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云南省2023年（最新改革题型）初三学业水平模拟考试数学卷(含解析)
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这是一份云南省2023年（最新改革题型）初三学业水平模拟考试数学卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了下列实数是无理数的是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
云南省2023年（最新改革题型）初三学业水平模拟考试数学卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．2
2．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×104
4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
6．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．一组数据5、2、8、2、4，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．2，2 B．3，2 C．2，4 D．4，2
8．若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D是BC上一点，∠BAD＝∠C，tan∠ADB＝3，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣； ③在运动过程中，点H的运动路径的长π，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．分解因式：a3﹣ab2＝ ．
14．为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程，现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率 ．
15．把一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是 ．
16．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若AC＝2，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．（6分）计算：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点C作CE∥AB，且CE＝AD，连接AE．求证：AE＝BD．
19．（7分）“双减”政策实施后，为丰富学生的学习生活，某校数学组增设拓展课，计划成立“思维挑战”、“神奇幻方”、“智力谜题”、“画板几何”和“数学家们”五个拓展课，为了了解学生报名意向，随机抽查了部分学生进行调查问卷，要求每位学生选择其中一个课程．并将结果绘制成如下不完整的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数；
（2）求扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有990名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“思维挑战”拓展课的学生人数．
20．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
21．（7分）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出30件，通过市场调查，该商售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（x为5的倍数）
（1）若日销售盈利为4200元，为尽快减少库存，x的值应为多少；
（2）设日销售盈利为Q元，当x为何值时，Q取值最大，最大值是多少？
22．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
23．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+mx+8的图象交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图象于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且．点E是线段AB上的动点（B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB′E．
（1）当∠BED＝60°时，若点B'到y轴的距离为，求此时二次函数的表达式；
（2）若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．
24．（8分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求a：b及∠AEC的度数．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．1是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别，逐一判断即可．
【解答】解：∵A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项D不正确．
故选：B．
3．【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
【解答】解：356000＝3.56×105，
故选：A．
4．【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝120°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
5．【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．
故选：D．
6．【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面，左面看得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是2，1，2，
所以该几何体的左视图是：
．
故选：A．
7．【分析】根据中位数、众数的意义，分别进行计算即可．
【解答】解：这5个数从小到大排列后处在第3位的数是4，因此中位数是4，出现次数最多的数2，因此众数是2，
故选：D．
8．【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，用360°除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：任意多边形的外角和是360°，
