【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 复数 [含答案]

这是一份【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 复数 [含答案]，共2页。试卷主要包含了若z=5+i，则i=等内容，欢迎下载使用。
A.2B.5
C.22D.10
2.(2024·全国甲卷)若z=5+i，则i(z+z)=( )
A.10iB.2i
C.10D.2
3.(2025·大连一模)已知a∈R，i为虚数单位，若a−i3+i为实数，则a=( )
A.-3B.13
C.3D.-13
4.(2023·全国乙卷)设z=2+i1+i2+i5，则z=( )
A.1-2iB.1+2i
C.2-iD.2+i
5.已知复数z满足|z-i|=|z|，则|z|的最小值为( )
A.14B.12
C.34D.1
6.已知复数z=10−5ai1−2i(i为虚数单位)的实部与虚部之和为4，则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
7.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为( )
A.23B.3
C.3D.1
8.(2025·龙岩质检)已知(cs θ+isin θ)n=cs nθ+isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R).若复数z满足z·csπ9+isinπ96=2，则|z|=( )
A.1B.2
C.3D.4
9.(2025·锦州模拟)[多选]已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A.若|z1|=|z2|，则z12=z22
B.若z1-z2>0，则z1>z2
C.若复数z2满足z2=5i2−i+5i，则z2在复平面对应的点是(-1，7)
D.若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则p=8
10.[多选]已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则( )
A.z0的实部为35
B.z0的虚部为45
C.满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π
D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为34
11.复数2+4i1+i(其中i为虚数单位)的虚部为 .
所以复数2+4i1+i的虚部为1.
12.已知复数z满足z-1+i=1-i(i为虚数单位)，则复数z的模为 .
13.(2024·深圳二模)已知复数z满足z2+z+1=0，则z·z= .
14.设复数z满足|z|=1，且ω=z+1z−1，则1ω2+4ω2的最小值为 .
（解析）精练（三十八） 复 数
1.(2025·宁波模拟)已知复数z=a-i的实部与虚部相等，则|z-i|=( )
A.2B.5
C.22D.10
解析:选B 易知z=a-i的实部为a，虚部为-1，由题意可知a=-1，则|z-i|=|-1-i-i|=|-1-2i|=(−1)2+(−2)2=5.故选B.
2.(2024·全国甲卷)若z=5+i，则i(z+z)=( )
A.10iB.2i
C.10D.2
解析:选A 因为z=5+i，所以z=5-i，所以i(z+z)=10i，故选A.
3.(2025·大连一模)已知a∈R，i为虚数单位，若a−i3+i为实数，则a=( )
A.-3B.13
C.3D.-13
解析:选A 因为a−i3+i=(a−i)(3−i)(3+i)(3−i)=3a−1−(a+3)i10=3a−110-a+310i为实数，则-a+310=0，即a+3=0，所以a=-3.故选A.
4.(2023·全国乙卷)设z=2+i1+i2+i5，则z=( )
A.1-2iB.1+2i
C.2-iD.2+i
解析:选B 因为z=2+i1+i2+i5=2+i1−1+i=−i(2+i)−i2=1-2i，所以z=1+2i，故选B.
5.已知复数z满足|z-i|=|z|，则|z|的最小值为( )
A.14B.12
C.34D.1
解析:选B 设z=x+yix，y∈R，由|z-i|=|z|得|x+y−1i|=|x+yi|，∴x2+y−12=x2+y2，整理可得y=12.∴z=x+12i.∴|z|=x2+14≥12(当且仅当x=0时取等号).∴|z|的最小值为12.故选B.
6.已知复数z=10−5ai1−2i(i为虚数单位)的实部与虚部之和为4，则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:选C z=10−5ai1−2i=(10−5ai)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+2a+(4-a)i，所以实部和虚部之和等于(2+2a)+(4-a)=6+a=4，解得a=-2，从而z=-2+6i，z=-2-6i.故z在复平面内对应的点为−2，−6，位于第三象限.
