2026年高考数学一轮专题训练：空间直角坐标系 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：空间直角坐标系 [含答案]，共14页。
A．2B．5C．6D．6
2．（2025春•河南月考）已知点M（2，1，﹣3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则点M关于Ozx平面对称的点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1，﹣3）B．（﹣2，﹣1，﹣3）
C．（﹣2，1，3）D．（2，1，3）
3．（2025春•金坛区校级月考）在空闻直角坐标系Oxyz中，点(1，2，0)关于x轴的对称点为（ ）
A．(−1，−2，0)B．(−1，2，0)
C．(1，2，0)D．(1，−2，0)
4．（2024秋•永州期末）在空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于xOy平面的对称点P′的坐标为（ ）
A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）
C．（﹣1，2，3）D．（1，﹣2，﹣3）
5．（2024秋•肇庆期末）在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为P（4，7，4），Q（7，11，4），R（11，8，9），则该正方体的外接球球心坐标为（ ）
A．(112， 9， 4)B．(152， 152， 132)
C．(9， 192， 132)D．(11， 13， 172)
6．（2024秋•宜春校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（1，﹣2，3）关于y轴的对称点为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（﹣1，2，﹣3）
C．（﹣1，﹣2，3）D．（1，2，3）
7．（2024秋•温州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（2，3，0）B．（﹣2，3，0）C．（2，0，4）D．（0，3，4）
8．（2024秋•济宁期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣3，5）B．（1，﹣3，﹣5）
C．（﹣1，﹣3，﹣5）D．（﹣1，3，﹣5）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•南乐县期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），B（a，b，c）（与点O不重合），则下列结论正确的是（ ）
A．若点A，B关于Oxy平面对称，则a+b+c＝﹣2
B．若点A，B关于x轴对称，则a+b+c＝2
C．若OA⊥OB，则2a+b﹣c＝0
D．若OB＝AB＝1，则2a+b﹣c＝﹣3
（多选）10．（2024秋•南通月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列结论正确的是（ ）
A．点A（1，2，3）关于原点O的对称点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
B．点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，2，3）
C．点A（1，2，3）关于xOz平面对称的点的坐标为（1，﹣2，3）
D．两点A（1，2，3），B（3，2，1）间的距离为22
（多选）11．（2023秋•宝安区校级期中）如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，以点O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则（ ）
A．点O关于直线BC的对称点的坐标为（0，2，2）
B．点A关于点B的对称点的坐标为（﹣1，2，0）
C．AB→，BC→夹角的余弦值为105
D．平面ABC的一个法向量的坐标为（2，1，1）
（多选）12．（2023秋•河北月考）在空间直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．点P关于原点对称的点是（4，﹣1，﹣2）
B．点P关于x轴对称的点是（4，1，2）
C．点P关于平面Oxz对称的点是（﹣4，﹣1，2）
D．点P关于点（1，1，1）对称的点是（6，1，0）
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•宝山区校级期中）已知点O为坐标原点，OA→=(−2，−1，1)，OB→=(2，3，3)，则线段AB的中点坐标为 ．
14．（2024秋•大庆校级期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a，其中0＜a＜22．则MN的长的最小值为 ．
15．（2024秋•涪城区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是底面ABCD、侧面BCC1B1的中心，点P，Q分别是棱A1D1，A1B1所在直线上的动点，且EP⊥FQ，则PQ的最小值 ．
16．（2024秋•重庆期末）已知空间直角坐标系O﹣xyz中的一点Q（1，1，1），则点Q在平面Oyz上的射影点的坐标为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2023秋•南海区校级月考）在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，﹣1，1），B（0，1，2），C（3，1，3）．
（1）求D的坐标；
（2）求cs∠BAD．
18．（2023春•临夏县期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，A1C，如图，建立空间直角坐标系．
（1）求A1B→与B1C→的坐标；
（2）求向量A1C→在平面ABCD上的投影向量的坐标．