因为多边形是正多边形，
所以多边形的每个外角相等等于45°，
则多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故选：C．
9．【分析】根据∠B＝90°，tan∠ADB＝3可设BD＝x，则AB＝3x，根据勾股定理可知AD＝x，故可得出sin∠BAD的度数，再由∠BAD＝∠C即可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝90°，tan∠ADB＝3，
∴＝3，
设BD＝x，则AB＝3x，AD＝＝＝x，
∴sin∠BAD＝＝＝，
∵∠BAD＝∠C，
∴sinC＝．
故选：B．
10．【分析】关键描述语是：有两块面积相同的试验田．等量关系为：第一块的亩数＝第二块的亩数．
【解答】解：第一块试验田的亩数为：；第二块试验田的亩数为：．
那么所列方程为：＝．
故选：C．
11．【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，k＝4，
故选：C．
12．【分析】①四边形ABCD是矩形，CH⊥BP，得到∠BAP＝∠CHB＝∠ABC＝90°，则∠ABP＝∠HCB＝90°﹣∠CBH，即可求解；
②由AH+HE≥AE，即可求解；
③如图2，点H的运动路径为以BC的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧，进而求解．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，CH⊥BP，
∴∠BAP＝∠CHB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB＝90°﹣∠CBH，
∴△ABP∽△HCB，
故①正确；
②如图1，取BC的中点E，连接EH，AE，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD＝2，
∴HE＝BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝，
∵AH+HE≥AE，
∴AH+≥，
∴AH≥﹣，
∴AH的最小值是﹣，
故②正确；
③如图2，点H的运动路径为以BC的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧，
当点P与点D重合时，则BP为与矩形ABCD的对角线BD重合，
∴BP扫过的面积为S△ABD＝AB•AD＝×2×2＝2，
∵∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠EBH＝∠EHB＝30°，
∴∠BEH＝180°﹣∠EBH﹣∠EHB＝120°，
则点H运动的路径长为：＝，
故③正确，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
14．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“戏曲”和“棋类”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设器乐、戏曲、棋类分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”，即B和C的结果有2种，
∴恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率为＝．
故答案为：．
15．【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数关系式为y＝﹣2x+3﹣2＝﹣2x+1，
故答案为：y＝﹣2x+1．
16．【分析】根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，点D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：如图，连接CD，
在Rt△ACB中，
∵AC＝BC＝2，
∴AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，
∵CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．【分析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
【解答】解：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0
＝2+×﹣2﹣1
＝2+3﹣2﹣1
＝2．
18．【分析】根据 根据平行线的性质得出∠BAD＝∠ACE，然后利用全等三角形的判定即证明△CEA≌△ADB，最后利用全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△CEA和△ADB中，
，
∴△CEA≌△ADB（SAS），
∴AE＝BD．
19．【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“数学家们”的人数为30人，占调查人数的15%，可求出调查人数；
（2）用360°乘“智力谜题”所占比例即可得出扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），
答：本次被抽查学生的总人数为200人；
（2）360°×＝108°．
∴扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）990×＝99（名），
答：估计全校选择“思维挑战”拓展课的学生人数约99名．
20．【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
21．【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本价）×数量列出方程求解即可；
（2）根据利润＝（售价﹣成本价）×数量列出Q关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，（200﹣x﹣120）（30+2x）＝4200，
∴（80﹣x）（x+15）＝2100，
解得x1＝45，x2＝20，
∵为尽快减少库存，
∴x的值应为45；
（2）由题意得，Q＝（200﹣x﹣120）（30+2x）＝﹣2x2+130x+2400，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝﹣＝＝时，Q取最大值，
∵x为5的倍数，
∴当x＝30或35时，Q取值最大，最大值是4500．
22．【分析】（1）连接OD、AD，可证明∠ODA＝∠BAD，则OD∥AB，所以∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线EF为⊙O的切线；
