2026年高考数学一轮专题训练：复数1 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：复数1 [含答案]，共14页。
A．−12B．−32C．−12iD．−32i
2．（2024春•镜湖区校级月考）在复平面内，复数（2+i）（1+3i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024秋•武昌区校级学业考试）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则|z1+2z2|＝（ ）
A．1B．2C．5D．2+1
4．（2024秋•洛宁县校级月考）已知复数z满足3+iz=1−i，则|z|＝（ ）
A．5B．2C．3D．2
5．（2024秋•龙凤区校级月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．z•i＝2﹣i
B．复数z的共轭复数是1﹣2i
C．z2的实部为5
D．|z|＝5
6．（2024秋•沙坪坝区校级月考）记复数z的共轭复数为f（z），满足条件z•f（z）≤4的所有复数在复平面上所占的面积是（ ）
A．πB．2πC．4πD．8π
7．（2024秋•海淀区期中）若复数z满足 z⋅i=21+i，则z＝（ ）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i
8．（2024秋•巴南区校级期中）已知复数z满足3z+z+2=0，则|3z|=（ ）
A．3B．1C．33D．3
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•浙江期中）对于复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若z2≥0，则z∈R
B．若|z|＝1，则z+1z∈R
C．若z3＝1，则z＝1
D．|z﹣2+i|表示复平面上z对应的点到点（2，﹣1）的距离
10．（2025春•海安市期中）已知z1，z2∈C，则（ ）
A．z1z2=z1z2B．z1﹣z2＞0⇔z1＞z2
C．|z1z2|=|z1||z2|D．|z1|+|z2|≥|z1+z2|
11．（2025春•镇海区校级期中）已知z1，z2是复数．则下列结论正确的是（ ）
A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
B．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
C．(z1+z2)2=(z1+z2)2
D．|z1+z2|2+|z1−z2|2=2|z1|2+2|z2|2
12．（2025春•浙江期中）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z＝a+bi＝r（csθ+isinθ），r=|z|=a2+b2≥0，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为z1＝r1（csθ1+isinθ1），z2＝r2（csθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]（ ）
A．−1+i=2(cs3π4+isin3π4)
B．ω0是方程ω3＝1的虚数根，则ω02=ω0
C．|z|＝1，则|z2+z+1|的范围为[34，3]
D．满足z2025＝（z+1）6＝1的复数z有且只有2个
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•上城区校级期中）复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为 ．
14．（2025•虹口区二模）已知z是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的一个虚根，且|z﹣1|＝2，若z在复平面上所对应的点在抛物线y2＝4x上，则p＝ ．
15．（2024春•徐汇区校级期末）若复数z满足：z2＝4﹣3i，则|z|＝ ．
16．（2024春•徐汇区校级期末）已知复数z1，z2，z3的模长都为1，且复数z1z2的实部为18，则|z1+z2+z3|的最大值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•河南期中）如图，zA=2+23i，zB=−1+3i在复平面内对应的点分别为A，B，坐标原点为O，点C(1+32，3+332)．
（1）证明：AC→⊥BC→；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点F在线段BC的延长线上，且bc⋅AF→=k(b⋅BA→+c⋅AC→)，k＞0，求CFAB+AC的值．
18．（2025春•南京校级期中）已知复数z1，z2，其中z2=z1+1z1．
（1）若z1＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z1为纯虚数，求复数z1；