19．（东港区校级期末）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为(32，12，0)，D点在平面yz上，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求cs＜AD→，BC→＞的值．
20．（2010秋•七里河区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1＝1，E是A1C1与B1D1的交点．
（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；
（2）若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；
（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值．
高考数学一轮复习 空间直角坐标系
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春•南康区校级月考）已知点A（﹣1，1，2）关于y轴的对称点为M，则|OM|2＝（ ）
A．2B．5C．6D．6
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据对称得M（1，1，﹣2），即可根据两点距离公式求解．
解：点A（﹣1，1，2）关于y轴的对称点M为（1，1，﹣2），
则|OM|2＝12+12+（﹣2）2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查空间直角坐标系中点的应用，属于基础题．
2．（2025春•河南月考）已知点M（2，1，﹣3）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则点M关于Ozx平面对称的点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1，﹣3）B．（﹣2，﹣1，﹣3）
C．（﹣2，1，3）D．（2，1，3）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解．
解：由空间点对称的定义可知，点M（2，1，﹣3）关于Ozx平面对称的点的坐标为（2，﹣1，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间点的对称，属于基础题．
3．（2025春•金坛区校级月考）在空闻直角坐标系Oxyz中，点(1，2，0)关于x轴的对称点为（ ）
A．(−1，−2，0)B．(−1，2，0)
C．(1，2，0)D．(1，−2，0)
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称的特征求解．
解：在空闻直角坐标系Oxyz中，点(1，2，0)，
故点(1，2，0)关于x轴的对称点为(1，−2，0)．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：点关于线的对称，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（2024秋•永州期末）在空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于xOy平面的对称点P′的坐标为（ ）
A．（1，2，﹣3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）
C．（﹣1，2，3）D．（1，﹣2，﹣3）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】C
【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解．
解：在空间直角坐标系中，点P（﹣1，2，﹣3）关于xOy平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即P′（﹣1，2，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．
5．（2024秋•肇庆期末）在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为P（4，7，4），Q（7，11，4），R（11，8，9），则该正方体的外接球球心坐标为（ ）
A．(112， 9， 4)B．(152， 152， 132)
C．(9， 192， 132)D．(11， 13， 172)
【考点】空间两点间的距离公式；空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【正确答案】B
【分析】借助空间中两点距离公式计算可得|PQ|：|RQ|：|PR|=1：2：3，则可得PR为该正方体的体对角线，即可得该正方体的外接球球心坐标PR中点，再利用中点公式计算即可得．
解：由P（4，7，4），Q（7，11，4），R（11，8，9），
可得|PQ|=(4−7)2+(7−11)2+(4−4)2=5，
|RQ|=(11−7)2+(8−11)2+(9−4)2=52，
|PR|=(4−11)2+(7−8)2+(4−9)2=53，
则|PQ|：|RQ|：|PR|=1：2：3，
由P，Q，R为正方体的三个顶点，故PR为该正方体的体对角线，
则该正方体的外接球球心坐标即为PR中点，为(152， 152， 132)．
故选：B．
【点评】本题考查空间两点间的距离求法，属基础题．
6．（2024秋•宜春校级期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（1，﹣2，3）关于y轴的对称点为（ ）
A．（﹣1，﹣2，﹣3）B．（﹣1，2，﹣3）
C．（﹣1，﹣2，3）D．（1，2，3）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】A
【分析】结合空间点对称的性质，即可求解．
解：点（1，﹣2，3）关于y轴的对称点为（﹣1，﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间点对称的性质，属于基础题．
7．（2024秋•温州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（2，3，0）B．（﹣2，3，0）C．（2，0，4）D．（0，3，4）