（2）先证明△FDC∽△FAD，得＝，则AF＝＝8，所以2OA＝AC＝6，则OD＝OD＝OA＝3，而OF＝OC+CF＝5，再由OD∥AB，得＝＝，所以DE＝DF＝，则⊙O的半径长为3，ED的长为．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，EF⊥OD，
∴直线EF为⊙O的切线．
（2）解：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠FDC+∠ODC＝90°，∠FAD+∠OCD＝90°，
∴∠FDC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴＝，
∵CF＝2，DF＝4，
∴AF＝＝＝8，
∴2OA＝AC＝AF﹣CF＝8﹣2＝6，
∴OD＝OD＝OA＝3，
∴OF＝OC+CF＝3+2＝5，
∵OD∥AB，
∴＝＝，
∴DE＝DF＝×4＝，
∴⊙O的半径长为3，ED的长为．
23．【分析】（1）作B'F⊥AB于F，先确定A（0，8），根据矩形的性质可得∴CB＝AO＝8，可得出BD＝6，利用锐角三角函数求出，根据翻折的性质得到∠B'ED＝60°，，利用三角函数求出，根据已知可得，然后分两种情况：点B'在y轴右侧时和点B'在y轴左侧时，分别确定点B的坐标即可得出结论；
（2）分两种情况讨论：当点B'在x轴上方时，当点B'在x轴下方时，即可得解．
【解答】解：（1）作B'F⊥AB于F，
∵二次函数y＝x2+mx+8的图象交y轴于点A，
∴当x＝0时，y＝8，
∴OA＝8，A（0，8），
又∵AB平行于x轴，BC垂直于x轴，
∴四边形AOCB是矩形，
∴CB＝AO＝8，∠ABC＝90°，
∵，
∴BD＝6，
∵∠BED＝60°，
∴，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴∠B'ED＝∠BED＝60°，，
∴∠B'EF＝180°﹣∠B'ED﹣∠BED＝60°，
在Rt△B′EF中，
，
∵点B'到y轴的距离为，
∴，
当点B'在y轴右侧时，
∵，
∴，
∵点B在二次函数y＝x2+mx+8的图象上，
∴，
解得：，
∴，
当点B'在y轴左侧时，此时E与A重合，
∴，
∴，
∵点B在二次函数y＝x2+mx+8的图象上，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，二次函数的表达式为或．
（2）如图 2，当点B'在x轴上方时，
过点B'作FG⊥AB，分别交AB、x轴于点F、G，作DH⊥FG，垂足为H，
∴四边形HGCD和四边形BFHD是矩形，
∴HG＝CD＝2，FH＝BD＝6，BF＝DH，
∵点B'到x轴的距离为3，
∴B'G＝3，
∴B'H＝B'G﹣HG＝3﹣2＝1，
∴B'F＝FH﹣B'H＝6﹣1＝5，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴DB'＝DB＝6，∠DB'E＝∠DBE＝90°，
在Rt△B′EF中，
，
在Rt△EFB'和Rt△B'HD中，
∠FB'E+∠HB'D＝90°，∠HDB'+∠HB'D＝90°，
∴∠FB'E＝∠HDB'，
又∵∠EFB'＝∠B'HD＝90°，
∴△EFB'∽△B'HD，
∴，即，
∴，
∴，
如图 3，当点B'在x轴下方时，
过点B'作MN∥AB，作EM⊥MN，垂足为M，延长BC交MN于点N，
∴四边形BEMN是矩形，
∴EM＝BN，BE＝MN，
∵点B'到x轴的距离为3，
∴NC＝3，
∴DN＝CD+CN＝2+3＝5，
∴EM＝BN＝BD+DN＝6+5＝11，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴DB'＝DB＝6，∠DB'E＝∠DBE＝90°，
在Rt△B'ND中，
，
在Rt△EMB'和Rt△B'ND中，
∠MB'E+∠DB'N＝90°，∠NDB'+∠DB'N＝90°，
∴∠MB'E＝∠NDB'，
又∵∠EMB'＝∠B'ND＝90°，
∴△EMB'∽△B'ND，
∴，即，
∴，
∵点E在AB上有且只有一个位置，
∴，
∵AB平行于x轴，且A（0，8），
∴当y＝8时，x2+mx+8＝8，
解得：x1＝0，x2＝﹣m，
∴A（﹣m，8），
∴AB＝﹣m﹣0＝﹣m，
∴，
∴．
∴m的取值范围是．
24．【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE＝45°和∠BAC＝45°，则∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即，
解得：a＝b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG＝∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC＝∠ACB＝45°．
解法二：同理得a与b的比，根据a＝b，BE＝BF，得BE＝BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BP＝BF，
∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中，
∵，
∴△APE≌△CFE，
∴EA＝EC；
（2）△ACE是直角三角形，理由是：
如图2，∵P为AB的中点，
∴PA＝PB，
∵PB＝PE，
∴PA＝PE，
∴∠PAE＝45°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
（3）解法一：如图3，设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP＝PG＝a﹣b，BG＝a﹣（2a﹣2b）＝2b﹣a，
∵PE∥CF，
∴，即，
解得：a＝b，
∴a：b＝：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB＝45°，
∴HG＝AG＝（2b﹣2b）＝（2﹣）b，
又∵BG＝2b﹣a＝（2﹣）b，
∴GH＝GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG＝∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG＝∠BCG，
∴∠AEC＝∠ACB＝45°．
解法二：如图4，连接BE，
易得a＝b，
∴a：b＝：1，
∵BE＝BF＝b，
∴BE＝a＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠FBE＝∠BCE+∠BEC＝45°，
∴∠BCE＝22.5°，
∴∠AEC＝2∠PEC＝2∠BCE＝45°．
云南省2023年（最新改革题型）初三学业水平模拟考试数学卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．﹣2 B．1 C． D．2
2．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×106 D．35.6×104
4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3
