2024-2025学年浙江省绍兴市柯桥区名校七年级下学期6月期末数学试卷（解析版）

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一、选择题（每小题2分，共20分）
1.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】选项A：，故本选项错误，不符合题意；
选项B：，故本选项错误，不符合题意；
选项C：，故本选项错误，不符合题意；
选项D：，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
2.若有意义，则下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.且D.
【答案】B
【解析】∵有意义，
∴，
∴．
故选：B．
3.在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】如图，三角板与直尺分别交于点F、H．
∵，
∴．
又∵，
∴．
故选：D．
4.下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意．
B．左边为单项式，右边分解为常数与单项式的乘积，但单项式的分解不属于因式分解的范畴，不符合题意．
C．右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不符合因式分解的定义，不符合题意．
D．左边为多项式，右边化为，符合因式分解的定义，符合题意．
故选：D．
5.把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】∵
∴，
∴方程的最简公分母是，
∴把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以即可．
故选：C．
6.某校在“创新素质实践行”活动中，组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，如图是将某年级60篇学生调查报告的成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30.那么在这次评比中，被评为优秀（分数大于或等于80分为优秀，且分数为整数）的调查报告有（ ）
A.18篇B.24篇
C.25篇D.27篇
【答案】D
【解析】根据频率分布直方图，得：
分数大于80分的频率为：1-（0.05+0.15+0.35）=0.45；
所以这次评比中被评为优秀的调查报告有：60×0.45=27（篇）．
故选：D．
7.在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A：，故本选项不符合题意；
B：不是一个多项式的完全平方，故本选项符合题意；
C：，故本选项不符合题意；
D：，故本选项不符合题意；
故选：B．
8.中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：
，
故选：C．
9.作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程的解是，；的解是，；的解是，；小涛同学仔细观察上述方程及其解，猜想得到：关于x的方程的解是，．并尝试解关于x的方程．则小涛同学得到的正确的方程的解为（ ）
A.，B.，
C.，D.
【答案】B
【解析】，
原方程变为：
令左边对应右边，则，代入验证左边为，与右边相等，故是解， 令左边对应右边，则，即，与第一种情况重复；
假设，解得：
当时，左边，与右边相等，
当时，左边，与右边相等，
综上，方程的解为，，
故选：B．
10.如果甲同学的语文分数或英语分数至少有一门比乙同学高，则称甲同学不亚于乙同学．在班级45个学生中，如果某同学不亚于其他44人，就称他（她）为“潜力之星”，那么某班45个学生中的“潜力之星”最多可能有（ ）
A.22人B.23人
C.44人D.45人
【答案】D
【解析】1.分组构造：将学生分为语文组和英语组，
-语文组：每个学生的语文成绩均高于英语组所有学生的语文成绩，且组内语文成绩递减，英语成绩递增，
-英语组：每个学生的英语成绩均高于语文组所有学生的英语成绩，且组内英语成绩递减，语文成绩递增；
2.组间关系：
-语文组学生在语文科目上高于所有英语组学生，因此语文组学生不亚于英语组学生，
-英语组学生在英语科目上高于所有语文组学生，因此英语组学生不亚于语文组学生；
3.组内关系：
-语文组内，学生甲的语文成绩高于学生乙，则甲不亚于乙；乙的英语成绩高于甲，则乙也不亚于甲，
-英语组内同理，学生间通过语文或英语成绩互相不亚于对方；
4.结论：通过合理分配语文组和英语组人数（如22人和23人），所有45名学生均可满足“不亚于其他44人”的条件，因此“潜力之星”最多可能有45人．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.分解因式：4x2–1=_______________．
【答案】（2x+1）（2x–1）
【解析】原式=（2x+1）（2x–1）．
故答案为：（2x+1）（2x–1）．
12.已知，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：．
13.对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为_______．
【答案】
【解析】由新定义，得，
①，得③，
②③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴．
故答案为：．
14.若关于x的分式方程有增根，则m＝______．
【答案】
【解析】分式方程，
去分母，得，
∵分式方程有增根，
∴，
解得，
∴，
解得．
故答案为：．
15.如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时，________度．
【答案】
【解析】∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
16.对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）计算：____；
（2）若s，t都是“相异数”，其中（，都是正整数），规定：，当时，则k的值是_______．
【答案】（1）7 （2）
【解析】（1）根据“相异数”的定义可得124的三个新三位数为：214，421，142，
，
故答案为：7；
（2）∵s，t都是“相异数”，其中，
，
，
，
，
，
，都是正整数，
∴或或或，
是“相异数”，
且，
是“相异数”，
，
∴，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8小题，共62分）
17.计算下列各题：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
18.解方程（组）：
（1）；
（2）．
解：（1），
①②，得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解是．
（2）
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，
所以原分式方程的解是．
19.因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）原式，
（2）原式，
20.先化简，再求值：，其中．
解：

，
当时，原式．
21.学校为了丰富课后服务内容，欲增加一些体育专项课程，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的项目”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）在这次问卷调查中，共调查了多少名学生？
（2）求在扇形统计图中，喜欢“足球”的所占的圆心角度数；
（3）如果全校共有学生2000名，请估计该校最喜欢“排球”的学生约有多少人？
解：（1）由扇形统计图中其它部分占，条形图中其它的人数是40人，则
（名），
答：在这次问卷调查中，共调查了200名学生；
（2）扇形统计图中“足球”的比例是，
∴喜欢“足球”的所占的圆心角度数；
（3）排球的占比是，
（人），
答：估计该校最喜欢“排球”的学生约有500人．
22.已知：如图点C在的一边上，过点C的直线，平分
（1）若，求的度数；
（2）求证：平分．
解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）∵，
∴，
，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴平分．
23.根据以下素材，完成任务．
解：（1）根据题意得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：的值为15；
（2）设公司有人，公司有人，
∵（人），且，
∴，
公司人数多于100人，
由素材一收费标准分两类：
当时，，
解得（超出范围且人数为负值，不符合题意，舍去）；
当时，，
解得；
答：公司有人，公司有人．
24.一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如：
①；
②；
③
（1）仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（2）仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式；
（3）已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值．
解：（1）；
；
（2）
；
（3）解：∵，
，
因为，
所以，
即，
令，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M、N均正数，x、y均为正整数，
∴a，b为正整数，
∴或或，
当时，，此时，，
当时，，此时，（舍），
当时，，此时，（舍），
∴综上，，
∴，，
经检验，符合题意，
∴，．
素材一
促进消费，某旅行社推出“柯桥古镇一日游”活动，收费标准如下：
人数
收费标准
（元/人）
85
素材二
公司人数少于100人，公司人数多于200人，公司人数多于100人，公司比公司少160人．
素材三
四个公司分别各自参加此项活动，经核算，公司共花费7200元，公司共花费18000元；公司和公司共花费18270元，若公司联合组团只需花费17850元．
任务一
（1）求的值．
任务二
（2）公司和公司分别有多少人？