【考点】空间中的点在坐标平面内的射影．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】A
【分析】在空间直角坐标系Oxyz中，点P（a，b，c）在平面xOy内射影的坐标为（a，b，0）．
解：在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，3，4）在平面xOy内射影的坐标为（2，3，0）．
故选：A．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（2024秋•济宁期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣3，5）B．（1，﹣3，﹣5）
C．（﹣1，﹣3，﹣5）D．（﹣1，3，﹣5）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】D
【分析】根据空间坐标系的概念判断．
解：由空间点对称的定义可知，点P（﹣1，3，5）关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（﹣1，3，﹣5），
故选：D．
【点评】本题主要考查空间坐标系的概念，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025春•南乐县期中）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），B（a，b，c）（与点O不重合），则下列结论正确的是（ ）
A．若点A，B关于Oxy平面对称，则a+b+c＝﹣2
B．若点A，B关于x轴对称，则a+b+c＝2
C．若OA⊥OB，则2a+b﹣c＝0
D．若OB＝AB＝1，则2a+b﹣c＝﹣3
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】BC
【分析】根据空间点对称法则求得对称点的坐标求解即可判断AB，根据空间向量垂直的坐标运算求解判断C，根据空间两点距离公式列式化简即可判断D．
解：对于选项A，若点A（2，1，﹣1），B（a，b，c）关于Oxy平面对称，
则a＝2，b＝1，c＝1，
所以a+b+c＝4，故A错误；
对于选项B，若点A（2，1，﹣1），B（a，b，c）关于x轴对称，
则a＝2，b＝﹣1，c＝1，
所以a+b+c＝2，故B正确；
对于选项C，因为点A（2，1，﹣1），B（a，b，c），
所以OA→=（2，1，﹣1），OB→=（a，b，c），
若OA⊥OB，则OA→⋅OB→=2a+b−c=0，故C正确；
对于选项D，若OB＝AB＝1，则OB2＝AB2＝1，
所以a2+b2+c2＝1，（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝1，
两式相减得2a+b﹣c＝3，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，考查了空间向量的数量级运算，属于基础题．
（多选）10．（2024秋•南通月考）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列结论正确的是（ ）
A．点A（1，2，3）关于原点O的对称点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
B．点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，2，3）
C．点A（1，2，3）关于xOz平面对称的点的坐标为（1，﹣2，3）
D．两点A（1，2，3），B（3，2，1）间的距离为22
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标；空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】由空间直角坐标系的对称性可得A、C正确，B错误；由两点间距离公式可得D正确；
解：点A（1，2，3）关于原点O的对称点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故A正确；
点A（1，2，3）关于x轴的对称点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故B错误；
点A（1，2，3）关于xOz平面对称的点的坐标为（1，﹣2，3），故C正确；
A（1，2，3），B（3，2，1），
由空间两点之间的距离公式可得，|AB|=(1−3)2+(2−2)2+(3−1)2=22，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查空间点对称的性质，以及两点之间的距离公式，属于基础题．
（多选）11．（2023秋•宝安区校级期中）如图，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，以点O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则（ ）
A．点O关于直线BC的对称点的坐标为（0，2，2）
B．点A关于点B的对称点的坐标为（﹣1，2，0）
C．AB→，BC→夹角的余弦值为105
D．平面ABC的一个法向量的坐标为（2，1，1）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】AD
【分析】对于A，设点O关于直线BC的对称点为O'，则四边形OBO'C为正方形，求出O'坐标，判断A；对于B，设点A关于点B的对称点为A'，则AA'中点为B，判断B；对于C，由AB=AC=5，BC=22，得cs∠ABC=12BCAB=25=105，判断C；对于D，求出平面ABC的一个法向量，判断D．
解：OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝2，以点O为坐标原点，
OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图，
对于A，设点O关于直线BC的对称点为O'，则四边形OBO'C为正方形，
所以O'坐标为（0，2，2），故A正确；
对于B，设点A关于点B的对称点为A'，则AA'中点为B，
由A（1，0，0），B（0，2，0）得A'（﹣1，4，0），故B错误；
