【数学】河北保定市多校2025-2026学年高一下学期4月期中试题（学生版+解析版）

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这是一份【数学】河北保定市多校2025-2026学年高一下学期4月期中试题（学生版+解析版），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的结果等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】sin48°cs18°−cs48°sin18°=sin48°−18°=sin30°=12.
2. 复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以共轭复数为.
故选：B.
3. 已知中，角的对边分别为，，，，则（）
A. 30°B. 45°C. 150°D. 30°或150°
【答案】A
【解析】因为，，，
所以由正弦定理可得，所以或150°．
因为，所以，所以．
故选：A.
4. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】由，此时四边形为平行四边形，
因为，所以，即对角线长相等，
故四边形为矩形.
故选：C．
5. 如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，点是上靠近点的三等分点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
.
6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以是的中点，则是圆的直径，，
又，所以是等边三角形，，.
设，则，作于，则，
所以，即为向量在向量上的投影向量，.
7. 已知，，，若，则
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，
，
解得或，又，
则，，
.
故选：B.
8. 如图，在中，，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以为原点，建立平面直角坐标系如图：
依题意可知：，，，，，
则，，
所以，
，，
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则（）
A. 的虚部为B. 为纯虚数
C. D. 和是方程的两个根
【答案】ACD
【解析】由题可得：，
故，所以，故A正确，B错误；
，故C正确；
因为，，所以，，故D正确，
故选：ACD.
10. 在中，下列说法正确的是（）
A. 若，则为钝角三角形
B. 若是的重心，则
C. 设为所在平面内一点，且满足，则的面积与的面积的比值为5
D. 若点在所在平面内，，且，则的面积是面积的
【答案】BCD
【解析】对A，由可知的外角为钝角，
所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误；
对B，由是的重心，可知，故B正确；
对C，取中点，得，代入条件,
得：，即共线，且.
和同底，高的比等于，
因此面积比为，C正确；
对D，如图所示，设为中点，，
所以，即，
由，可得，即，，三点共线，
所以，故D正确.
11. 已知函数，下列说法正确的是（）
A. 是该函数的一个单调递增区间
B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C. 若，则的最小值为
D. 若，函数在上有且仅有三个零点，则
【答案】AD
【解析】.
A选项，，，
因在上单调递增，则是该函数的一个单调递增区间，
故A正确；
B选项，函数的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为：，
其对称轴满足，，不包含y轴，故B错误；
C选项，若，要使最小，可取为相邻的两个最值点，此时为最小正周期的一半，即，故C错误；
D选项，设，则，，因函数在上有且仅有三个零点，
则，故D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值______．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
13. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________.
【答案】
【解析】如图，，，
，所以，则，
设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即，
所以
，
所以此时小货船航行速度大小为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件?
（1）在虚轴上；
（2）位于第四象限.
解：（1）因为复数在复平面内对应点在虚轴上，
则有，解得或，所以或时，
复平面内表示复数的点在虚轴上.
（2）复平面内，复数，
对应的点为m2−8m+15,m2−5m−14，
依题意m2−8m+15>0m2−5m−140m−7m+2