（2）若z1为虚数，z2为实数，且﹣1≤z2≤1，求z1实部的取值范围．
19．（2025春•宝山区校级期中）已知z∈C，i为虚数单位．定义f（z）＝|Rez﹣lmz|，g（z）＝|Rez|+|Imz|．
（1）计算f（i），g（2+3i）；
（2）求集合A＝{z||z|≤1，f（z）＜f（iz）}在复平面上对应的区域的面积；
（3）若g（z﹣1+2i）＝1，求|z|的最大值．并求当|z|取得最大值时f（z）的值．
20．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式，即a=rcsθb=rsinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，OZ→所在射线为终边的角），我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r（csθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式，算数三角形式的乘法公式，
r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（csθ+isinθ）]n＝rn（csnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知u=csπ3+isinπ3，w=22+22i，求uw+uw3的辐角的主值；
（2）复数m1，m2满足|m1|＝|m2|＝3，argm1+2π3=argm2，求|（m1m2→）10+（m2m1→）10|；
（3）设多边形A1A2⋯An是单位圆的内接正n边形，点P是单位圆上任意的一点，求
|PA1→|2+|PA2→|2+⋯+|PAn→|2的值．
（参考公式：当n∈N*且x≠1时，有+x+x2+x3+...+xn−1=1−xn1−x）．
复数
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025•沅江市校级模拟）已知i为虚数单位，则复数z=3−i2+i3的虚部为（ ）
A．−12B．−32C．−12iD．−32i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】B
【分析】求出复数z=32−32i，得到虚部．
解：因为z=3−i2+i3=32−i2−i=32−32i，
所以z的虚部为−32．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2．（2024春•镜湖区校级月考）在复平面内，复数（2+i）（1+3i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】B
【分析】利用复数的乘法求出复数，再确定复数对应的点所在的象限．
解：因为（2+i）（1+3i）＝﹣1+7i，故对应点在第二象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（2024秋•武昌区校级学业考试）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则|z1+2z2|＝（ ）
A．1B．2C．5D．2+1
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】C
【分析】设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，a2，b1，b2∈R），根据复数的模长公式以及复数相等可得出a12+b12=1a22+b22=1a1a2+b1b2=0，通过计算可得出|z1+2z2|=5，即可得解．
解：设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，a2，b1，b2∈R），
因为|z1|＝|z2|＝1，所以|z1|2=a12+b12=1，|z2|2=a22+b22=1，
因为z1+z2＝（a1+a2）+（b1+b2）i，z1﹣z2＝（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i，
因为|z1﹣z2|＝|z1+z2|，所以(a1+a2)2+(b1+b2)2=(a1−a2)2+(b1−b2)2，
即a12+a22+2a1a2+b12+b22+2b1b2=a12+a22−2a1a2+b12+b22−2b1b2，
即a1a2+b1b2＝0，
所以z1+2z2＝（a1+b1i）+2a2+2b2i＝（a1+2a2）+（b1+2b2）i，
所以|z1+2z2|=(a1+2a2)2+(b1+2b2)2=a12+4a1a2+4a22+b12+4b1b2+4b22，
=(a12+b12)+4(a22+b22)+4a1a2+4b1b2=1+4+0=5
因此，|z1+2z2|=5．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的模，属于中档题．
4．（2024秋•洛宁县校级月考）已知复数z满足3+iz=1−i，则|z|＝（ ）
A．5B．2C．3D．2