对于C，由AB=AC=5，BC=22，得cs∠ABC=12BCAB=25=105，
所以AB→，BC→夹角的余弦值为−105，故C错误；
对于D，因为AB→=(−1，2，0)，AC→=(−1，0，2)，设平面ABC的一个法向量的坐标为（x，y，z），
则−x+2y=0−x+2z=0，取z＝1得平面ABC的一个法向量的坐标为（2，1，1），故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查点关于直线对称、点关于点对称、两向量夹角余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）12．（2023秋•河北月考）在空间直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．点P关于原点对称的点是（4，﹣1，﹣2）
B．点P关于x轴对称的点是（4，1，2）
C．点P关于平面Oxz对称的点是（﹣4，﹣1，2）
D．点P关于点（1，1，1）对称的点是（6，1，0）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】对应思想；向量法；立体几何；直观想象；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】利用点关于原点对称点的特点可判断A；根据点关于坐标轴的对称点的特点可判断B；利用点关于坐标平面的对称点的特点可判断C；利用点关于点的对称点的特点可判断D．
解：点P关于原点对称的点是（4，﹣1，﹣2），A正确；
点P关于x轴对称的点是（﹣4，﹣1，﹣2），B错误；
点P关于平面Oxz对称的点是（﹣4，﹣1，2），C正确；
点P关于点（1，1，1）对称的点是（6，1，0），D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中点的坐标，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•宝山区校级期中）已知点O为坐标原点，OA→=(−2，−1，1)，OB→=(2，3，3)，则线段AB的中点坐标为 （0，1，2） ．
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（0，1，2）．
【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解．
解：由题可得：A＝（﹣2，﹣1，1），B＝（2，3，3），
所以线段AB的中点坐标为（0，1，2）．
故（0，1，2）．
【点评】本题主要考查空间两点中点坐标公式的应用，属于基础题．
14．（2024秋•大庆校级期末）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a，其中0＜a＜22．则MN的长的最小值为 2 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】根据面面垂直性质可证得BC⊥平面ABEF，则以B为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间中两点间距离公式可表示出MN，将MN整理为(a−2)2+2，由二次函数最值可得结果．
解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABEF，
则以B为坐标原点，BA→，BE→，BC→为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，0，2），F（2，2，0），E（0，2，0），
∵CM＝BN＝a，∴M(a2，0，2−a2)，N(a2，a2，0)，
∴MN=(22a)2+(2−22a)2
=a2−22a+4
=(a−2)2+2(0＜a＜22)，
∴当a=2时，MN取得最小值为2．
故2．
【点评】本题考查利用空间向量法求解两点间的距离，属中档题．
15．（2024秋•涪城区校级期末）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是底面ABCD、侧面BCC1B1的中心，点P，Q分别是棱A1D1，A1B1所在直线上的动点，且EP⊥FQ，则PQ的最小值 522 ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；立体几何；运算求解．
【正确答案】522．
【分析】建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用两点间的距离公式求出当PQ取得最小值时，点P，Q的坐标，求出平面EFQ的一个法向量，利用点到平面距离的向量公式即可求解．
解：如图所示，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则E（1，1，0），F（1，2，1），设P（x，0，2），Q（2，y，2），
则EP→=（x﹣1，﹣1，2），FQ→=（1，y﹣1，1），
∵EP⊥FQ，∴EP→⋅FQ→=x−1−y+2+2=0，即x﹣y+3＝0，则y＝x+3，
又PQ→=(2−x，x+3，0)，则|PQ→|=(2−x)2+(x−3)2=2x2+2x+13，
当x=−12时，|PQ→|取得最小值，为522．
故522．
【点评】本题主要考查点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2024秋•重庆期末）已知空间直角坐标系O﹣xyz中的一点Q（1，1，1），则点Q在平面Oyz上的射影点的坐标为 （0，1，1） ．
【考点】空间中的点在坐标平面内的射影．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（0，1，1）．
【分析】根据空间中的点在坐标平面内的射影的性质即可求解．
解：点Q（1，1，1）在平面Oyz上的射影点，其x坐标为0，
y坐标和z坐标保持不变，因此射影点的坐标为（0，1，1）．
故（0，1，1）．
【点评】本题考查了空间中的点在坐标平面内的射影，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2023秋•南海区校级月考）在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点为A（0，﹣1，1），B（0，1，2），C（3，1，3）．