7.已知复数z1，z2和z满足|z1|=|z2|=1，若|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|，则|z|的最大值为( )
A.23B.3
C.3D.1
解析:选B 根据题意，得|z|=|z2−z-z2|≤|z2-z|+|z2|=|z1-1|+1≤|z1|+1+1=3，当z1=-1，z2=1，z=3时，|z1-z2|=|z1-1|=|z2-z|=2，此时|z|=3，所以|z|max=3.故选B.
8.(2025·龙岩质检)已知(cs θ+isin θ)n=cs nθ+isin nθ(i为虚数单位，n∈N*，θ∈R).若复数z满足z·csπ9+isinπ96=2，则|z|=( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:选B 由题意可得，csπ9+isinπ96=cs 2π3+isin 2π3=-12+32i，所以z·−12+32i=2，则z=2−12+32i=2−12−32i=-1-3i，所以|z|=−12+−32=2.故选B.
9.(2025·锦州模拟)[多选]已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A.若|z1|=|z2|，则z12=z22
B.若z1-z2>0，则z1>z2
C.若复数z2满足z2=5i2−i+5i，则z2在复平面对应的点是(-1，7)
D.若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则p=8
解析:选CD 若|z1|=|z2|，则z12=z22不一定成立，比如z1=1-i，z2=2i，满足|z1|=|z2|=2，但z12=-2i，z22=-2，不满足z12=z22，A错误；比如z1=2+i，z2=1+i，满足z1-z2=1>0，由复数定义可知，两个复数不能比大小，故z1，z2大小无法判断，B错误；z2=5i2−i+5i=5i(2+i)(2−i)(2+i)+5i=-1+2i+5i=-1+7i，所以z2在复平面对应的点是(-1，7)，C正确；若z1=-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则-4-3i为方程另一个根，故-p=(-4-3i)+(-4+3i)=-8，即p=8，D正确.故选CD.
10.[多选]已知复数z0满足i3z0=−2+i1−2i，则( )
A.z0的实部为35
B.z0的虚部为45
C.满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π
D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为34
解析:选AC 因为i3z0=−2+i1−2i，所以-iz0=−2+i1−2i，所以z0=−2+i−i(1−2i)=2−i2+i=3−4i5，z0的实部为35，z0的虚部为-45，所以A正确，B错误；因为|z0|=1，所以满足|z|≤|z0|的复数z对应的点所在区域的面积为π，所以C正确；z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为−4535=43，所以D错误.故选AC.
11.复数2+4i1+i(其中i为虚数单位)的虚部为 .
解析:2+4i1+i=(2+4i)(1−i)(1+i)(1−i)=6+2i2=3+i，
所以复数2+4i1+i的虚部为1.
答案:1
12.已知复数z满足z-1+i=1-i(i为虚数单位)，则复数z的模为 .
解析:由题意，得z=1-i+1+i=2，∴|z|=2.
答案:2
13.(2024·深圳二模)已知复数z满足z2+z+1=0，则z·z= .
解析:因为z2+z+1=z+122+34=0，即z+122=-34=±32i2，
所以z=-12-32i或z=-12+32i.
若z=-12-32i，则z=-12+32i，则z·z=−12−32i−12+32i=14+34=1；
若z=-12+32i，则z=-12-32i，则z·z=−12+32i−12−32i=14+34=1.综上所述，z·z=1.
答案:1
14.设复数z满足|z|=1，且ω=z+1z−1，则1ω2+4ω2的最小值为 .
解析:设z=a+bi(a，b∈R)，由已知可得a2+b2=1，ω=z+1z−1=(z+1)(z−1)(z−1)(z−1)=a2+b2−2bi−1(a−1)2+b2=1−2bi−1(a−1)2+1−a2=−2bi2−2a=ba−1i.设t=ba−1，则ω=ti，ω2=-ba−12=-t2，所以1ω2+4ω2=1t2+4t2≥4，当且仅当t2=12，即ba−12=12时，等号成立.
答案:4