6．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．一组数据5、2、8、2、4，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．2，2 B．3，2 C．2，4 D．4，2
8．若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D是BC上一点，∠BAD＝∠C，tan∠ADB＝3，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连接BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣； ③在运动过程中，点H的运动路径的长π，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．分解因式：a3﹣ab2＝ ．
14．为了响应国家“双减”政策，某校在课后延时服务时段新开发了器乐、戏曲、棋类三大类兴趣课程，现学校从这三类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，则恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率 ．
15．把一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的新图象对应的函数表达式是 ．
16．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若AC＝2，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．（6分）计算：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0．
18．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，过点C作CE∥AB，且CE＝AD，连接AE．求证：AE＝BD．
19．（7分）“双减”政策实施后，为丰富学生的学习生活，某校数学组增设拓展课，计划成立“思维挑战”、“神奇幻方”、“智力谜题”、“画板几何”和“数学家们”五个拓展课，为了了解学生报名意向，随机抽查了部分学生进行调查问卷，要求每位学生选择其中一个课程．并将结果绘制成如下不完整的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被抽查学生的总人数；
（2）求扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数；
（3）若该校共有990名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“思维挑战”拓展课的学生人数．
20．（7分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
21．（7分）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出30件，通过市场调查，该商售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元．（x为5的倍数）
（1）若日销售盈利为4200元，为尽快减少库存，x的值应为多少；
（2）设日销售盈利为Q元，当x为何值时，Q取值最大，最大值是多少？
22．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED、AC交于点F．
（1）求证：直线EF为⊙O的切线．
（2）若CF＝2，DF＝4，求⊙O的半径和ED长．
23．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+mx+8的图象交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图象于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且．点E是线段AB上的动点（B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB′E．
（1）当∠BED＝60°时，若点B'到y轴的距离为，求此时二次函数的表达式；
（2）若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．
24．（8分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB＝a，BP＝b，求a：b及∠AEC的度数．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．1是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别，逐一判断即可．
【解答】解：∵A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项D不正确．
故选：B．
3．【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
【解答】解：356000＝3.56×105，
故选：A．
4．【分析】由两直线平行同位角相等得到∠1＝∠3＝120°，再根据∠2和∠3互为邻补角求出∠2的度数．
【解答】解：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝120°，
∴∠3＝120°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
5．【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、（a+1）2＝a2+2a+1，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、2a2•a＝2a3，故D符合题意．
故选：D．
6．【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面，左面看得到的图形即可．
【解答】解：该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是2，1，2，
所以该几何体的左视图是：
．
故选：A．
7．【分析】根据中位数、众数的意义，分别进行计算即可．
【解答】解：这5个数从小到大排列后处在第3位的数是4，因此中位数是4，出现次数最多的数2，因此众数是2，
故选：D．
8．【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，用360°除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：任意多边形的外角和是360°，
因为多边形是正多边形，
所以多边形的每个外角相等等于45°，
则多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故选：C．