（1）求D的坐标；
（2）求cs∠BAD．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【正确答案】（1）（3，﹣1，2）；
（2）210．
【分析】（1）设D点坐标为（x，y，z），由AB→=DC→，列方程组求解即可；
（2）将∠BAD看成AB→与AD→的夹角，利用向量夹角公式进行计算即可．
解：（1）设D点坐标为（x，y，z），
由A（0，﹣1，1），B（0，1，2），C（3，1，3），
可得AB→=(0，2，1)，DC→=（3﹣x，1﹣y，3﹣z），
在平行四边形ABCD中，有AB→=DC→，
则有3−x=01−y=23−z=1，解得D（3，﹣1，2）；
（2）由（1）可得AD→=(3，0，1)，AB→=(0，2，1)，
所以cs∠BAD=AB→⋅AD→|AB→||AD→|=110×5=210．
【点评】本题考查坐标法进行空间向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
18．（2023春•临夏县期中）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，A1C，如图，建立空间直角坐标系．
（1）求A1B→与B1C→的坐标；
（2）求向量A1C→在平面ABCD上的投影向量的坐标．
【考点】空间中的点的坐标；空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【正确答案】（1）A1B→=(0，4，−3)；B1C→=(−4，0，−3)；
（2）（﹣4，4，0）．
【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出点A1，B，B1，C的坐标，再利用向量的坐标表示作答．
（2）根据长方体的结构特征，求出线段A1C在平面ABCD上射影即可求解作答．
解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，
依题意，A1（4，0，3），B（4，4，0），B1（4，4，3），C（0，4，0），
所以A1B→=(0，4，−3)，B1C→=(−4，0，−3)．
（2）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，连接AC，因此线段AC是线段A1C在平面ABCD上射影，如图，
即向量A1C→在平面ABCD上的投影向量为AC→，而A（4，0，0），AC→=(−4，4，0)，
所以向量A1C→在平面ABCD上的投影向量的坐标为（﹣4，4，0）．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
19．（东港区校级期末）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，原点O是BC的中点，A点坐标为(32，12，0)，D点在平面yz上，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
（Ⅰ）求D点坐标；
（Ⅱ）求cs＜AD→，BC→＞的值．
【考点】空间中的点的坐标；异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）在平面yz上，通过解直角三角形即可求得D点的坐标；
（Ⅱ）由已知A点的坐标及（Ⅰ）中求得的D的坐标，得到向量AD→的坐标，求出向量BC→的坐标，然后由向量的夹角公式求解．
解：（Ⅰ）如图，
在平面yz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H．
在△BDC中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，
得BD=12BC=1，DH=BDsin∠DBH=1×32=32，BH=12BD=12，OH=12，
∴D点坐标为(0，−12，32)；
（Ⅱ）由A(32，12，0)， D(0，−12，32)，得AD→=(−32，−1，32)，
由题设知：B（0，﹣1，0），C（0，1，0），
∴BC→=(0，2，0)，AD→⋅BC→=(−32，−1，32)⋅(0，2，0)=−2，
|AD→|=(−32)2+(−1)2+(32)2=102，|BC→|=2，
∴cs＜AD→， BC→＞ =AD→⋅BC→|AD→|⋅|BC→|=−2102×2=−105．
【点评】本题考查了空间中点的坐标的求解，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，考查了学生的计算能力，是中档题．
20．（2010秋•七里河区校级期末）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1＝1，E是A1C1与B1D1的交点．
（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；
（2）若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；
（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值．
【考点】空间两点间的距离公式；直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】（1）在面ABCD内过点B作AC的平行线BE，（或过点B作A1C1的平行线），得到此平行线即为所求作的交线l．
（2）根据条件中所给的坐标系，写出两个点的坐标，利用两点之间的距离公式写出两点之间的距离．
（3）要求线面角，包括三个过程，一作二证三求，通过垂直做出面的垂直线，得到线面角，在直角三角形中利用三角函数的定义做出正切值．
解：（1）在面ABCD内过点B作AC的平行线BE，（或过点B作A1C1的平行线）
则此平行线即为所求作的交线l
（2）B（2，2，0），E（1，1，1）
BE=3
（3）连接BE，
∵C1E⊥B1D1，C1E⊥BB1
∴C1E⊥面BDD1B1，
∴∠C1BE为BC1与面BDD1B1所成的角，
又∵C1E=2，BE=3
∴tan∠C1BE=C1EBE=23=63
【点评】本题考查直线乙平面所成的角和两点之间的距离，解决本题的关键是看出与平面垂直的线，得到线面角．