2026年云南省大理州初中学业水平模拟测试 数学 试题卷（含解析）

这是一份2026年云南省大理州初中学业水平模拟测试 数学 试题卷（含解析），共28页。试卷主要包含了本卷为试题卷等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟）
注意事项：
1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．若水库的水位升高3米时，水位变化记作米，则水位下降5米时，水位变化可记作（ ）
A. 8米B. 2米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】已知升高的记法，即可得到下降的记法．
【详解】水位下降5米时，水位变化记作米．
2. 地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得到答案．
【详解】解：．
3. 如图，直线与直线、都相交．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图：
由对顶角相等可得，
∵，
∴．
4. 反比例函数y＝﹣的图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第一、四象限
C. 第二、三象限D. 第二、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k＞0，位于一、三象限；k＜0，位于二、四象限．
【详解】解：∵y＝﹣，k＝﹣1＜0，
∴函数图象过二、四象限．
故选：D．
本题考查反比例函数的图象和性质，解题关键是明确反比例函数y＝，k＞0，图象位于一、三象限；k＜0，图象位于二、四象限．
5. 下列计算正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关规则逐一判断选项即可．
【详解】解：A、根据合并同类项法则，同类项合并时字母与字母的指数不变，系数相加，，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故选项正确；
D、表示9的算术平方根，结果为非负数，，故选项错误；
6. 如图，与交于点，且．若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定与性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵与交于点，且，
∴，
∵，
∴．
7. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可．
【详解】解：选项A的主视图是正方形；
选项B的主视图是三角形；
选项C的主视图是矩形；
选项D的主视图是圆．
故选：B．
8. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别观察分式的分子、分母、a的指数与序号n的关系，即可归纳得到第n个代数式．
【详解】解：第1个代数式为，分子等于序号1，分母等于序号1加1，a的指数等于序号1；
第2个代数式为，分子等于序号2，分母等于序号2加1，a的指数等于序号2；
第3个代数式为，分子等于序号3，分母等于序号3加1，a的指数等于序号3；
．．．
∴第个代数式中，分子为，分母为，的指数为，即第个代数式为．
9. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：根据被开方数为非负数，可知
解得：
故选：C．
10. 下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正方形D. 线段
【答案】B
【解析】
【详解】解：等腰三角形沿底边中线所在直线折叠，直线两旁部分可完全重合，是轴对称图形，故A不符合题意；
普通直角三角形不存在能使它折叠后完全重合的直线，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形，
选项B中直角三角形泛指任意直角三角形，不一定是轴对称图形，故B符合题意；
正方形沿对边中点连线或对角线折叠可完全重合，是轴对称图形，故C不符合题意；
线段沿它的中垂线或自身所在直线折叠可完全重合，是轴对称图形，故D不符合题意；
11. 某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为1.68米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 丙班D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查方差的意义，方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，只需比较三个班身高数据的方差大小即可得出结论．
【详解】∵ ，，，且 ，
∴ ．
∵ 方差越小，数据的波动越小，身高越整齐，
∴ 参赛学生的身高比较整齐的班级是丙班．
12. 蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：．
13. 小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为，则生日帽的外表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥侧面积的计算公式（其中为侧面积，为底面圆半径，为母线长），计算即可得出结果．
【详解】解：∵测得圆锥底面半径为，母线长为，
∴生日帽的外表面积为．
14. 如图，在中，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：在中，，，，
∴．
15. 某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，再结合已知总场数列方程判断正确选项．
【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场，
又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次，
∴总比赛场数为，
已知总比赛场数为36，因此列方程得．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图：连接，
，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴．
17. 分解因式：___
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】解：．
故答案为：．
18. 如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
若，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形，
故答案为：．
19. 某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了________份作品．
【答案】120
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，解题关键是找到已知数量与对应百分比，利用“总数 = 部分数量 ÷ 对应百分比”求解．
【详解】解：条形图中，等级的作品数量为份；
扇形图中，等级的作品占比为；
所以样本总量为，
即一共抽取了份作品．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：
【答案】8
【解析】
【详解】解：
．
21. 如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明，进而证明，进而得出结论．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
22. 云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？
【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时
【解析】
【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，
根据题意，得：
解得：
经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求，
此时
答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时．
23. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片．
（1）请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数；
（2）求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到答案；
（2）找到符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，分别是
【小问2详解】
解：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种等可能结果，分别为，
（抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）．
答：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为．
24. 如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可；
（2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴，
∵，
四边形是平行四边形．
∵
平行四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵，
，
∵，，
在中，，
，
，
∵四边形是菱形，
，
又∵，
在中，，
，
．
25. 请你根据下列素材，完成有关任务．
请完成下列任务：
（1）任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？
（2）任务二：请给出最节省费用的购买方案．
【答案】（1）每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元
（2）当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低
【解析】
【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可；
（2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可．
【小问1详解】
解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，
，解得，，
答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元；
【小问2详解】
解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，
，
购买男款的数量不超过购买女款数量的
，解得
随的增大而增大，
当时，的值最小
当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低，
此时，购买男款扎染服饰套．
当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低．
26. 已知抛物线经过点，设、是常数．
（1）求的值（用含的式子表示）；
（2）点和点是抛物线上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值．
【答案】（1）
（2）或2
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质及代数式的化简与求值．
（１）将已知点的坐标代入二次函数解析式中，即可用含的式子表示；
（２）先根据关于的表达式求出二次函数解析式，再将和分别代入解析式，结合化简的表达式，最后根据为整数且求出的所有整数值．
【小问1详解】
解：抛物线经过点
；
【小问2详解】
且
，
点和点是抛物线上的任意两点
，





的值为整数
，
或2．
27. 如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为．
（1）当，求；
（2）求证：是的切线；
（3）在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在常数，，使等式成立，且，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可；
（2）连接，结合角平分线证明，得到，根据切线的判定定理进行即可证明；
（3）连接，，证明，则，进一步得到，结合，即可证明结论．
【小问1详解】
解：是的直径，
，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
【小问3详解】
解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下：
连接，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
∵，
，
，
，
，
∵，
，．背景
大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信．
素材一
经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元．
素材二
购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元；
素材三
该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的．