备战2024年高考数学二轮复习专题06利用导数证明不等式(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题06利用导数证明不等式(原卷版+解析)，共32页。试卷主要包含了常规不等式的证明，含n不等式的证明等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 常规不等式的证明
典例1．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)判断函数的单调性．
(2)证明：当时，．
变式1-1．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：.
变式1-3．已知函数．
(1)若，证明：在上存在唯一的零点；
(2)若，证明：当时，．
考点二 含n不等式的证明
典例2．已知函数 ．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：…
变式2-1．已知函数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：.
变式2-2．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
变式2-3．已知函数.
(1)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
(2)求证：（，e是自然对数的底数）
巩固练习
练习一 常规不等式的证明
1．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当x>0时，证明：
2．已知函数.
(1)若，讨论零点的个数；
(2)求证：当时，（注：）.
3．已知函数，.
(1)求函数的单调区间及在上的最小值；
(2)证明：当时，.
4．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求证：．
练习二 含n不等式的证明
5．已知函数.
(1)若恒成立，求实数k的取值范围；
(2)证明：(，).
6．已知函数在处取得极值
(1)求函数的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
7．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
8．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)证明：对任意的正整数，.
第六篇 导数
专题06 利用导数证明不等式
常见考点
考点一 常规不等式的证明
典例1．已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1)判断函数的单调性．
(2)证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，求出的值，然后分别解不等式、，可得出函数的增区间和减区间；
（2）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数求得，可证得结论成立.
(1)
解：因为，所以，解得，所以．
函数的定义域为，令，得；令，得．
所以函数的增区间为，减区间为.
(2)
证明：要证，即证，只需证．
令，其中，
则．
令，则，所以在上单调递增．
因为，，
所以存在，使，可得，
当时，，即，则在上单调递减；
当时，，即，则在上单调递增．
所以．
所以，所以．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
变式1-1．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）构造函数，求出单调性，极值，最值，得到结果；（2）在第一问求解的基础上，通过变形得到，再经过放缩证明出不等式.
(1)
．理由如下：
设，则．
由，得；由，得．
在上单调递减，在上单调递增，则函数在x=0处取得极小值，也是最小值，
故，即，当且仅当时，等号成立．
(2)
证明：由（1）可知，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立．
，从而，即，当且仅当时，等号成立．
故．
因为，所以，
因为，所以，所以，
即，即．
【点睛】
导函数证明不等式，放缩是一种常见方法，常见的放缩有切线放缩，最值放缩等，比如本题中所用的，（）为切线放缩，而为最值放缩.
变式1-2．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，得到和，进而求得切线的方程；
（2）令，利用导数求得单调性，得到，即，得到，再令，利用导数求得单调性，得到，两式相加，即可求解.
(1)
解：当时，函数，
可得，所以，
因为，所以切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即曲线在点处的切线方程.
(2)
证明：令，则，
当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，则①.
令，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以②，
①②可得，即.
变式1-3．已知函数．
(1)若，证明：在上存在唯一的零点；
(2)若，证明：当时，．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数判断出函数的单调性，再由零点存在性定理求证即可；
（2）求出函数导数，分析当时，导数大于等于0，利用函数单调递增，求出函数的最小值即可证明.
(1)
当时，，故，
，
当时，，所以函数在上单调递减，
又，，由零点存在性定理知，
在上存在唯一的零点.
(2)
，
，
当时，，
令，
当时，，，
当时，令，则，
故时，，单调递增；时，，单调递减，
故当时，，，
，
综上可知，时，，故，在时单调递增，
所以，即当时，．
考点二 含n不等式的证明
典例2．已知函数 ．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：…
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用换元法，结合导数以及复合函数的单调性，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）当时，根据的单调性得到，结合累加法证得.当时，根据的单调性得到，结合累加法证得.从而证得原不等式成立.
(1)
令，∵
①当时，对任意都有是 上的增函数，
由于当时，是增函数，当时，是减函数，
由复合函数的单调性知，在单调递减，在单调递增；
②当，对任意都有是 上的减函数，
从而在单调递增，在单调递减；
③当时，则，
则在递增，在递减
从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减.
综上所述，①当时，在递增，在递减；
②当时，从而在区间和单调递增，
在区间和单调递减；
③当时，在单调递减，在单调递增；
(2)
①当时，由（1）知，在单调递减，
令，有，即
累加得.
②当时，由（1）知，在单调递增，
令，有，即
累加得
从而对任意都成立．
【点睛】
证明有两个不等号的不等式成立，可分别证明这两个不等式连接的式子成立，从而证得不等式成立.复合函数的单调性可以根据“同增异减”来判断.
变式2-1．已知函数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）等价于，即，记，只要证明即可，分，和三种情况讨论函数的最值，从而可得出答案；
（2）由（1）可知当时，在上成立，即，令，则，由此即可证得结论.
(1)
解：等价于，即，
记，则，
当时，，在上单调递增，
由，，
所以，即不恒成立；
当时，则，当时，，
所以在上单调递增，
则，
所以不恒成立；
当时，，，在上单调递减，
所以，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，实数的取值范围是；
(2)
证明：当时，在上成立，即，
令，则，
所以
，
所以.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题和不等式的证明问题，考查了利用导数解决函数的最值问题，考查了分类讨论思想和转换思想，有一定的难度.
变式2-2．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数几何意义先求出，再求导解不等式可得单调区间；
（2）将问题转化为f(x)max≤g(x)max，再分别求最大值建立不等式即可求解；
（3）根据（1）中的不等式放缩，再通过裂项相消法求和可证明.
(1)
由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x(1，＋∞)时，f′(x)