2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：空间向量基本定理及坐标表示 [含答案]，共14页。
A．{a→−2b→，3a→−b→，0→}B．{a→，b→，a→+b→}
C．{3a→+b→，a→+b→，c→}D．{a→+b→+c→，a→+b→，c→}
2．（2024秋•库尔勒市校级期末）已知空间向量AB→=(2，−1，3)，则|AB→|=（ ）
A．2B．14C．2D．14
3．（2025春•高邮市期中）已知向量a→=(−1，2，1)，b→=(2，x，y)，且a→∥b→，那么2x+y＝（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
4．（2025春•高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A．AP→=2OA→+OB→−OC→B．PB→=OA→+OB→+OC→
C．CP→=2OA→+3OB→−5OC→D．AB→=2AP→+OC→
5．（2025春•盐城期中）已知向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，x，﹣1）且a→∥b→，则x的值为（ ）
A．0B．13C．−32D．−23
6．（2025春•常州期中）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点B的坐标是（ ）
A．（1，﹣6，3）B．（5，4，﹣3）C．（﹣1，6，﹣3）D．（2，5，﹣3）
7．（2024秋•站前区校级期末）下列可使a→，b→，c→构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．a→，b→，c→两两垂直B．b→=λc→
C．a→=mb→+nc→D．a→+b→+c→=0
8．（2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，则AM→=（ ）
A．−34a→+14b→+14c→B．−34a→+13b→+14c→
C．−14a→+14b→+14c→D．−14a→+13b→+14c→
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若a→⋅b→＞0，则〈a→，b→〉是锐角
C．已知向量组{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则{2a→，b→，c→−a→}也是空间的一个基底
D．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→=34OA→+18OB→+18OC→，则P，A，B，C四点共面
（多选）10．（2025•河北开学）已知空间中三个向量a→=(1，2，−1)，b→=(1，−2，3)，c→=(−2，1，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．|a→|=6
B．(a→+c→)⊥b→
C．b→在c→上的投影向量为(13，−16，−16)
D．cs〈a→，b→〉=−217
（多选）11．（2024秋•青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（ ）
A．OB→⋅BC→=0
B．cs〈OA→，OB→〉=−25
C．点O到直线BC的距离为5
D．O，A，B，C四点共面
（多选）12．（2024•成都开学）已知a→，b→，c→是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A．c→，a→+c→，a→−c→B．a→，2b→，b→−c→C．a→+b→，b→+c→，c→+a→D．a→−b→，b→−c→，c→+a→
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•兴化市期中）已知向量p→在基底{a→，b→，c→}下的坐标为（2，3，4），则p→在基底{a→+b→，b→+c→，c→}下的坐标为 ．
14．（2025春•杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若DB1→的坐标为（4，3，2），则AC1→的坐标为 ．
15．（2025春•驻马店月考）已知m∈R，向量a→=(1，m，−2)，b→=(m，2，3)，若a→⋅b→=6，则|a→|= ．
16．（2024秋•新城区期末）若{e1→，e2→，e3→}是空间的一个基底，且向量a→=e1→+e2→，b→=e2→+e3→，c→=e1→+te3→不能构成空间的一个基底，则实数t＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量kAB→−AC→与AC→互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
18．（2025春•兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量kAB→−AC→与AC→互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
19．（2024秋•丽水期中）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（1）试用向量a→，b→，c→表示向量OE→；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求OE→⋅AB→的值．
20．（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→
（1）试用a→，b→，c→表示向量AC→、BD1→；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→与BD1→所成的角的余弦值．
高考数学一轮复习 空间向量基本定理及坐标表示