9．【分析】根据∠B＝90°，tan∠ADB＝3可设BD＝x，则AB＝3x，根据勾股定理可知AD＝x，故可得出sin∠BAD的度数，再由∠BAD＝∠C即可得出结论．
【解答】解：∵∠B＝90°，tan∠ADB＝3，
∴＝3，
设BD＝x，则AB＝3x，AD＝＝＝x，
∴sin∠BAD＝＝＝，
∵∠BAD＝∠C，
∴sinC＝．
故选：B．
10．【分析】关键描述语是：有两块面积相同的试验田．等量关系为：第一块的亩数＝第二块的亩数．
【解答】解：第一块试验田的亩数为：；第二块试验田的亩数为：．
那么所列方程为：＝．
故选：C．
11．【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．
【解答】解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），
则，点D的坐标为（），
∴，
解得，k＝4，
故选：C．
12．【分析】①四边形ABCD是矩形，CH⊥BP，得到∠BAP＝∠CHB＝∠ABC＝90°，则∠ABP＝∠HCB＝90°﹣∠CBH，即可求解；
②由AH+HE≥AE，即可求解；
③如图2，点H的运动路径为以BC的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧，进而求解．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，CH⊥BP，
∴∠BAP＝∠CHB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝∠HCB＝90°﹣∠CBH，
∴△ABP∽△HCB，
故①正确；
②如图1，取BC的中点E，连接EH，AE，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD＝2，
∴HE＝BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝，
∵AH+HE≥AE，
∴AH+≥，
∴AH≥﹣，
∴AH的最小值是﹣，
故②正确；
③如图2，点H的运动路径为以BC的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧，
当点P与点D重合时，则BP为与矩形ABCD的对角线BD重合，
∴BP扫过的面积为S△ABD＝AB•AD＝×2×2＝2，
∵∠BCD＝90°，
∴tan∠CBD＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠EBH＝∠EHB＝30°，
∴∠BEH＝180°﹣∠EBH﹣∠EHB＝120°，
则点H运动的路径长为：＝，
故③正确，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分8分，每小题2分）
13．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a3﹣ab2
＝a（a2﹣b2）
＝a（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a（a+b）（a﹣b）．
14．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“戏曲”和“棋类”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设器乐、戏曲、棋类分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽到“戏曲”和“棋类”，即B和C的结果有2种，
∴恰好抽到“戏曲”和“棋类”的概率为＝．
故答案为：．
15．【分析】根据函数图象上下平移的规律可求得答案．
【解答】解：将一次函数y＝﹣2x+3的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数关系式为y＝﹣2x+3﹣2＝﹣2x+1，
故答案为：y＝﹣2x+1．
16．【分析】根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，点D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：如图，连接CD，
在Rt△ACB中，
∵AC＝BC＝2，
∴AB＝＝2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，
∵CD垂直平分AB，CD＝BD＝，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣＝π﹣1．
故答案为：π﹣1．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．【分析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂计算．
【解答】解：|﹣2|+tan60°﹣（）﹣1﹣（+2023）0
＝2+×﹣2﹣1
＝2+3﹣2﹣1
＝2．
18．【分析】根据 根据平行线的性质得出∠BAD＝∠ACE，然后利用全等三角形的判定即证明△CEA≌△ADB，最后利用全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAD＝∠ACE，
在△CEA和△ADB中，
，
∴△CEA≌△ADB（SAS），
∴AE＝BD．
19．【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“数学家们”的人数为30人，占调查人数的15%，可求出调查人数；
（2）用360°乘“智力谜题”所占比例即可得出扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）30÷15%＝200（人），
答：本次被抽查学生的总人数为200人；
（2）360°×＝108°．
∴扇形统计图中表示“智力谜题”的扇形的圆心角度数为108°；
（3）990×＝99（名），
答：估计全校选择“思维挑战”拓展课的学生人数约99名．
20．【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
21．【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本价）×数量列出方程求解即可；
（2）根据利润＝（售价﹣成本价）×数量列出Q关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，（200﹣x﹣120）（30+2x）＝4200，
∴（80﹣x）（x+15）＝2100，
解得x1＝45，x2＝20，
∵为尽快减少库存，
∴x的值应为45；
（2）由题意得，Q＝（200﹣x﹣120）（30+2x）＝﹣2x2+130x+2400，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝﹣＝＝时，Q取最大值，
∵x为5的倍数，
∴当x＝30或35时，Q取值最大，最大值是4500．
