福建福州市九校2025—2026学年下学期期中考试八年级 数学试卷含答案

这是一份福建福州市九校2025—2026学年下学期期中考试八年级 数学试卷含答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分；考试时间120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列表示y与x关系的图象中，y不是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 9，30，31D. 9，40，41
3. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A. 9B. 1C. D.
4. 在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数值y随着x的增大而减小
B. 点在该函数图象上
C. 图象不经过第二象限
D. 图象与y轴的交点坐标为
6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
7. 直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲步行的平均速度为米/分
B. 乙步行的平均速度为米/分
C. 当时，乙到达终点
D. 乙比甲提前分钟到达终点
10. 已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 函数是关于的正比例函数，则的值为_____________．
12. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________．
13. 将直线向下平移个单位长度后，所得的直线的解析式为_________．
14. 如图，在中，，，，若点为的中点，连接，则的长为_________．
15. 一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点为轴上一动点，以为边在的左侧作等腰，，连接，则的最小值是_________．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，在中，平分．求证：四边形是菱形．

19. 已知与成正比例，且时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
20. 已知一次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明．
21. 综合与实践：

（1）操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
（2）发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形．
（3）探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．
22. 已知一次函数的图象经过点和．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围．
23. 如图，在中，于点，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，，且于点，若，，求的面积．
24. 某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如表：
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系．
（1）利用，；，这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式；
经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求________，此时它与时观察值的偏差值若记为（即时的函数值与观察值之差），则________．
（2）小组决定优化一次函数解析式，减少偏差（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）．
结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值；
请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小．
25. 在正方形中，点，是边上的三等分点，点关于的对称点为点，的延长线交于点，连接，，，．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
2025－2026学年第二学期期中考试
八年级数学试卷
满分150分；考试时间120分钟
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列表示y与x关系的图象中，y不是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．
【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
只有选项B不满足条件．
2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 9，30，31D. 9，40，41
【答案】D
【解析】
【详解】解：，
、、不是勾股数；
，
、、不是勾股数；
，
、30、31不是勾股数；
，
、40、41是勾股数．
故选．
3. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A. 9B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值．
【详解】解：点在一次函数的图象上，
．
4. 在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可计算出的度数．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数值y随着x的增大而减小
B. 点在该函数图象上
C. 图象不经过第二象限
D. 图象与y轴的交点坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题关键，根据的符号判断增减性，根据和的符号判断图象经过的象限，代入点坐标验证点是否在图象上，求出与轴交点坐标，逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A，，随的增大而增大，故A错误．
选项B，当时，，
点不在该函数图象上，故B错误．
选项C，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确．
选项D，当时，，
图象与轴的交点坐标为，故D错误．
6. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先由矩形的性质得出，，再证明是等边三角形，得出，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
7. 直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限．
【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限，
，，
，
直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示．
8. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质得到，， 在中，利用勾股定理求出的长，根据求出的长， 在中，利用勾股定理求出的长．
【详解】解：四边形是菱形， ，
，，
在中，，
，
，
，
在中，．
9. 甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲步行的平均速度为米/分
B. 乙步行的平均速度为米/分
C. 当时，乙到达终点
D. 乙比甲提前分钟到达终点
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲出发3分钟走了240米，可算得甲的速度；再根据甲、乙在第3分钟到第15分钟的路程差为240米，可算得乙的速度；分别算出甲、乙走完全程的时间，即可判断C、D．
【详解】解：由图可得，甲的速度为（米/分），故选项A正确，不符合题意；
设乙的速度为米/分，
由图可得，，
解得，
乙的速度为米/分，故选项B正确，不符合题意；
甲到达终点的时间为（分钟），
乙到达终点的时间为（分钟），
（分钟），
即当时，乙到达终点，故选项C错误，符合题意；
甲先出发分钟，
乙先到终点原地休息了（分钟），
即乙比甲提前分钟到达终点，故选项D正确，不符合题意．
10. 已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论．
【详解】解：∵，∴随增大而增大，
∵，∴，
令，得直线与轴交点横坐标，
∵，，∴，即交点在轴正半轴，
若，可得，因此，
∵，，∴，，可得，故C正确．
A中可为负，可为正，，
A错误；
B中为负，为正，，B错误；
D中可正可负，不一定小于，D错误．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 函数是关于的正比例函数，则的值为_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．正比例函数的形式为，，因此函数表达式中的常数项必须为零，据此解答即可．
【详解】解：由正比例函数的定义，得，
解得，．
故答案为：1．
12. 如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，连接，，分别取，的中点，，量得，则，间的距离是_________．
【答案】##16米
【解析】
【分析】先判断是的中位线，再由中位线的性质即可得解．
【详解】解：，是，的中点，
是的中位线，
，
．
13. 将直线向下平移个单位长度后，所得的直线的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：将直线向下平移个单位长度，所得直线的解析式为．
14. 如图，在中，，，，若点为的中点，连接，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
点为的中点，
．
15. 一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可．
【详解】解：当时，一次函数中随的增大而增大，
当时，，
当时，；当时，，
，解得，
一次函数解析式为；
当时，一次函数中随的增大而减小，
当时，，
当时，；当时，，
，解得，
一次函数解析式为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点为轴上一动点，以为边在的左侧作等腰，，连接，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于，连接，根据正方形和等腰直角三角形的性质证明， 从而推出，得到点在的角平分线所在直线上运动， 作 ，求出的长即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴于，连接．
四边形是正方形，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，，
，
，，
，，
，
，
，
点在的角平分线所在直线上运动，
作 ，则 是等腰直角三角形，
，
，
，
即的最小值为．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并即可；
（2）将除法转化为乘法，利用乘法分配律展开计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 如图，在中，平分．求证：四边形是菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出，再结合平分线即可得出，进而得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
19. 已知与成正比例，且时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正比例的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可设，
把时，代入得：，
解得，
；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得．
20. 已知一次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明．
【答案】（1）图见解析
（2）上方；理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别令，，求出对应的值，值，然后描点，连接两点即可画出函数的图象；
（2）先求出当时的值，然后判断与其的大小即可得解．
【小问1详解】
解：在一次函数中，
当时，；
当时，即，解得，
列表如下：
一次函数过，，一次函数图象如图所示；
【小问2详解】
解：点在该函数图象的上方，理由如下：
在一次函数中，当时，，
，
点在该函数图象的上方．
21. 综合与实践：

