2026年高考数学第一轮专题复习：课时突破练31三角函数、解三角形中的综合问题 [含答案]

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1.(15分)(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知a=39,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
2.(15分)(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为12a(csin C+bsin B-asin A).
(1)求A;
(2)若a=2,且△ABC的周长为5,设D为边BC中点,求AD.
3.(15分)(2024·重庆三模)已知函数f(x)=3sin(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,其所对应的角为A,B,C,且f(A)=32,AB·AC=23,a=5,求该三角形的周长.
4.(15分)(2024·北京,16)在△ABC中,a=7,A为钝角,sin 2B=37bcs B.
(1)求∠A;
(2)从以下①、②和③这三个条件中选择一个作为已知,求△ABC的面积.
①b=7;②cs B=1314;③csin A=52 3.
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
答案：
1.解 (1)由已知及正弦定理,得asinA=bsinB,∵a=39,b=2,∠A=120°,
∴sin B=bsinAa=2×3239=1313.
(2)(方法一)由(1)及已知,得cs B=1-sin2B=23913,sin C=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=32cs B-12sin B=51326.由正弦定理,得c=asinCsinA=39×5132632=5.
(方法二)由余弦定理,得b2+c2-2bccs A=a2,即4+c2-2×2c×-12=39,整理,得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).
(3)∵C为锐角,∴cs C=1-sin2C=1-2552=33926.
∴sin(B-C)=sin Bcs C-cs Bsin C=1313×33926−23913×51326=-7326.
2.解 (1)依题意,12a(csin C+bsin B-asin A)=12absin C,所以csin C+bsin B-asin A=bsin C,由正弦定理可得,c2+b2-a2=bc,由余弦定理,c2+b2-a2=2bccs A,解得cs A=12,
因为A∈(0,π),所以A=π3.
(2)依题意,b+c=5-a=3,因为c2+b2-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得bc=53,
因为AD=12(AB+AC),所以AD2=14(AB+AC)2=b2+c2+bc4=(b+c)2-bc4=32-534=116,
所以AD=666.
3.解 (1)由函数f(x)=3sin(2ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π,所以2π2ω=π,即ω=1,所以f(x)=3sin(2x+π3),
令-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ,π12+kπ,k∈Z.
(2)因为f(A)=3sin2A+π3=32,所以sin2A+π3=32,
因为0