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法求出复数z，再利用复数模的公式计算|z|．
解：复数z满足3+iz=1−i，则z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，|z|=12+22=5．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于中档题．
5．（2024秋•龙凤区校级月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则下列结论正确的是（ ）
A．z•i＝2﹣i
B．复数z的共轭复数是1﹣2i
C．z2的实部为5
D．|z|＝5
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】B
【分析】由复平面内对应的点，得复数z，通过复数的乘法，复数模的计算，共轭复数和复数实部的定义，验证各选项的结论．
解：复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则z＝1+2i，
z•i＝（1+2i）•i＝﹣2+i，A选项错误；
z=1−2i，B选项正确；
z2＝（1+2i）2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，z2的实部为﹣3，C选项错误；
|z|=12+22=5，D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，复数的概念，属于基础题．
6．（2024秋•沙坪坝区校级月考）记复数z的共轭复数为f（z），满足条件z•f（z）≤4的所有复数在复平面上所占的面积是（ ）
A．πB．2πC．4πD．8π
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】C
【分析】由|z|2＝z•f（z）≤4，得到|z|＝2求解．
解：由题意得：|z|2＝z•f（z）≤4，
所以|z|＝2，
即复数z的在复平面上对应的点构成的图形是一个半径为2的圆面，
所以其面积为S＝πR2＝4π．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
7．（2024秋•海淀区期中）若复数z满足 z⋅i=21+i，则z＝（ ）
A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1﹣iD．1+i
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】A
【分析】由复数的除法法则计算即可．
解：由z•i=21+i，两边同时乘以﹣i，得z=−2i1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−2i(1−i)2=−1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于中档题．
8．（2024秋•巴南区校级期中）已知复数z满足3z+z+2=0，则|3z|=（ ）
A．3B．1C．33D．3
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】D
【分析】先求得z，进而求得则|3z|．
解：设z＝a+bi，a，b∈R，依题意3a+bi+a+bi+2=0，
3(a−bi)(a+bi)(a−bi)+a+bi+2=0，
3aa2+b2+a+2+(b−3ba2+b2)i=0，
所以3aa2+b2+a+2=0b−3ba2+b2=0，解得a＝﹣1，b2＝2，
则|3z|=3|z|=3a2+b2=33=3．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春•浙江期中）对于复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若z2≥0，则z∈R
B．若|z|＝1，则z+1z∈R
C．若z3＝1，则z＝1
D．|z﹣2+i|表示复平面上z对应的点到点（2，﹣1）的距离
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），然后逐一分析四个选项得答案．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），
对于A，由z＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi≥0，得a2−b2≥02ab=0，则a＝b＝0或a≠0b=0，即z∈R，故A正确；
对于B，若|z|＝1，即a2+b2＝1，则z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a−bia2+b2=a+bi+a﹣bi＝2a∈R，故B正确；
对于C，若z3＝1，则z＝1或z=−12±32i，故C错误；
对于D，|z﹣2+i|＝|z﹣（2﹣i）|，表示复平面上z对应的点到点（2，﹣1）的距离，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