（1）操作：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2，在图2中，四边形为梯形，，，是，边上的中点，经过剪拼，四边形为矩形．则 ．
（2）发现：在图3四边形中，当与的比值为 时，经过剪拼可拼接成如图4所示的四边形．
（3）探究：如图5，四边形可以拼成一个平行四边形．设计一个拼接方案（要有剪切线），仿照图4，在图5中画出拼接后的示意图以及内部的拼接线，并简要说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）图见解析；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质，结合对顶角相等，即可得解；
（2）观察可得：，即可得出比值；
（3）将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，即可得解．
【小问1详解】
解：，
，
是边上的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图5，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形，
，
；
【小问3详解】
解：如图所示，四边形即为所求的平行四边形；
理由如下：将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，四边形放在四边形，
，，
，
∴点在同一直线上，
同理，点在同一直线上，点在同一直线上，点在同一直线上，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
22. 已知一次函数的图象经过点和．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若，是该一次函数图象上的两点，时，求函数值的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别表示出和，根据的取值范围结合不等式的性质即可表示出的取值范围．
【小问1详解】
解：一次函数的图象经过点和，
，解得，
；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
，
，
，
即．
23. 如图，在中，于点，延长至点，使得，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，，且于点，若，，求的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明得出，，进而得出，即可证明四边形是平行四边形，结合已知，即可得证；
（2）设，勾股定理分别求得，在中，建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：中
，，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形
，
，
四边形是矩形
【小问2详解】
解：，
，
，
，
在中，
设，则，，
在中，
在中，
解得，
．
24. 某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长）的燃烧变化情况．点燃香烛后，每隔分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如表：
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数近似地刻画剩余长度与燃烧时间的关系．
（1）利用，；，这两组数据，求剩余长度与燃烧时间的函数解析式；
经比对发现，表中部分观察值不在中的函数图象上，存在偏差，当时，根据中的解析式可求________，此时它与时观察值的偏差值若记为（即时的函数值与观察值之差），则________．
（2）小组决定优化一次函数解析式，减少偏差（提示：衡量偏差的统计量记为，当取不同值时，所有的平方和为，其中越小，偏差越小）．
结合表格数据，利用（1）得到的函数解析式计算的值；
请确定优化后经过点的一次函数解析式，使得偏差最小．
【答案】（1）；，
（2）；
【解析】
【分析】（1）设出一次函数解析式，把所给的两组数值代入可得和的值；把代入中得到的函数解析式可得的值，减去当时的观察值可得的值；
（2）求出当时和当时对应的值，列式计算即可；设优化后的函数解析式为，分别计算出取不同的值时，相应的的值，进而表示出的值，然后根据非负性确定最小值求解即可．
【小问1详解】
解：设，
将，；，代入得，
，解得，
；
当时，，
观察值为，
；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
；
设优化后的函数解析式为，
，
，
，
当时，的最小值为，
．
25. 在正方形中，点，是边上的三等分点，点关于的对称点为点，的延长线交于点，连接，，，．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设与的交点为，根据对称的性质可知 ，再结合三等分点的定义可得是的中位线，由中位线的性质即可得证；
（2）过点作交的延长线于点，根据正方形的性质结合对称的性质证明，得到，，进而证明，得到，即可得解；
（3）过点作于点，通过等边对等角结合四边形的内角和证明，从而得到，即可得到，证明，得到，即可得证．
【小问1详解】
证明：如图，设与的交点为，
点关于的对称点为点，
，
点，是边上的三等分点，
，
是的中位线，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作交的延长线于点，
点关于的对称点为点，
是的垂直平分线，
，
，
在正方形中，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
证明：如图，过点作于点，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
．
燃烧时间（分钟）
0
2
4
6
8
剩余长度（观察值）
20.0
19.0
18.5
17.0
16.5
0
2
4
0
燃烧时间（分钟）
0
2
4
6
8
剩余长度（观察值）
20.0
19.0
18.5
17.0
16.5