已知点P在平面ABC上，点O是空间内任意一点，且OP→=12OA→+mOB→+32OC→（m∈R），所以12+m+32=1，解得m＝﹣1．
故﹣1．
【点评】本题考查的知识点：向量共面的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14．（2024秋•兴庆区校级月考）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3c→，n→=x（a→+b→）﹣y（b→+c→）+3（a→+c→），若m→∥n→，则xy= 3 ．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】3．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
解：已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3c→，n→=x（a→+b→）﹣y（b→+c→）+3（a→+c→）=(x+3)a→+(x−y)b→+(3−y)c→，
若m→∥n→，则1x+3=2x−y=−33−y，解得x＝3y，所以xy=3．
故3．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋•玉溪月考）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C（12，32，0），D可以构成正四面体，则AD→= （12，36，±63） ．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】(12，36，±63)．
【分析】由已知正四面体ABCD的棱长为1，得到D的竖坐标为正四面体的高，求出△ABC 的外接圆半径，得到所以正四面体的高，横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标，由此能求出结果．
解：由已知正四面体ABCD的棱长为1，
所以D的竖坐标为正四面体的高，△ABC 的外接圆半径为12×1sin60°=33，
所以正四面体的高为 12−(33)2=63，
而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标：
xD=0+1+123=12，yD=0+0+323=36，
所以D(12，36，±63)
故(12，36，±63)．
【点评】本题考查正四体结构特征、三角形外接圆、重心等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（2022秋•龙岗区校级期末）已知向量a→=(1，1，0)，b→=(m，0，2)，cs⟨a→，b→⟩=−1010，若向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，则实数k的范围是 (−1，12)∪(12，+∞) ．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】(−1，12)∪(12，+∞)．
【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得m＝﹣1，再由向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，得到(a→+kb→)⋅(2a→+b→)＞0，求得k＞﹣1，当向量a→+kb→与2a→+b→共线时，求得k=12，即可得到实数k的范围．
解：由向量a→=(1，1，0)，b→=(m，0，2)，可得a→⋅b→=m，|a→|=2，|b→|=m2+4，
因为cs〈a→，b→〉=−1010，可得a→⋅b→|a→||b→|=m2⋅m2+4=−1010，
解得m＝﹣1，
所以b→=(−1，0，2)，所以a→+kb→=(1−k，1，2k)与2a→+b→=(1，2，2)，
又因为向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，
所以(a→+kb→)⋅(2a→+b→)=1−k+2+4k＞0，解得k＞﹣1，
若向量a→+kb→与2a→+b→共线，则1−k1=12=2k2，解得k=12，
所以实数k的范围是(−1，12)∪(12，+∞)．
故(−1，12)∪(12，+∞)．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋•广饶县校级月考）已知空间中三点A(1，−2，3)，B(0，2，5)，C(1，2，4)．
（1）若向量m→与AB→平行，且|m→|=13，求m→的坐标；
（2）求以CB，CA，为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）(−1，22，2)或(1，−22，−2)；（2）17．
【分析】（1）由已知可设m→=λAB→，利用向量的模长公式求出λ的值，即可求出向量m→的坐标；
（2）利用空间向量的夹角公式求出cs＜CB→，CA→＞，再结合三角形的面积公式即可求解．
解：（1）空间中三点A(1，−2，3)，B(0，2，5)，C(1，2，4)，
所以AB→=(−1，22，2)，
因为向量m→与AB→平行，所以可设m→=λAB→，λ∈R，
所以m→=(−λ，22λ，2λ)，
因为|m→|=13，所以λ2+8λ2+4λ2=13，
所以λ＝±1，
所以m→=(−1，22，2)或m→=(1，−22，−2)，
所以m→的坐标为(−1，22，2)或(1，−22，−2)；
（2）因为A(1，−2，3)，B(0，2，5)，C(1，2，4)，
所以CB→=(−1，0，1)，CA→=(0，−22，−1)，
所以cs＜CB→，CA→＞=CB→⋅CA→|CB→||CA→|=−26
即cs∠ACB=−26，
又∠ACB∈（0，π），所以sin∠ACB=346；
所以△ABC的面积S=12|CB→||CA→|sin∠ACB=12×2×3×346=172，
所以以CB，CA为邻边的平行四边形的面积为17．