10．（2025春•海安市期中）已知z1，z2∈C，则（ ）
A．z1z2=z1z2B．z1﹣z2＞0⇔z1＞z2
C．|z1z2|=|z1||z2|D．|z1|+|z2|≥|z1+z2|
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】CD
【分析】直接利用复数的运算求出结果．
解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a、b、c、d∈R），
对于A：z1z2=(a+bi)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)i，z1⋅z2=(a−bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad−bc)i，故A错误；
对于B：复数是不能比较大小的，故B错误；
对于C：|z1z2|=|a+bic+di|=|(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)|=(ac+bdc2+d2)2+(bc−adc2+d2)2=|z1||z2|=a2+b2c2+d2，故C正确；
对于D：根据三角不等式，|z1|+|z2|≥|z1+z2|，当z1和z2方向相同时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（2025春•镇海区校级期中）已知z1，z2是复数．则下列结论正确的是（ ）
A．若z1﹣z2＞0，则z1＞z2
B．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
C．(z1+z2)2=(z1+z2)2
D．|z1+z2|2+|z1−z2|2=2|z1|2+2|z2|2
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】BD
【分析】直接利用复数的运算求出结果．
解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a、b、c、d∈R），
对于A：由于复数不能比较大小，故A错误；
对于B：若z1z2＝0，故根据复数的性质，若两个复数的乘积为0，至少一个复数为0，故B正确；
对于C：(z1+z2)2=(a+c)2−（b+d）2+2（a+c）（b+d）i，(z1+z2)2=(a+c)2−(b+d)2−2(a+c)(b+d)i，故C错误；
对于D：根据复数的运算，|z1+z2|2+|z1−z2|2=2a2+2b2+2c2+2d2=2|z1|2+2|z2|2，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2025春•浙江期中）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z＝a+bi＝r（csθ+isinθ），r=|z|=a2+b2≥0，θ∈[0，2π）．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为z1＝r1（csθ1+isinθ1），z2＝r2（csθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]（ ）
A．−1+i=2(cs3π4+isin3π4)
B．ω0是方程ω3＝1的虚数根，则ω02=ω0
C．|z|＝1，则|z2+z+1|的范围为[34，3]
D．满足z2025＝（z+1）6＝1的复数z有且只有2个
【考点】复数的三角表示；复数的运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】ABD
【分析】根据复数三角函数形式即可判断A；通过解方程求解验证即可判断B，利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D．
解：于A；由z＝﹣1+i，∴r＝|z|＝|﹣1+i|=2，
复数z＝﹣1+i位于第二象限，其辐角为3π4，
所以﹣1+i=2（cs3π4+isin3π4），故A对；
由ω3＝1得（ω﹣1）（ω2+ω+1）＝0，
可得ω＝1或ω2+ω+1＝0，
由ω2+ω+1＝0得ω=−2±3i2，
因为ω0是方程ω3＝1的虚数根，
不妨设ω0=−1+3i2，所以ω=−1−3i2，ω02＝（−1+3i2）2=−1−3i2=ω0，故B对；
因为|z|＝1，令z＝csθ+isinθ，
则|z2+z+1|＝|cs2θ+isin2θ+csθ+isinθ+1|
=(cs2θ+csθ+1)2+(sin2θ+sinθ)2
=3+4csθ+2cs2θ
=1+4csθ+4cs2θ
=(1+2csθ)2=|1+2csθ|，
又csθ∈[﹣1，1]，所以1+2csθ∈[﹣1，3]，
所以|1+2csθ|∈[0，3]，故C错；
z2025＝1的解是单位圆上的2025次单位根，
即所有复数z满足|z|＝1，且辐角为2kπ2025，其中k＝0，1，⋯，2024，