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•仁寿县校级期中）设向量a→，b→，c→不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（ ）
A．{a→−2b→，3a→−b→，0→}B．{a→，b→，a→+b→}
C．{3a→+b→，a→+b→，c→}D．{a→+b→+c→，a→+b→，c→}
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；逻辑思维．
【正确答案】C
【分析】根据空间向量的共面定理和空间基底的条件即可解答．
解：A选项，由于0→与任意两个向量共面，故不能作为基底；
B选项，由于a→+b→=a→+b→，故三个向量共面，不能作为基底；
C选项，由于向量a→，b→，c→不共面，故c→不能用3a→+b→，a→+b→表示，
即c→与3a→+b→，a→+b→不共面，故符合题意；
D选项，因为a→+b→+c→=(a→+b→)+c→，故三个向量共面，不能作为基底．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量共面的判定，属基础题．
2．（2024秋•库尔勒市校级期末）已知空间向量AB→=(2，−1，3)，则|AB→|=（ ）
A．2B．14C．2D．14
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】B
【分析】根据模长公式即可求解．
解：因为空间向量AB→=(2，−1，3)，
所以|AB→|=22+(−1)2+32=14．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的模长公式，属于基础题．
3．（2025春•高邮市期中）已知向量a→=(−1，2，1)，b→=(2，x，y)，且a→∥b→，那么2x+y＝（ ）
A．﹣10B．﹣2C．2D．10
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据空间向量共线定理得出x，y，代入计算即可．
解：由题意可得，−12=2x=1y，即x＝﹣4，y＝﹣2，
那么2x+y＝﹣8﹣2＝﹣10．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
4．（2025春•高邮市期中）对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A．AP→=2OA→+OB→−OC→B．PB→=OA→+OB→+OC→
C．CP→=2OA→+3OB→−5OC→D．AB→=2AP→+OC→
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】C
【分析】对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当点P满足：OP→=xOA→+yOB→+zOC→，且x+y+z＝1时，可得出点P在平面ABC内，根据这个性质逐项用OA→，OB→和OC→表示向量OP→，满足x+y+z＝1的即为正确选项．
解：A.OP→−OA→=2OA→+OB→−OC→，所以OP→=3OA→+OB→−OC→，3+1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，A错误；
B.OB→−OP→=OA→+OB→+OC→，所以OP→=−OA→−OC→，﹣1﹣1≠1，所以点P不在平面ABC内，B错误；
C.OP→−OC→=2OA→+3OB→−5OC→，所以OP→=2OA→+4OB→−5OC→，2+4﹣5＝1，所以点P在平面ABC内，C正确；
D.OB→−OA→=2(OP→−OA→)+OC→，所以OP→=12OA→+12OB→−12OC→，12+12−12≠1，所以点P不在平面ABC内，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了点P在平面ABC内的充要条件，向量的数乘运算，是基础题．
5．（2025春•盐城期中）已知向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，x，﹣1）且a→∥b→，则x的值为（ ）
A．0B．13C．−32D．−23
【考点】空间向量运算的坐标表示；平面向量的相等与共线；空间向量的共线与共面．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】利用空间向量平行的坐标关系求解．
解：∵向量a→=（﹣3，2，3），b→=（1，x，﹣1）且a→∥b→，
∴1−3=x2=−13，
解得x=−23．
故选：D．
【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
6．（2025春•常州期中）已知点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，则点B的坐标是（ ）
A．（1，﹣6，3）B．（5，4，﹣3）C．（﹣1，6，﹣3）D．（2，5，﹣3）
【考点】空间向量运算的坐标表示；空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】B
【分析】直接利用向量的坐标运算的应用求出结果．
解：设B（x，y，z），
由于点A（3，﹣1，0），若向量AB→=(2，5，−3)，
故：x−3=2y+1=5z=−3，
故B（5，4，﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．（2024秋•站前区校级期末）下列可使a→，b→，c→构成空间的一个基底的条件是（ ）
A．a→，b→，c→两两垂直B．b→=λc→
C．a→=mb→+nc→D．a→+b→+c→=0
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据基底的定义以及向量的共面定理可解．
解：要使a→，b→，c→构成空间的一个基底，则a→，b→，c→不共面，
结合选项可知，只有选项A，a→，b→，c→两两垂直可得它们不共面，可作为基底，