【点评】本题考查向量的模长公式、投影定义、投影向量、空间向量夹角公式、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（2024秋•甘肃校级期中）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，各条棱长均为m，底面是正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝120°，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示BD1→及求|BD1→|；
（2）求异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
【考点】空间向量基底表示空间向量；异面直线及其所成的角．
【专题】综合题；数形结合；定义法；平面向量及应用；运算求解．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】本题第（1）题先根据题意及图形即可用a→，b→，c→表示BD1→，然后根据向量的运算计算出|BD1→|2的值，进一步即可计算出|BD1→|；
第（2）题先用a→，b→表示AC→，再结合第（1）题计算出AC→•BD1→的结果，然后根据向量的数量积公式可计算出cs＜AC→，BD1→＞，进一步思考即可得到异面直线AC与BD1所成的角的余弦值．
解：（1）由题意及图，可知
BD1→=BA→+AD→+DD1→=−AB→+AD→+AA1→=−a→+b→+c→，
则|BD1→|2=（−a→+b→+c→）2
=a→2+b→2+c→2−2a→⋅b→−2a→⋅c→+2b→⋅c→
＝m2+m2+m2﹣0﹣2m2cs120°+2m2cs120°
＝3m2，
∴|BD1→|=3m．
（2）由题意及图，可知
AC→=AB→+AD→=a→+b→，
∴AC→⋅BD1→=(a→+b→)⋅(b→+c→−a→)
=a→⋅b→+a→⋅c→−a→2+b→2+b→⋅c→−a→⋅b→
=a→⋅c→−a→2+b→2+b→⋅c→
＝m2cs120°﹣m2+m2+m2cs120°
＝﹣m2，
又∵|BD1→|=3m，AC→=2m，
∴cs〈AC→，BD1→〉=AC→⋅BD1→|AC→||BD1→|=−m22m×3m=−66．
∴异面直线AC与BD1所成的角的余弦值是66．
【点评】本题主要考查向量的运算，以及数量积在立体几何中的运用．考查了数形结合思想，向量的表示，模的计算，向量的运算，向量数量积的运用，以及空间想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
19．（2024秋•临海市校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中点．令AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）用a→，b→，c→表示向量ED1→；
（2）求ED1的长．
【考点】空间向量基底表示空间向量；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）−a→+12b→+c→；（2）17．
【分析】（1）利用空间向量基本定理求出答案；
（2）先计算出a→⋅b→=0，a→⋅c→=−3，b→⋅c→=−3，从而利用|ED1→|=ED1→2=a→2+14b→2+c→2−a→⋅b→+b→⋅c→−2a→⋅c→求出答案．
解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，E是BC的中点．令AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→．
（1）ED1→=EC→+CD→+DD1→=12AD→+(−AB→)+AA1→=−a→+12b→+c→；
（2）因为∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
AB＝AD＝2，AA1＝3，
所以a→⋅b→=0，a→⋅c→=2×3×(−12)=−3，
同理b→⋅c→=−3，
|ED1→|=ED1→2=(−a→+12b→+c→)2=a→2+14b→2+c→2−a→⋅b→+b→⋅c→−2a→⋅c→
=17．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋•四子王旗期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB长为2，AD长为1，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点．设AB→=a→，AD→=b→，AP→=c→．
（1）试用a→，b→，c→表示出向量BM→；
（2）求BM的长．
【考点】空间向量基底表示空间向量；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）BM→=−12a→+12b→+12c→；（2）72．
【分析】（1）由向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义即可求解；
（2）|BM→|=|BM→|2，结合（1）及数量积的运算律即可求解．
解：（1）因为M是PC的中点，
所以BM→=12(BC→+BP→)=−12a→+12b→+12c→．
（2）根据题意可知a→⋅b→=|a→||b→|cs90°=0，
a→⋅c→=|a→||c→|cs60°=2，
b→⋅c→=|b→||c→|cs60°=1，
∴|BM→|2=14(−a→+b→+c→)2
=14[a→2+b→2+c→2+2(−a→⋅b→−a→⋅c→+b→⋅c→)]
=74，
所以|BM→|=72，所以BM的长为72．
【点评】本题在四棱锥中用a→、b→、c→表示出向量BM→，并根据给出的数据求BM的长度．着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于中档题．