所以z＝eiθ，θ=2kπ2025，k∈{0，1，2，…，2024}，这些点均匀分布在单位圆上，
令ω＝z+1⇒ω6＝1，所以ω是6 次单位根：ω＝eiθ，φ=2mπ6，m∈{0，1，2…，5}，
所以z＝ω﹣1＝eiφ﹣1，
这些点是以﹣1为中心、半径为1的圆上的6 个点，
因为z2025＝（z+1）6＝1，
所以|eiφ﹣1|＝1，即(csφ−1)2+sin2φ=1，解得csφ=12，
则φ=2mπ6，m∈{0，1，2⋯，5}中，满足csφ=12的φ为：φ=π3，φ=5π3，
当φ=π3时，z＝csφ+isinφ﹣1=12+32i﹣1=−12+32i，
所以z3＝1，所以z2025＝（z3）675＝1；
当φ=5π3时，z＝csφ+isinφ﹣1=12−32i﹣1=−12−32i，
可得z3＝1，所以z2025＝（z3）675＝1，
综上，满足条件的复数共2个；故D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查复数的运算性质的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•上城区校级期中）复数z1，z2满足|z1﹣1|＝|z1+i|，|z2﹣2|＝1，则|z1﹣z2|的最小值为 2−1 ．
【考点】复数的加、减运算及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】2−1．
【分析】由题意分别求出复数z1，z2对应点的轨迹，再由点到直线的距离公式列式求解．
解：满足|z1﹣1|＝|z1+i|的复数z1对应的点是以A（1，0），B（0，﹣1）为端点的线段的垂直平分线，
由A，B的中点坐标为（12，−12），kAB＝1，
得AB的垂直平分线方程为y+12=−（x−12），
即y＝﹣x．
满足|z2﹣2|＝1的复数z2对应的点是以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，
则圆心（2，0）到直线y＝﹣x的距离为d=|2|1+1=2，
∴|z1﹣z2|的最小值为2−1．
故2−1．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
14．（2025•虹口区二模）已知z是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的一个虚根，且|z﹣1|＝2，若z在复平面上所对应的点在抛物线y2＝4x上，则p＝ ﹣2 ．
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】﹣2．
【分析】利用|z﹣1|＝2和抛物线y2＝4x求出复数z，然后代入方程x2+px+q＝0即可求出 p＝﹣2．
解：设z＝a+bi，因为z在复平面上所对应的点在抛物线y2＝4x上，
所以b2＝4a，a＞0，因为|z﹣1|＝|a﹣1+bi|＝2，
故（a﹣1）2+b2＝4，即（a﹣1）2+4a＝4，解得：a＝1或a＝﹣3（舍去），
故b2＝4a＝4，b＝±2，
当z＝1+2i时，代入方程x2+px+q＝0，得（1+2i）2+p（1+2i）+q＝0，
即p+q﹣3+（2p+4）i＝0，故2p+4＝0，p＝﹣2，
当 z＝1﹣2i时，代入方程x2+px+q＝0得，（1﹣2i）2+p（1﹣2i）+q＝0，
即p+q﹣3﹣（2p+4）i＝0，故2p+4＝0，p＝﹣2，
综上可得，p＝﹣2．
故﹣2．
【点评】本题考查了复数的几何意义，是中档题．
15．（2024春•徐汇区校级期末）若复数z满足：z2＝4﹣3i，则|z|＝ 5 ．
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【正确答案】5．
【分析】直接利用复数的运算求出结果．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），
所以a2﹣b2+2abi＝4﹣3i，整理得a2−b2=42ab=−3，
解得b2=12a2=92，
故|z|=a2+b2=5．
故5．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（2024春•徐汇区校级期末）已知复数z1，z2，z3的模长都为1，且复数z1z2的实部为18，则|z1+z2+z3|的最大值为 52 ．
【考点】复数的运算；复数的模．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】52．
【分析】根据不等式|z1+z2|≤|z1|+|z2|求解即可．
解：因为z1，z2，z3，的模长都为1，
所以|z1z2|=1，又z1z2的实部为18，所以z1z2的虚部可能为±378，
所以z1z2=18±378i，
所以z1＝（18±378i）z2，所以|z1+z2+z3|＝|（18±378i）z2+z2+z3|＝|（98±378i）z2+z3|
≤|（98±378i）z2|+|z3|＝|（98±378i）|•|z2|+|z3|=32+1=52．
故52．