选项B：b→=λc→，能推出a→与b→，c→共面，则B错误，
选项C：a→=mb→+nc→满足向量的共面定理，则a→，b→，c→共面，则C错误，
选项D：a→+b→+c→=0→，则满足向量的共面定理，则a→，b→，c→共面，则D错误．
故选：A．
【点评】本题考查基底的定义以及向量的共面定理，属于基础题．
8．（2025春•张掖校级期中）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且PM＝3MG，记PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，则AM→=（ ）
A．−34a→+14b→+14c→B．−34a→+13b→+14c→
C．−14a→+14b→+14c→D．−14a→+13b→+14c→
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】结合图形，利用向量的线性运算将所求向量用基底{a→，b→，c→}表示化简即得．
解：如图，连接AG并延长交BC于点D，连接PD．
因G为△ABC的重心，PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，
故AG→=23AD→=23×12(AC→+AB→)=13(PC→−PA→+PB→−PA→)=13(c→+b→−2a→)，
又PM＝3MG，
故AM→=AG→+GM→=AG→+14(GA→+AP→)=−14PA→+34AG→
=−14a→+34×13(b→+c→−2a→)=−34a→+14b→+14c→．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•盐城校级期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若a→⋅b→＞0，则〈a→，b→〉是锐角
C．已知向量组{a→，b→，c→}是空间的一个基底，则{2a→，b→，c→−a→}也是空间的一个基底
D．已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP→=34OA→+18OB→+18OC→，则P，A，B，C四点共面
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据a→⋅b→＞0可得0≤〈a→，b→〉＜π2判断B；运用反证法思想说明2a→，b→，c→−a→不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D．
解：根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对于B，由a→⋅b→＞0，则0≤〈a→，b→〉＜π2，故B错误；
对于C，假设2a→，b→，c→−a→共面，则存在λ，μ∈R，b→=λ⋅2a→+μ(c→−a→)=(2λ−μ)a→+μc→，
因向量组{a→，b→，c→}是空间的一个基底，故不存在λ，μ∈R使得b→=(2λ−μ)a→+μc→成立，
故假设不成立，{2a→，b→，c→−a→}不共面，即{2a→，b→，c→−a→}也是空间的一个基底，故C正确；
对于D，因OP→=34OA→+18OB→+18OC→，且34+18+18=1，故P，A，B，C四点共面，即D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．
（多选）10．（2025•河北开学）已知空间中三个向量a→=(1，2，−1)，b→=(1，−2，3)，c→=(−2，1，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．|a→|=6
B．(a→+c→)⊥b→
C．b→在c→上的投影向量为(13，−16，−16)
D．cs〈a→，b→〉=−217
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，即可依次求解．
解：a→=(1，2，−1)，
则|a→|=1+4+1=6，故A正确；
向量a→=(1，2，−1)，c→=(−2，1，1)，
则a→+c→=(−1，3，0)，
b→=(1，−2，3)，
则(a→+c→)⋅b→=−7≠0，故B错误；
b→⋅c→=−1，|c→|=4+1+1=6，
故b→在c→上的投影向量为b→⋅c→|c→|×c→|c→|=−16c→=(13，−16，−16)，故C正确；
a→⋅b→=−6，|b→|=1+4+9=14，
故cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=−66×14=−217，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）11．（2024秋•青岛校级期末）已知空间四点O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），则下列说法正确的是（ ）
A．OB→⋅BC→=0
B．cs〈OA→，OB→〉=−25
C．点O到直线BC的距离为5
D．O，A，B，C四点共面
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离；空间中点到平面的距离；空间向量的共线与共面．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】ABC
【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D．
解：由题意可知，OA→=(0，1，2)，OB→=(2，0，−1)，BC→=(1，2，2)，
所以OB→⋅BC→=2×1+0×2+(−1)×2=0，故A正确；
又OA→⋅OB→=0×2+1×0+2×（﹣1）＝﹣2，|OB→|=22+(−1)2=5，|OA→|=12+22=5，
所以cs＜OA→，OB→＞=OA→⋅OB→|OA→||OB→|=−25×5=−25，故B正确；
因为OB→⋅BC→=0，所以OB→⊥BC→，|OB→|=5，所以点O到直线BC的距离为5，故C正确；
OC→=(3，2，1)，
