2026年云南省初中学业水平考试数学模拟试卷（含解析）

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一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若零上记作，则零下可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正负数可用来表示一对具有相反意义的量，根据已知零上温度的记法，即可推出零下温度的记法.
【详解】解：∵零上与零下是具有相反意义的量，零上记作，即用正数表示零上温度，
∴零下温度用负数表示，因此零下可记作.
2. 地球与月球之间的平均距离约为384400公里，数据384400用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的定义是将一个数表示为的形式，其中，为整数，确定和的值即可求解.
【详解】解：∵将原数转化为符合的形式，需要将小数点向左移动位，
∴可得，，即．
3. 如图，直线，被直线所截，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行的性质，令与交于点，根据题意得到，再根据对顶角的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：令与交于点，
∵， ，
∴∠1=∠CGE=30° ，
∴∠2=180°−∠CGE=150° ．
4. 若反比例函数的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、四象限D. 第二、三象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴函数图象过二、四象限，故B正确．
故选：B．
本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限．
5. 如图所示的图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A. 正方体B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的形状特征，主视图、左视图、俯视图均为正方形，结合常见几何体的三视图进行判断即可．
【详解】解：∵主视图、左视图、俯视图均为正方形，
∴该几何体是正方体．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方，需逐一验证各选项的正确性．根据合并同类项、单项式乘除法及幂的乘方逐一分析判断即可．
【详解】解：选项A：．合并同类项需满足相同次数，但与次数不同，无法合并，结果应为，故A错误．
选项B：．单项式乘法中，系数相乘（），变量部分指数相加（），结果为，故B正确．
选项C：．单项式除法中，系数相除（），变量部分指数相减（），结果为，但选项写为，符号错误，故C错误．
选项D：．幂的乘方需对系数和变量分别乘方：系数为，变量为，结果应为，但选项写为，系数错误，故D错误．
故选：B．
7. 如图，这是小明家的一个挂钟，钟面的外沿是正八边形，则该正八边形的内角和的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求解即可．
【详解】解∶ 该正八边形的内角和的度数为∶．
8. 学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，根据题意直接求解即可．
【详解】解：根据表格得，选择哪吒的学生最多，
∴这样决定依据的统计量是众数．
故选C．
9. 如图，在中，已知，分别是，边上的点，且．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
10. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
11. 函数的自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，根据分式分母不为零的条件列不等式求解即可得到结果.
【详解】解：∵函数是分式，分式的分母不能为，
∴，
解得.
12. 按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察单项式的系数和指数可知，系数与项数相同，指数也与项数相同，据此可得答案．
【详解】解：第1个单项式为，
第2个单项式为，
第3个单项式为，
第4个单项式为，
……，
以此类推可知第个单项式是．
13. 若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的性质，结合弧长公式列方程求解母线长．
【详解】解：设该圆锥的母线长为
∵圆锥底面半径为
∴圆锥底面周长为，
∵圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图圆心角为直角，即，
∴
解得
∴该圆锥母线长为．
14. 普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意可得．
15. 如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：是的直径，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
16. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
17. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【详解】关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，
已知点的坐标为，
因此点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为.
18. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,若AC=6，BD=8,则菱形ABCD的周长是_____．
【答案】20
【解析】
【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，
∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4，
∴AB=5，
∴菱形ABCD的周长=4×5=20．
故答案为20．
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键．
19. 为推动“双减”政策落实，切实解决学生负担，严格控制作业时间．政教处拟对全校560名学生每天做作业所用时间进行调查，调查人员随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图所示的统计图，根据统计图可以估计这所学校学生“双减”政策落实后，每天做作业时间不少于1小时的人数为___________．
【答案】160人
【解析】
【分析】利用560乘以每天做作业时间不少于1小时的人数所占的百分比即可得．
【详解】解：（人），
即估计这所学校学生“双减”政策落实后，每天做作业时间不少于1小时的人数为160人，
故答案为：160人．
本题考查了条形统计图、利用样本估计总体，读懂条形统计图是解题关键．
三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式
21. 如图，在中，，，于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定．根据，，得到，，根据，得到，结合，利用即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
，
，
在和中，
．
22. 学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？
【答案】
甲的单价为元．
【解析】
【分析】设甲的单价为元，则乙的单价为元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设甲的单价为元，则乙的单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，是的解，
∴甲的单价为元．
23. 小明与小强计划暑假去云南省旅游，他们有两个地方可以选择，一个是去西双版纳，一个是去丽江，为了决定去哪个地方旅游，他们用玩“摸球”游戏的方式来确定去哪里．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除数字外，其他都相同），小明先从这个箱子里任意摸出一个小球，小球上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除数字外，其他都相同），小强再从该箱子里任意摸出一个小球，小球上的数字记为．若，则去西双版纳旅游，若，则去丽江旅游．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果；
（2）求他们去西双版纳旅游的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意即可画出树状图；
（2）根据树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：画树状图为：
∴所有可能出现的结果为
【小问2详解】
解：由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中的结果数有3种，
∴他们去西双版纳旅游的概率．
24. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形．
（2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵菱形，，，
∴，
∴∠ADO=12ADC=30° ，
∵，
∴，
∴，
∴．
25. 根据以下素材，探究完成任务1和任务2．
问题解决
（1）任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价．
（2）任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？
【答案】（1）甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元
（2）购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元
【解析】
【分析】（1）利用二元一次方程组求解单价，根据两个购买总费用的条件列出方程组，解方程组即可得到结果；
（2）利用一次函数性质解决方案最值问题，先根据乙数量的限制条件得到甲数量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性得到最小值及对应方案．
【小问1详解】
解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元．
根据题意可得
解得
答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元．
【小问2详解】
解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个．
由题意得
解不等式得
因为是非负整数，
所以的最大取值为66．
总费用
因为，
所以随的增大而减小．
当时，最小，
此时，（元）
答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，，且与均为整数，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）将点代入中，得出，由，且与均为整数，求出m的值进而即可求点的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点
∴，
解得
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：点在抛物线上，
满足，即，则，
，且与均为整数，
，
或，
或，
时，；时，，
综上，点A的坐标为或．
27. 如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分．

（1）求的度数；
（2）求证：是的切线；
（3）若，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求的值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理可得，，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论；
（3）先证明，可得，如图，过作交的延长线于，证明，可得，可得，，证明，，证明，在中，证明，从而可得结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
【小问3详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，过作交的延长线于，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴
，
∴，
在中，
，
∴．
本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关键．
角色
孙悟空
哪吒
唐僧
杨戬
投票人数
10
20
12
6
主题：方案选择与最低费用
6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶．
素材1
已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元．
素材2
已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元．
素材3
据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半．