【点评】本题考查了复数的几何意义，复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春•河南期中）如图，zA=2+23i，zB=−1+3i在复平面内对应的点分别为A，B，坐标原点为O，点C(1+32，3+332)．
（1）证明：AC→⊥BC→；
（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点F在线段BC的延长线上，且bc⋅AF→=k(b⋅BA→+c⋅AC→)，k＞0，求CFAB+AC的值．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）2−3．
【分析】（1）由复数的几何意义求得各点的坐标，得到向量AC→，BC→坐标，再根据数量积运算即可证明；
（2）由bc⋅AF→=k(b⋅BA→+c⋅AC→)，可得AF→=k(BA→c+AC→b)，易得FA是∠BAC的补角的平分线，过F作 FH⊥AB交BA的延长线于点H，可得AF平分∠CAH，再结合几何性质求解即可．
解：（1）证明：由复数的几何意义可得A(2，23)，B(−1，3)，
又C(1+32，3+332)，
故BC→=(3+32，3+32)，
AC→=(3−32，3−32)，
故AC→⋅BC→=(3−3)(3+3)4+(3−3)(3+3)4=0，
故AC→⊥BC→；
（2）由bc⋅AF→=k(b⋅BA→+c⋅AC→)，可得AF→=k(BA→c+AC→b)，
易得FA是∠BAC的补角的平分线，
过F作 FH⊥AB交BA的延长线于点H，可得AF平分∠CAH，
又AC→⋅BC→=0，故AC⊥BC，
故 FC＝FH，AC＝AH，
故CFAB+AC=CFAB+AH=FHBH=tan∠ABC，
又tan∠ABC=|AC→||BC→|=2(3−32)2(3+32)=3−33+3=2−3，
故CFAB+AC=2−3．
【点评】本题考查了复数的几何意义，是中档题．
18．（2025春•南京校级期中）已知复数z1，z2，其中z2=z1+1z1．
（1）若z1＝3+bi（b∈R），且（1+3i）•z1为纯虚数，求复数z1；
（2）若z1为虚数，z2为实数，且﹣1≤z2≤1，求z1实部的取值范围．
【考点】复数的除法运算；纯虚数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】（1）z1＝3+i；
（2）{a|−12≤a≤12}．
【分析】（1）根据纯虚数的定义来确定复数z1；
（2）先设出z1的表达式，再根据z2为实数得出相关等式，最后结合z2的取值范围求出z1实部的取值范围．
（1）已知z1＝3+bi，则（1+3i）•z1＝（1+3i）•（3+bi）．
（1+3i）•（3+bi）＝3+bi+9i+3bi2＝3+bi+9i﹣3b＝（3﹣3b）+（b+9）i，
因为（1+3i）•z1为纯虚数，可得3−3b=0b+9≠0．
解得b＝1．所以z1＝3+i．
（2）设z1＝a+bi（a，b∈R，且b≠0）．
则z2=z1+1z1=a+bi+1a+bi．
可得：1a+bi=a−bi(a+bi)(a−bi)=a−bia2+b2．
所以z2=a+bi+a−bia2+b2=a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i．
因为z2为实数，所以虚部为0，即b−ba2+b2=0．
因为b≠0，b可得1−1a2+b2=0，即a2+b2＝1．
此时z2=a+aa2+b2=a+a=2a．
又因为﹣1≤z2≤1，即﹣1≤2a≤1，可得−12≤a≤12，
故z1实部的取值范围为{a|−12≤a≤12}．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题．
19．（2025春•宝山区校级期中）已知z∈C，i为虚数单位．定义f（z）＝|Rez﹣lmz|，g（z）＝|Rez|+|Imz|．
（1）计算f（i），g（2+3i）；
（2）求集合A＝{z||z|≤1，f（z）＜f（iz）}在复平面上对应的区域的面积；
（3）若g（z﹣1+2i）＝1，求|z|的最大值．并求当|z|取得最大值时f（z）的值．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解；新定义类．
【正确答案】（1）1；5；
（2）π2；
（3）|z|取得最大值10，f（z）＝4．
【分析】（1）由已知定义即可直接求解；
（2）设z＝x+yi，x，y∈R，由f（z）＜f（iz）得|x﹣y|＜|﹣y﹣x|＝|x+y|，所以x，y同号．结合|z|≤1．可得集合A在复平面上对应的区域，再求面积即可；
（3）g（z﹣1+2i）＝g（x﹣1+（y+2）i）＝|x﹣1|+|y+2|＝1，再对x，y分情况讨论，求|z|2的最值即可．
解：（1）f（i）＝|0﹣1|＝1，g（2+3i）＝|2|+|3|＝5．
（2）设z＝x+yi，x，y∈R，
由f（z）＜f（iz）得|x﹣y|＜|﹣y﹣x|＝|x+y|，所以x，y同号．
因为|z|≤1．所以集合A在复平面上对应的区域为单位圆在第一象限，第三象限内的部分，
面积为π2；
（3）g（z﹣1+2i）＝g（x﹣1+（y+2）i）＝|x﹣1|+|y+2|＝1，
下面对绝对值里面进行分情况讨论：
