2026届高考数学一轮专题训练：平面向量基本定理及坐标表示 [含答案]

这是一份2026届高考数学一轮专题训练：平面向量基本定理及坐标表示 [含答案]，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知是空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A.a，，B.b，，
C.c，，D.，，
2．如图，在中，，则( )
A.B.C.D.
3．在下面的四组向量中，能作为一组基底的是( )
A.，B.，
C.，D.，
4．在平行四边形中，E为的中点，，与交于点G，若，，则( )
A.B.C.D.
5．已知向量,,则下列结论不正确的是( )
A.B.
C.D.在方向上的投影向量为
6．已知点，，.则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
7．在中,O为其内部一点,且满足,则和的面积比是( )
A.B.C.1:1D.1:3
8．在中，，，，.若，则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列结论正确的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．在等腰中，，，记，，点D，E分别是线段，的中点，且点P是线段（包括端点）上的一个动点，，则下列说法正确的是( )
A.点P运动到E点处时，
B.点P运动到线段中点处时，
C.的最小值为
D.的最大值为8
11．已知向量,,下列说法正确的有( )
A.若,则B.若,则与夹角的正弦值为
C.若,则D.若,则或16
三、填空题
12．已知向量，，且，则实数m的值为________.
13．已知，.若，则__________.
14．如图,在中,,D是上的一点,P为上一点,且,若,,则的值为________.
15．在中，，，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若，则的最大值为________.
四、解答题
16．已知，.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量，的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求k的值.
17．如图，在中，点D是的中点，，设，.
(1)用，表示，；
(2)若，，，求.
18．已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
19．在平面直角坐标系中，点，，.
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若A，B，C三点构成锐角三角形，求实数m的取值范围.
20．已知向量，，．
(1)求向量与所成角的余弦值；
(2)若，求实数k的值．
答案
1．答案：C
解析：A项，，所以a，，共面，不能构成基底，故A项错误；
B项，，所以b，，共面，不能构成基底，故B项错误；
C项，和都没有c，所以c不能用它们表示，故c，，不共面，能构成基底，故C项正确；
D项，假设，
则，所以，
解得：，，从而能用和表示，它们共面，故D项错误.
2．答案：D
解析：由，可得，
所以.
故选：D.
3．答案：A
解析：对于A，因为，
，不共线，故A正确；
对于B，因为，则，共线，故B错误；
对于C，因为，则，共线，故C错误；
对于D，因为，则，共线，故D错误.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为G在上，E为的中点，
设
，
因为A，G，F三点共线，
所以，
因为、不共线，
所以，
解得，
所以.
故选：B.
5．答案：C
解析：对于A,因为,,所以,所以,故A正确；
对于B,因为,,所以,,
所以,故B正确；
对于C,因为,,所以,所以,故C错误；
对于D,因为,,所以,,
在方向上的投影向量为,故D正确.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为，，.
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
7．答案：D
解析：取中点M,则由得,所以,O在线段上,因此,选D.
8．答案：C
解析：因为，所以D为的中点，所以.
又，所以，所以，
所以，
所以，，所以.
故选：C
9．答案：BC
解析:由，得，解得，故A错误；
由，得，解得，故B正确；
由，得，解得，故C正确；
由，得，解得，故D错误．
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：在等腰中，，，
则，
设（），以E为原点，以、分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，
由点D是线段的中点，可得到，
又，所以.
对于A：当P运动到E点处时，由点E是线段的中点，
可得，，故A正确；
对于B：点P运动到线段中点处时，
，
，此时，，，故B错误；
对于C：由，可得
，
当时，取到最小值，故C正确；
对于D：由，，，
可得，，
所以
，在上单调递增，
所以当时，取到最大值8，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BD
解析：对A,因为.所以.解得,A错误;
对B,若,则,,,则,B正确;
对C,因为.所以,解得,C错误;
对D,因为,所以,解得或16,D正确.
故选:BD.
12．答案：
解析：因为，，且，则，解得.
故
13．答案：2
解析：因为，，，所以，解得，故，，所以，所以.
14．答案：
解析：因为P,C,D三点共线,且,所以,所以,所以,
所以,
又,,,所以.
故答案为:
15．答案：
解析：记，，，
又由余弦定理得，
即，
，
由基本不等式得，，
当且仅当时等号成立，
由题意，
，
，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
故．
16．答案：(1)
(2)
(3)1
解析：（1）由，可得，，
即向量的坐标为：；
（2）因，，，
则；
（3）依题意，，即，解得.
17．答案：(1)，
(2)
解析：（1）点D是的中点，，
故，
；
（2）由（1）知，，
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，
所以，.
由，可得，即，
解得，所以，故.
（2）因为向量，，所以，所以.
则，，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为，，，
所以，，，，
因为A，B，C三点共线，所以，解得.
（2）若A，B，C三点构成锐角三角形，则A，B，C三点不可能共线，
且满足，，，
由上问得，，，，
则，，
，得到，解得，
因为A，B，C三点不可能共线，所以，综上可得.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因，，所以．
设向量与所成角为，
．
(2)∵，，
又，
∴，解得．