假设若O，A，B，C四点共面，则OA→，OB→，OC→共面，
设OC→=xOA→+yOB→，因OA→，OB→不共线，
则2y=3x=22x−y=1，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
（多选）12．（2024•成都开学）已知a→，b→，c→是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A．c→，a→+c→，a→−c→B．a→，2b→，b→−c→C．a→+b→，b→+c→，c→+a→D．a→−b→，b→−c→，c→+a→
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合基底的定义，即可求解．
解：对于A，c→=12(a→+c→)−12(a→−c→)，故c→，a→+c→，a→−c→共面，不可以构成基底，故A出错误；
对于BCD，三个向量均不共面，可以构成基底，故BCD正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•兴化市期中）已知向量p→在基底{a→，b→，c→}下的坐标为（2，3，4），则p→在基底{a→+b→，b→+c→，c→}下的坐标为 （2，1，3） ．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（2，1，3）．
【分析】根据待定系数法求解即可．
解：由题意，p→=2a→+3b→+4c→，
设p→=x（a→+b→）+y（b→+c→）+zc→=xa→+（x+y）b→+（y+z）c→，
则x＝2，x+y＝3，y+z＝4，解得x＝2，y＝1，z＝3，
则p→在基底{a→+b→，b→+c→，c→}下的坐标为（2，1，3）．
【点评】本题考查空间向量的应用，属于基础题．
14．（2025春•杨浦区期中）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图建系，若DB1→的坐标为（4，3，2），则AC1→的坐标为 （﹣4，3，2） ．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（﹣4，3，2）．
【分析】根据空间向量的坐标表示可得．
解：由题意DB1→=(4，3，2)，故AD＝4，AB＝3，BB1＝3，
故C1（0，3，3），A（4，0，0），
故AC1→=(−4，3，2)，
故（﹣4，3，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标表示，属于基础题．
15．（2025春•驻马店月考）已知m∈R，向量a→=(1，m，−2)，b→=(m，2，3)，若a→⋅b→=6，则|a→|= 21 ．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】21．
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案．
解：由题意，a→⋅b→=m+2m−6=6，
解得m＝4，
则a→=（1，4，﹣2），所以|a→|=21．
故21．
【点评】本题考查空间向量的数量积，属于基础题．
16．（2024秋•新城区期末）若{e1→，e2→，e3→}是空间的一个基底，且向量a→=e1→+e2→，b→=e2→+e3→，c→=e1→+te3→不能构成空间的一个基底，则实数t＝ ﹣1 ．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】﹣1．
【分析】根据已知可设e1→+te3→=x(e1→+e2→)+y(e2→+e3→)，整理根据已知得出方程组，求解即可得出答案．
解：因为向量a→=e1→+e2→，b→=e2→+e3→，c→=e1→+te3→不能构成空间的一个基底，
所以存在实数x、y使得c＝xa+yb，即e1+te3＝x（e1+e2）+y（e2+e3），
即e1+te3＝xe1+（x+y）e2+ye3，
因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则x=1，x+y=0y=t，，解得x=1y=−1t=−1．
故﹣1．
【点评】本题考查了空间向量，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•江苏校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量kAB→−AC→与AC→互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）1413．
（2）33．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算公式求出kAB→−AC→的坐标，再根据已知(kAB→−AC→)⋅AC→=0，解得即可求得k值．
（2）根据空间向量数量积公式△ABC中角A的余弦值即cs∠BAC，进而求出sin∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可求四边形面积．
解：（1）因为A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
所以AB→=(1，4，6)−(0，2，3)=(1，2，3)，AC→=(1，5，5)−(0，2，3)=(1，3，2)，
所以kAB→−AC→=k(1，2，3)−(1，3，2)=(k−1，2k−3，3k−2)，
∵向量（kAB→−AC→）⊥AC→，∴(kAB→−AC→)⋅AC→=k−1+3(2k−3)+2(3k−2)=0，
解得k=1413．
（2）∵AB→⋅AC→=1×1+2×3+3×2=13，|AB→|=|AC→|=12+22+32=14，
∴由数量积公式得出向量夹角余弦值，即cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=1314，
则sin∠BAC=1−cs2∠BAC=3314，