①当x≤1，y≥﹣2时，|x﹣1|+|y+2|＝1﹣x+y+2＝1，即y＝x﹣2，
此时|z|2＝x2+y2＝x2+（x﹣2）2＝2（x﹣1）2+2，当x＝0时取得大值2；
②当x≤1，y≤﹣2时，|x﹣1|+|y+2|＝1﹣x﹣y﹣2＝1，即y＝﹣x﹣2，
此时|z|2＝x2+y2＝x2+（﹣x﹣2）2＝2（x+1）2+2，当x＝1时取得最大值10；
③当x≥1，y≥﹣2时，|x﹣1|+|y+2|＝x﹣1+y+2＝1，即y＝﹣x，
此时|z|2＝x2+y2＝2x2，当x＝2时取得最大值22；
④当x≥1，y≤﹣2时，|x﹣1|+|y+2|＝x﹣1﹣y﹣2＝1，即y＝x﹣4，
此时|z|2＝x2+y2＝x2+（x﹣4）2＝2（x﹣2）2+8，当x＝1时取得最大值10，
所以复数z在复平面内对应的点的轨迹如下：
综上，当x＝1，即z＝1﹣3i时，|z|取得最大值10，
此时，f（z）＝f（1﹣3i）＝|1﹣（﹣3）|＝4．
【点评】本题考查了复数的几何意义，新定义问题，是中档题．
20．（2025春•沙坪坝区校级期中）如图，复数z＝a+bi（a，b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（csθ+isinθ）的形式，即a=rcsθb=rsinθ，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角（以x非负半轴为始边，OZ→所在射线为终边的角），我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r（csθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式，算数三角形式的乘法公式，
r1（csθ1+isinθ1）•r2（csθ2+isinθ2）＝r1r2[cs（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
棣莫佛提出了公式：[r（csθ+isinθ）]n＝rn（csnθ+isinnθ），其中r＞0，n∈N*．
（1）已知u=csπ3+isinπ3，w=22+22i，求uw+uw3的辐角的主值；
（2）复数m1，m2满足|m1|＝|m2|＝3，argm1+2π3=argm2，求|（m1m2→）10+（m2m1→）10|；
（3）设多边形A1A2⋯An是单位圆的内接正n边形，点P是单位圆上任意的一点，求
|PA1→|2+|PA2→|2+⋯+|PAn→|2的值．
（参考公式：当n∈N*且x≠1时，有+x+x2+x3+...+xn−1=1−xn1−x）．
【考点】复数的三角表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【正确答案】（1）5π6；
（2）320；
（3）2n．
【分析】（1）由题意结合复数的三角形式的运算即可求解；
（2）不妨设m1＝3（csθ+isinθ），则m2=3[cs(θ+2π3)+isin(θ+2π3)]，代入|（m1m2→）10+（m2m1→）10|结合复数的三角形式的运算即可求解；
（3）不失一般性，设P在An，A1间的劣弧上，设∠A1OP＝α，则有：|PA1→|2=2−2csα，|PA2→|2=2−2cs(α+2πn)，…，|PAn→|2=2−2cs(α+2(n−1)nπ)，
令z＝csα+isinα，m=cs2πn+isin2πn，显然有mn＝1，再结合复数虚部的概念求解即可．
解：（1）由题意可得：u=12+32i，
uw+uw3＝uw（1+w2）＝（12+32i）（22+22i）（1+i）=2(−32+12i)=2（cs5π6+isin5π6），
所以uw+uw3的辐角的主值为5π6；
（2）不妨设m1＝3（csθ+isinθ），则m2=3[cs(θ+2π3)+isin(θ+2π3)]，
m1＝3（csθ﹣isinθ）＝3[cs（﹣θ）+isin（﹣θ）]，
m2→=3[cs(θ+2π3)−isin(θ+2π3)]=3[cs(−θ−2π3)+isin(−θ−2π3)]，
所以m1m2=9[cs(−2π3)+isin(−2π3)]，m2m1=9(cs2π3+isin2π3)，
所以(m1m2)10=320[cs(−20π3)+isin(−20π3)]，(m2m1)10=320(cs20π3+isin20π3)，
所以|(m1m2)10+(m2m3)10|=|320×2×cs20π3|=|320×2×cs2π3|=320；
（3）不失一般性，设P在An，A1间的劣弧上，设∠A1OP＝α，
则有：|PA1→|2=2−2csα，|PA2→|2=2−2cs(α+2πn)，…，|PAn→|2=2−2cs(α+2(n−1)nπ)，
令z＝csα+isinα，m=cs2πn+isin2πn，
显然有mn＝1，
设S=csα+cs(α+2πn)+⋯+cs(α+2(n−1)πn)，
则S是复数z+z•m+z•m2+⋯+z•mn﹣1的虚部，
计算z+z⋅m+z⋅m2+⋯+z⋅mn−1=z⋅1−mn1−m=0，
所以 S＝0，
故|PA1→|2+|PA2→|2+⋯+|PAn→|2=2n−2S=2n．
【点评】本题考查了复数的几何意义，复数的三角形式，是中档题．