22．【分析】（1）连接OD、AD，可证明∠ODA＝∠BAD，则OD∥AB，所以∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线EF为⊙O的切线；
（2）先证明△FDC∽△FAD，得＝，则AF＝＝8，所以2OA＝AC＝6，则OD＝OD＝OA＝3，而OF＝OC+CF＝5，再由OD∥AB，得＝＝，所以DE＝DF＝，则⊙O的半径长为3，ED的长为．
【解答】（1）证明：连接OD、AD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，EF⊥OD，
∴直线EF为⊙O的切线．
（2）解：∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠FDC+∠ODC＝90°，∠FAD+∠OCD＝90°，
∴∠FDC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDC∽△FAD，
∴＝，
∵CF＝2，DF＝4，
∴AF＝＝＝8，
∴2OA＝AC＝AF﹣CF＝8﹣2＝6，
∴OD＝OD＝OA＝3，
∴OF＝OC+CF＝3+2＝5，
∵OD∥AB，
∴＝＝，
∴DE＝DF＝×4＝，
∴⊙O的半径长为3，ED的长为．
23．【分析】（1）作B'F⊥AB于F，先确定A（0，8），根据矩形的性质可得∴CB＝AO＝8，可得出BD＝6，利用锐角三角函数求出，根据翻折的性质得到∠B'ED＝60°，，利用三角函数求出，根据已知可得，然后分两种情况：点B'在y轴右侧时和点B'在y轴左侧时，分别确定点B的坐标即可得出结论；
（2）分两种情况讨论：当点B'在x轴上方时，当点B'在x轴下方时，即可得解．
【解答】解：（1）作B'F⊥AB于F，
∵二次函数y＝x2+mx+8的图象交y轴于点A，
∴当x＝0时，y＝8，
∴OA＝8，A（0，8），
又∵AB平行于x轴，BC垂直于x轴，
∴四边形AOCB是矩形，
∴CB＝AO＝8，∠ABC＝90°，
∵，
∴BD＝6，
∵∠BED＝60°，
∴，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴∠B'ED＝∠BED＝60°，，
∴∠B'EF＝180°﹣∠B'ED﹣∠BED＝60°，
在Rt△B′EF中，
，
∵点B'到y轴的距离为，
∴，
当点B'在y轴右侧时，
∵，
∴，
∵点B在二次函数y＝x2+mx+8的图象上，
∴，
解得：，
∴，
当点B'在y轴左侧时，此时E与A重合，
∴，
∴，
∵点B在二次函数y＝x2+mx+8的图象上，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，二次函数的表达式为或．
（2）如图 2，当点B'在x轴上方时，
过点B'作FG⊥AB，分别交AB、x轴于点F、G，作DH⊥FG，垂足为H，
∴四边形HGCD和四边形BFHD是矩形，
∴HG＝CD＝2，FH＝BD＝6，BF＝DH，
∵点B'到x轴的距离为3，
∴B'G＝3，
∴B'H＝B'G﹣HG＝3﹣2＝1，
∴B'F＝FH﹣B'H＝6﹣1＝5，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴DB'＝DB＝6，∠DB'E＝∠DBE＝90°，
在Rt△B′EF中，
，
在Rt△EFB'和Rt△B'HD中，
∠FB'E+∠HB'D＝90°，∠HDB'+∠HB'D＝90°，
∴∠FB'E＝∠HDB'，
又∵∠EFB'＝∠B'HD＝90°，
∴△EFB'∽△B'HD，
∴，即，
∴，
∴，
如图 3，当点B'在x轴下方时，
过点B'作MN∥AB，作EM⊥MN，垂足为M，延长BC交MN于点N，
∴四边形BEMN是矩形，
∴EM＝BN，BE＝MN，
∵点B'到x轴的距离为3，
∴NC＝3，
∴DN＝CD+CN＝2+3＝5，
∴EM＝BN＝BD+DN＝6+5＝11，
∵△DBE沿DE翻折得到△DB'E，
∴DB'＝DB＝6，∠DB'E＝∠DBE＝90°，
在Rt△B'ND中，
，
在Rt△EMB'和Rt△B'ND中，
∠MB'E+∠DB'N＝90°，∠NDB'+∠DB'N＝90°，
∴∠MB'E＝∠NDB'，
又∵∠EMB'＝∠B'ND＝90°，
∴△EMB'∽△B'ND，
∴，即，
∴，
∵点E在AB上有且只有一个位置，
∴，
∵AB平行于x轴，且A（0，8），
∴当y＝8时，x2+mx+8＝8，
解得：x1＝0，x2＝﹣m，
∴A（﹣m，8），
∴AB＝﹣m﹣0＝﹣m，
∴，
∴．
∴m的取值范围是．
24．【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE＝45°和∠BAC＝45°，则∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：，即，
解得：a＝b，得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG＝∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC＝∠ACB＝45°．
解法二：同理得a与b的比，根据a＝b，BE＝BF，得BE＝BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB＝BC，BP＝BF，
∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中，
∵，
∴△APE≌△CFE，
∴EA＝EC；
（2）△ACE是直角三角形，理由是：
如图2，∵P为AB的中点，
∴PA＝PB，
∵PB＝PE，
∴PA＝PE，
∴∠PAE＝45°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形；
（3）解法一：如图3，设CE交AB于G，
∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP＝PG＝a﹣b，BG＝a﹣（2a﹣2b）＝2b﹣a，
∵PE∥CF，
∴，即，
解得：a＝b，
∴a：b＝：1，
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB＝45°，
∴HG＝AG＝（2b﹣2b）＝（2﹣）b，
又∵BG＝2b﹣a＝（2﹣）b，
∴GH＝GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG＝∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG＝∠BCG，
∴∠AEC＝∠ACB＝45°．
解法二：如图4，连接BE，
易得a＝b，
∴a：b＝：1，
∵BE＝BF＝b，
∴BE＝a＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠FBE＝∠BCE+∠BEC＝45°，
∴∠BCE＝22.5°，
∴∠AEC＝2∠PEC＝2∠BCE＝45°．
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