以AB，AC为邻边构成平行四边形面积S＝2S△ABC，而S△ABC=12|AB→|⋅|AC→|sin∠BAC=12×14×14×3314=332，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S=2S△ABC=2×332=33．
【点评】本题考查空间向量线性运算即数量积运算，属于基础题．
18．（2025春•兴化市校级月考）已知空间三点A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5）．
（1）若向量kAB→−AC→与AC→互相垂直，求实数k的值；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）1413．
（2）33．
【分析】（1）根据空间向量坐标运算求出kAB→−AC→的坐标，依题意(kAB→−AC→)⋅AC→=0，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
（2）根据数量积公式求出三角形ABC中角A余弦值即cs∠BAC，再由面积公式求出S△ABC，即可得出平行四边形面积．
解：（1）∵A（0，2，3），B（1，4，6），C（1，5，5），
∴AB→=(1，4，6)−(0，2，3)=(1，2，3)，AC→=(1，5，5)−(0，2，3)=(1，3，2)，
∴kAB→−AC→=k(1，2，3)−(1，3，2)=(k−1，2k−3，3k−2)，
∵kAB→−AC→与AC→互相垂直，∴(kAB→−AC→)⋅AC→=k−1+3(2k−3)+2(3k−2)=0，
解得k=1413．
（2）∵AB→⋅AC→=1×1+2×3+3×2=13，|AB→|=|AC→|=12+22+32=14，
∴cs∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=1314，则sin∠BAC=1−cs2∠BAC=3314，
∴S△ABC=12|AB→|⋅|AC→|sin∠BAC=12×14×14×3314=332，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S四边形=2S△ABC=2×332=33．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属于基础题．
19．（2024秋•丽水期中）如图，在空间四边形OABC中，点D为BC的中点，2AE→=ED→，设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→．
（1）试用向量a→，b→，c→表示向量OE→；
（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求OE→⋅AB→的值．
【考点】空间向量基底表示空间向量；空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）23a→+16b→+16c→；
（2）﹣1．
【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果；
（2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果．
解：（1）∵点D为BC的中点，∴OD→=12(OB→+OC→)，
∵2AE→=ED→，∴OE→=23OA→+13OD→=23OA→+13⋅12(OB→+OC→)
=23OA→+16OB→+16OC→=23a→+16b→+16c→；
（2）∵AB→=OB→−OA→，由（1）得OE→⋅AB→=(23OA→+16OB→+16OC→)⋅(OB→−OA→)
=12OA→⋅OB→+16OB→2+16OC→⋅OB→−23OA→2−16OC→⋅OA→
=12×2×2×12+16×22+16×2×2×12−23×22−16×2×2×12=−1．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的运算律，属于中档题．
20．（2024秋•福州期中）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→
（1）试用a→，b→，c→表示向量AC→、BD1→；
（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→与BD1→所成的角的余弦值．
【考点】空间向量基底表示空间向量；空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】（1）AC→=a→+b→，BD1→=−a→+b→+c→，（2）−12．
【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解；
（2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解．
解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，设AB→=a→，AD→=b→，
AC→=AB→+AD→=a→+b→，
BD1→=BA→+AD→+DD1→=−a→+b→+c→．
（2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，AA1=2，
a→2=1，b→2=1，c→2=2，a→⋅b→=0，a→⋅c→=b→⋅c→=−22
所以|AC→|=2，
BD1→2=(−a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2+2b→⋅c→−2a→⋅b→−2a→⋅c→=4，
AC→⋅BD1→=(a→+b→)⋅(−a→+b→+c→)=−a→2+a→⋅c→+b→2+b→⋅c→=−2，
所以csAC→，BD1→=AC→⋅BD1→|AC|→|BD1→|=−222=−12，
即向量AC→与BD1→所成的角的余弦值为−12．
【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的模，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．